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綜合測試卷
(時間:120分鐘 滿分:150分)
一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分)
1.設(shè)i為虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)z滿足1+iz=1-i,則復(fù)數(shù)z=( )
A.2i B.-2i C.i D.-i
答案C
解析∵1+iz=1-i,
∴z=1+i1-i=(1+i)2(1-i)(1+i)=2i2=i.
故選C.
2.若集合A={x|log2(2x+1)<1},集合B={x|1<2x<4},則A∩B=( )
A.0,12 B.-12,12
C.(0,2) D.12,2
答案A
解析∵A={x|log2(2x+1)<1}=x-12
S1 008>S1 007,則滿足SnSn-1<0的正整數(shù)n為( )
A.2 015 B.2 013 C.2 014 D.2 016
答案A
解析由題意可得S1008-S1007>0,
即a1008>0.
由S1006>S1008,得S1008-S1006<0,即a1007+a1008<0.
故S2015=2015(a1+a2015)2
=20152a10082=2015a1008>0,
S2014=2014(a1+a2014)2
=2014(a1007+a1008)2<0,
因此滿足SnSn-1<0的正整數(shù)n=2015,故選A.
10.已知△ABC的三個頂點在以O(shè)為球心的球面上,且cos A=223,BC=1,AC=3,三棱錐O-ABC的體積為146,則球O的表面積為( )
A.36π B.16π C.12π D.16π3
答案B
解析由余弦定理,得cosA=AB2+AC2-BC22ABAC=AB2+9-16AB=223,解得AB=22.
故AB2+BC2=AC2,即AB⊥BC.
因此AC是平面ABC與球的截面圓的直徑.
作OD⊥平面ABC,則D為AC的中點.
所以VO-ABC=13S△ABCOD
=1312221OD=146,
所以O(shè)D=72.所以O(shè)A=OD2+AD2=2.
所以S球O=4πOA2=16π.故選B.
11.在△ABC中,AB=3,AC=4,∠BAC=60.若P是△ABC所在平面內(nèi)一點,且AP=2,則PBPC的最大值為( )
A.10 B.12 C.10+237 D.8
答案C
解析以點A為原點,邊AC所在直線為x軸,建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系,
則A(0,0),B32,332,C(4,0).
設(shè)P(2cosθ,2sinθ),θ∈R,
可得PB=32-2cosθ,332-2sinθ,
PC=(4-2cosθ,-2sinθ),
故PBPC=32-2cosθ(4-2cosθ)-2sinθ332-2sinθ
=-11cosθ-33sinθ+10=-237sin(θ+α)+10.
其中α為銳角,且tanα=1139,θ∈R.
故當(dāng)sin(θ+α)=-1時,PBPC取最大值10+237.
故選C.
12.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f(x),對任意x∈R都有f(x)>f(x)成立,則( )
A.3f(ln 2)>2f(ln 3)
B.3f(ln 2)=2f(ln 3)
C.3f(ln 2)<2f(ln 3)
D.3f(ln 2)與2f(ln 3)的大小不確定
答案C
解析令g(x)=f(x)ex,
則g(x)=f(x)ex-f(x)exe2x=f(x)-f(x)ex.
因為對任意x∈R都有f(x)>f(x),
所以g(x)>0,即g(x)在R上單調(diào)遞增.
又ln20,b>0)的左焦點為F,右頂點為A,虛軸的一個端點為B.若△ABF為等腰三角形,則該雙曲線的離心率為 .
答案1+3
解析由題意,得F(-c,0),A(a,0).
不妨設(shè)B(0,b),則|BF|=b2+c2>c,|AF|=a+c>c,|AB|=a2+b2=c.
因為△ABF為等腰三角形,
所以只能是|AF|=|BF|,
即a+c=b2+c2,
整理,得c2-2a2-2ac=0,
即e2-2e-2=0,解得e=1+3(舍去負(fù)值).
15.設(shè)C滿足約束條件3x-y-6≤0,x-y+2≥0,x≥0,y≥0,若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by(a>0,b>0)的最大值為12,則2a+3b的最小值為 .
答案256
解析根據(jù)約束條件繪制可行域,如圖所示.
將z=ax+by轉(zhuǎn)化為y=-abx+zb,
∵a>0,b>0,∴直線y=-abx+zb的斜率為負(fù),最大截距對應(yīng)最大的z值,易知點A為最大值點.
聯(lián)立方程組3x-y-6=0,x-y+2=0,
解得x=4,y=6,即A(4,6).
∵目標(biāo)函數(shù)z=ax+by的最大值為12,
∴12=4a+6b,即2a+3b6=1,
∴2a+3b=2a+3b62a+3b=136+ba+ab≥136+2baab=256,
當(dāng)且僅當(dāng)ba=ab,且2a+3b6=1,
即a=b=65時取等號.
16.已知點A(0,3),若圓C:(x-a)2+(x-2a+4)2=1上存在點M,使|MA|=2|MO|,則圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍為 .
答案0,125
解析由圓C:(x-a)2+(x-2a+4)2=1,可知圓心C(a,2a-4).
設(shè)M(x,y),∵|MA|=2|MO|,
∴x2+(y-3)2=2x2+y2,
得x2+y2+2y-3=0,
即x2+(y+1)2=4.
∴點M在以D(0,-1)為圓心,以2為半徑的圓D上.
∵圓C與圓D有公共點,
∴2-1≤CD≤2+1,
即1≤a2+(2a-3)2≤3,
即5a2-12a+8≥0,5a2-12a≤0,
解得0≤a≤125.
三、解答題(本大題共6小題,共70分)
17.(12分)(2018山東煙臺適應(yīng)性練習(xí))
在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且c=bcos A+asin B.
(1)求角B的度數(shù);
(2)若D為BC上的一點,BD=1,cos∠CDA=35,求△ABD的面積.
解(1)因為c=bcosA+asinB,
所以由正弦定理,得sinC=sinBcosA+sinAsinB.
又sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,
所以sinAcosB+cosAsinB=sinBcosA+sinAsinB,
化簡得tanB=1.
又因為0b>0)的離心率e=12,右焦點到直線xa+yb=1的距離d=217,O為坐標(biāo)原點.
(1)求橢圓C的方程;
(2)過點O作兩條互相垂直的射線,與橢圓C分別交于A,B兩點,證明:點O到直線AB的距離為定值,并求弦AB長度的最小值.
解(1)由e=12,得ca=12,即a=2c,故b=3c.
由右焦點到直線xa+yb=1的距離為d=217,
得|bc-ab|a2+b2=217,
解得a=2,b=3.
所以橢圓C的方程為x24+y23=1.
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線AB的方程為y=kx+m,
聯(lián)立直線AB:y=kx+m與橢圓x24+y23=1,
消去y得3x2+4(k2x2+2kmx+m2)-12=0,
化簡得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0.
則x1+x2=-8km3+4k2,x1x2=4m2-123+4k2.
∵OA⊥OB,
∴x1x2+y1y2=0.
∴x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=0,
即(k2+1)x1x2+km(x1+x2)+m2=0,
∴(k2+1)4m2-123+4k2-8k2m23+4k2+m2=0,
整理得7m2=12(k2+1).
∴點O到直線AB的距離d=|m|k2+1=127=2217為定值.
∵OA⊥OB,
∴OA2+OB2=AB2≥2OAOB.
當(dāng)且僅當(dāng)OA=OB時取“=”號.
由dAB=OAOB得dAB=OAOB≤AB22,
∴AB≥2d=4217,
即弦AB的長度的最小值是4217.
21.(12分)設(shè)函數(shù)f(x)=-2x2+ax-ln x(a∈R),g(x)=exex+3.
(1)若函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減,求實數(shù)a的取值范圍;
(2)若對任意x∈(0,e),都有唯一的x0∈[e-4,e],使得g(x)=f(x0)+2x02成立,求實數(shù)a的取值范圍.
解(1)∵f(x)=-4x2+ax-1x,且f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減,
∴f(x)≤0在(0,+∞)內(nèi)恒成立,
即4x2-ax+1≥0在(0,+∞)內(nèi)恒成立.
∴Δ=a2-441≤0,
即-4≤a≤4;
或Δ=a2-441>0,a8<0,即a<-4.
綜上可知,a≤4.
(2)∵g(x)=e1-x(1-x),
∴g(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增,在[1,e)內(nèi)單調(diào)遞減.
又g(0)=3,g(1)=4,g(e)=e2-e+3>3,
∴g(x)的值域為(3,4].
記h(x)=f(x)+2x2=ax-lnx,m=g(x),
原問題等價于?m∈(3,4],存在唯一的x0∈[e-4,e],使得h(x0)=m成立.
∵h(yuǎn)(x)=a-1x=ax-1x,x∈[e-4,e].
①當(dāng)a≤1e時,h(x)≤0恒成立,h(x)單調(diào)遞減,
由h(x)max=h(e-4)=ae-4+4≥4,h(x)min=h(e)=ae-1≤3,解得0≤a≤1e;
②當(dāng)a≥e4時,h(x)≥0恒成立,h(x)單調(diào)遞增,
h(x)min=h(e-4)=ae-4+4>4,不符合題意,舍去;
③當(dāng)1e4,h(e)=ae-1,
要滿足條件,則ae-1≤3,故1e0,得|2cosα-sinα|>1.
故1|PM|+1|PN|=1|t1|+1|t2|=|t1+t2||t1t2|
=4|2cosα-sinα|∈(4,45].
[選修4—5:不等式選講]
23.(10分)(2018全國Ⅱ,文23)設(shè)函數(shù)f(x)=5-|x+a|-|x-2|.
(1)當(dāng)a=1時,求不等式f(x)≥0的解集;
(2)若f(x)≤1,求a的取值范圍.
解(1)當(dāng)a=1時,f(x)=2x+4,x≤-1,2,-12.
可得f(x)≥0的解集為{x|-2≤x≤3}.
(2)f(x)≤1等價于|x+a|+|x-2|≥4.
而|x+a|+|x-2|≥|a+2|,
且當(dāng)x=2時等號成立.
故f(x)≤1等價于|a+2|≥4.
由|a+2|≥4可得a≤-6或a≥2.
所以a的取值范圍是(-∞,-6]∪[2,+∞).
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