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72 帶電粒子在交變電場、磁場中的運(yùn)動 [方法點(diǎn)撥]　(1)先分析在一個周期內(nèi)粒子的運(yùn)動情況，明確運(yùn)動性質(zhì)，判斷周期性變化的電場或磁場對粒子運(yùn)動的影響；(2)畫出粒子運(yùn)動軌跡，分析軌跡在幾何關(guān)系方面的周期性． 1．(2017廣東肇慶第二次模擬)如圖1甲所示，豎直擋板MN左側(cè)空間有方向豎直向上的勻強(qiáng)電場和垂直紙面向里的水平勻強(qiáng)磁場，電場和磁場的范圍足夠大，電場強(qiáng)度E＝40 N/C，磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時間t變化的關(guān)系圖象如圖乙所示，選定磁場垂直紙面向里為正方向．t＝0時刻，一質(zhì)量m＝810－4 kg、電荷量q＝＋210－4 C的微粒在O點(diǎn)具有豎直向下的速度v＝0.12 m/s，O′是擋板MN上一點(diǎn)，直線OO′與擋板MN垂直，取g＝10 m/s2.求： 　 圖1 (1)微粒再次經(jīng)過直線OO′時與O點(diǎn)的距離； (2)微粒在運(yùn)動過程中離開直線OO′的最大高度； (3)水平移動擋板，使微粒能垂直射到擋板上，擋板與O點(diǎn)間的距離應(yīng)滿足的條件． 2．(2017北京平谷區(qū)零模)當(dāng)今醫(yī)學(xué)成像診斷設(shè)備PET/CT堪稱“現(xiàn)代醫(yī)學(xué)高科技之冠”，它在醫(yī)療診斷中，常利用能放射電子的同位素碳11作為示蹤原子，碳11是由小型回旋加速器輸出的高速質(zhì)子轟擊氮14獲得的．加速質(zhì)子的回旋加速器如圖2甲所示．D形盒裝在真空容器中，兩D形盒內(nèi)勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，兩D形盒間的交變電壓的大小為U.若在左側(cè)D1盒圓心處放有粒子源S不斷產(chǎn)生質(zhì)子，質(zhì)子質(zhì)量為m，電荷量為q.假設(shè)質(zhì)子從粒子源S進(jìn)入加速電場時的初速度不計(jì)，不計(jì)質(zhì)子所受重力，忽略相對論效應(yīng)． 　　 　　　　　　　　　　圖2 (1)第1次被加速后質(zhì)子的速度大小v1是多大？ (2)若質(zhì)子在D形盒中做圓周運(yùn)動的最大半徑為R，且D形盒間的狹縫很窄，質(zhì)子在加速電場中的運(yùn)動時間可忽略不計(jì)．那么，質(zhì)子在回旋加速器中運(yùn)動的總時間t總是多少？ (3)要把質(zhì)子從加速器中引出，可以采用靜電偏轉(zhuǎn)法．引出器原理如圖乙所示，一對圓弧形金屬板組成弧形引出通道，內(nèi)、外側(cè)圓弧形金屬板分別為兩同心圓的一部分，圓心位于O′點(diǎn)．內(nèi)側(cè)圓弧的半徑為r0，外側(cè)圓弧的半徑為r0＋d.在內(nèi)、外金屬板間加直流電壓，忽略邊緣效應(yīng)，兩板間產(chǎn)生徑向電場，該電場可以等效為放置在O′處的點(diǎn)電荷Q在兩圓弧之間區(qū)域產(chǎn)生的電場，該區(qū)域內(nèi)某點(diǎn)的電勢可表示為φ＝k(r為該點(diǎn)到圓心O′點(diǎn)的距離)．質(zhì)子從M點(diǎn)進(jìn)入圓弧形通道，質(zhì)子在D形盒中運(yùn)動的最大半徑R對應(yīng)的圓周，與圓弧形通道正中央的圓弧相切于M點(diǎn)．若質(zhì)子從圓弧通道外側(cè)邊緣的N點(diǎn)射出，則質(zhì)子射出時的動能Ek是多少？要改變質(zhì)子從圓弧通道中射出時的位置，可以采取哪些辦法？ 3．如圖3甲所示，兩平行金屬板A、B長L＝8 cm，兩極板間距d＝6 cm，A、B兩極板間的電勢差UAB＝100 V．一比荷為＝1106 C/kg的帶正電粒子(不計(jì)重力)從O點(diǎn)沿電場中心線垂直電場線以初速度v0＝2104 m/s飛入電場，粒子飛出平行板電場后經(jīng)過界面MN、PS間的無電場區(qū)域，已知兩界面MN、PS間的距離為s＝8 cm.帶電粒子從PS分界線上的C點(diǎn)進(jìn)入PS右側(cè)的區(qū)域，當(dāng)粒子到達(dá)C點(diǎn)開始計(jì)時，PS右側(cè)區(qū)域有磁感應(yīng)強(qiáng)度按圖乙變化的勻強(qiáng)磁場(垂直紙面向里為正方向)．求： 圖3 (1)PS分界線上的C點(diǎn)與中心線OO′的距離y； (2)粒子進(jìn)入磁場區(qū)域后第二次經(jīng)過中心線OO′時與PS分界線的距離x. 4．(2018福建三明一中模擬)如圖4甲所示，在平行邊界MN、PQ之間存在寬度為L的勻強(qiáng)電場，電場周期性變化的規(guī)律如圖乙所示，取豎直向下為電場正方向；在平行邊界MN、EF之間存在寬度為s、方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場區(qū)域Ⅱ，在PQ右側(cè)有寬度足夠大、方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場區(qū)域Ⅰ.在區(qū)域Ⅰ中距PQ為L的A點(diǎn)，有一質(zhì)量為m、電荷量為q、重力不計(jì)的帶正電粒子以初速度v0沿豎直向上方向開始運(yùn)動，以此作為計(jì)時起點(diǎn)，再經(jīng)過一段時間粒子又恰好回到A點(diǎn)，如此循環(huán)，粒子循環(huán)運(yùn)動一周，電場恰好變化一個周期，已知粒子離開區(qū)域Ⅰ進(jìn)入電場時，速度恰好與電場方向垂直，sin 53＝0.8，cos 53＝0.6. 圖4 (1)求區(qū)域Ⅰ的磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B1. (2)若E0＝，要實(shí)現(xiàn)上述循環(huán)，確定區(qū)域Ⅱ的磁場寬度s的最小值以及磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B2. (3)若E0＝，要實(shí)現(xiàn)上述循環(huán)，求電場的變化周期T. 答案精析 1．(1)1.2 m　(2)2.48 m　(3)L＝(1.2n＋0.6) m(n＝0,1,2，…) 解析　(1)根據(jù)題意可以知道，微粒所受的重力G＝mg＝810－3 N① 電場力大小F＝qE＝810－3 N② 因此重力與電場力平衡 微粒先在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動，則qvB＝m③ 由③式解得：R＝0.6 m④ 由T＝⑤ 得：T＝10π s⑥ 則微粒在5π s內(nèi)轉(zhuǎn)過半個圓周，再次經(jīng)過直線OO′時與O點(diǎn)的距離：l＝2R⑦ 將數(shù)據(jù)代入上式解得：l＝1.2 m⑧ (2)微粒運(yùn)動半周后向上勻速運(yùn)動，運(yùn)動的時間為t＝5π s， 軌跡如圖所示， 位移大?。簒＝vt⑨ 由⑨式解得：x≈1.88 m⑩ 因此，微粒離開直線OO′的最大高度：H＝x＋R＝2.48 m? (3)若微粒能垂直射到擋板上的某點(diǎn)P，P點(diǎn)在直線OO′下方時，由圖象可以知道，擋板MN與O點(diǎn)間的距離應(yīng)滿足： L＝(2.4n＋0.6) m (n＝0,1,2，…)? 若微粒能垂直射到擋板上的某點(diǎn)P，P點(diǎn)在直線OO′上方時，由圖象可以知道，擋板MN與O點(diǎn)間的距離應(yīng)滿足： L＝(2.4n＋1.8) m (n＝0,1,2，…)? ??兩式合寫成L＝(1.2n＋0.6) m (n＝0,1,2…) 2．見解析 解析　(1)質(zhì)子第一次被加速，由動能定理：qU＝mv12 解得：v1＝ (2)質(zhì)子在磁場中做圓周運(yùn)動時，洛倫茲力提供向心力：qvB＝m 質(zhì)子在做圓周運(yùn)動的周期為：T＝ 設(shè)質(zhì)子在D形盒中被電場加速了n次，由動能定理：nqU＝mv2 質(zhì)子在磁場中做圓周運(yùn)動的周期恒定，在回旋加速器中運(yùn)動的總時間為：t總＝T 解得：t總＝ (3)設(shè)M、N兩點(diǎn)的電勢分別為φ1、φ2，由能量守恒定律： qφ1＋mv2＝qφ2＋Ek 由題可知：φ1＝k，φ2＝k 解得：Ek＝＋ 改變圓弧通道內(nèi)、外金屬板間所加直流電壓的大小(改變圓弧通道內(nèi)電場的強(qiáng)弱)，或者改變圓弧通道內(nèi)磁場的強(qiáng)弱，可以改變質(zhì)子從圓弧通道中射出時的位置． 3．(1)4 cm　(2)12 cm 解析　(1)粒子在電場中的加速度a＝ 粒子在電場中運(yùn)動的時間t1＝ 粒子離開電場時豎直方向分速度vy＝at1 粒子在MN與PS間運(yùn)動時間t2＝ 粒子在電場中偏轉(zhuǎn)位移y1＝at12＝＝ cm 出電場后：y2＝vyt2 聯(lián)立解得：y2＝ cm 所以C點(diǎn)與中心線OO′的距離y＝y(tǒng)1＋y2＝4 cm (2)粒子運(yùn)動軌跡如圖所示，粒子進(jìn)入磁場時， 設(shè)速度與水平方向夾角為θ，tan θ＝＝ 所以θ＝30 粒子進(jìn)入磁場時的速度v＝＝104 m/s 設(shè)粒子在磁場中運(yùn)動軌道半徑為R 則qvB＝ 所以R＝4 cm 粒子在磁場中運(yùn)動的周期T＝＝2π10－6 s 在t＝10－6 s內(nèi)粒子的偏轉(zhuǎn)角α＝t＝120 豎直向上偏移h1＝Rcos 30＝2 cm 在10－6～π10－6 s內(nèi)通過OO′， 這段時間內(nèi)豎直向上偏移h2＝h1＝2 cm 因?yàn)閔1＋h2＝y(tǒng)＝4 cm 則粒子在t＝10－6 s時剛好第二次到達(dá)OO′ 此時x＝2(R＋Rsin 30)＝12 cm. 4．(1)　(2)　　(3)L 解析　(1)粒子在區(qū)域Ⅰ做圓周運(yùn)動的半徑R＝L 由洛倫茲力提供向心力知qv0B1＝ 聯(lián)立解得B1＝ (2)粒子在電場中做類平拋運(yùn)動，離開電場時沿電場方向的速度vy＝at＝＝v0， 設(shè)離開電場時速度的偏轉(zhuǎn)角為θ，tan θ＝＝，θ＝53 所以粒子離開電場時的速度v＝＝v0 粒子在電場中偏轉(zhuǎn)的距離y＝at2＝2＝L 畫出粒子運(yùn)動軌跡的示意圖如圖所示，粒子在區(qū)域Ⅱ做圓周運(yùn)動的圓心O2與在區(qū)域Ⅰ做圓周運(yùn)動的圓心O1的連線必須與邊界垂直才能完成上述運(yùn)動， 由幾何關(guān)系知粒子在區(qū)域Ⅱ做圓周運(yùn)動的半徑r＝＝L 所以s≥r(1－sin 53)＝ 即s的最小值為 根據(jù)r＝ 解得B2＝ (3)電場變化的周期等于粒子運(yùn)動的周期 粒子在區(qū)域Ⅰ中運(yùn)動的時間t1＝ 粒子在電場中運(yùn)動的時間t2＝ 粒子在區(qū)域Ⅱ中運(yùn)動的時間t3＝＝ 所以周期T＝t1＋t2＋t3＝L.