《江蘇省2019高考數(shù)學二輪復習 專題七 應用題 第2講 解三角形、幾何中的應用題學案.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《江蘇省2019高考數(shù)學二輪復習 專題七 應用題 第2講 解三角形、幾何中的應用題學案.doc（22頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

第2講　 解三角形、幾何中的應用題 [考情考向分析]　和三角形有關的應用題，可以利用正弦定理、余弦定理解三角形，進而解決實際問題；和幾何圖形有關的應用題，可以利用平面幾何知識或者建立平面直角坐標系轉(zhuǎn)化成解析幾何問題，利用直線或者曲線方程解決． 熱點一　和解三角形有關的應用題 例1　如圖所示，在某東西公交路線的南側(cè)有一個臨時停靠站臺，為了方便乘客，打算在站臺的一面東西方向的長方形墻體ABHG上用AB＝5 m，BC＝1 m的矩形角鋼焊接成一個簡易的遮陽棚(將AB放在墻上)．當太陽光線與水平線的夾角θ分別滿足下列情況時，要使此時遮陽棚的遮陰面積最大，應將遮陽棚ABCD所在的平面與矩形HEFG所在的路面所成的α設置為多大角度？ (1)θ＝90； (2)θ＝80. 解　(1)如圖1，當θ＝90時，太陽光線垂直于地面， 遮陽棚只有與地面平行時，遮陰面積最大， 故遮陽棚ABCD所在的平面與水平面所成角α＝0. (2)如圖2，在平面CBHE內(nèi)，過點C作直線IJ，與直線HE交于I，與直線HB的延長線交于J，并使得∠CIH＝80， 由題意可知，∠CBH＝α＋90. 在Rt△IHJ中，tan 80＝＝，即HI＝， 欲使得HI取到最大值，只需HB＋BJ取到最大值， 而站臺高HB為定長，故只需BJ取到最大值即可． 在△BCJ中，∠BJC＝10，∠BCJ＝α＋80，由正弦定理得， ＝＝， 即BJ＝， 故當α＝10時，BJ取到最大值，此時HI也取到最大值， 又S陰＝GHHI＝5HI，所以此時遮陽棚的遮陰面積最大． 思維升華　用正、余弦定理去解決具體設計問題時，應關注圖形的特點，找出已知量及所求的量，轉(zhuǎn)化為三角形的邊角，再利用正弦、余弦定理構(gòu)造方程或三角函數(shù)式求解． 跟蹤演練1　如圖，某公園有三條觀光大道AB，BC，AC圍成直角三角形，其中直角邊BC＝200 m，斜邊AB＝400 m．現(xiàn)有甲、乙、丙三位小朋友分別在AB，BC，AC大道上嬉戲，所在位置分別記為點D，E，F(xiàn). (1)若甲、乙都以每分鐘100 m的速度從點B出發(fā)在各自的大道上奔走，到大道的另一端時即停，乙比甲晚2分鐘出發(fā)，當乙出發(fā)1分鐘后，求此時甲、乙兩人之間的距離； (2)設∠CEF＝θ，乙、丙之間的距離是甲、乙之間距離的2倍，且∠DEF＝，請將甲、乙之間的距離y表示為θ的函數(shù)，并求甲、乙之間的最小距離． 解　(1)依題意得BD＝300 m，BE＝100 m， 在△ABC中，cos B＝＝，∴B＝， 在△BDE中，由余弦定理，得 DE2＝BD2＋BE2－2BDBEcos B ＝3002＋1002－2300100＝70 000， ∴DE＝100 m， 答　甲、乙兩人之間的距離為100 m. (2)由題意得EF＝2DE＝2y，∠BDE＝∠CEF＝θ， 在Rt△CEF中，CE＝EFcos∠CEF＝2ycos θ， 在△BDE中，由正弦定理得＝， 即＝， ∴y＝＝，0＜θ＜， ∴當θ＝時，y有最小值50. 答　甲、乙之間的最小距離為50 m. 熱點二　和立體幾何有關的應用題 例2　(2018淮安四市模擬)某藝術品公司欲生產(chǎn)一款迎新春工藝禮品，該禮品是由玻璃球面和該球的內(nèi)接圓錐組成，圓錐的側(cè)面用于藝術裝飾，如圖1.為了便于設計，可將該禮品看成是由圓O及其內(nèi)接等腰三角形ABC繞底邊BC上的高所在直線AO旋轉(zhuǎn)180而成，如圖2.已知圓O的半徑為10 cm，設∠BAO＝θ，0<θ<，圓錐的側(cè)面積為S cm2. (1)求S關于θ的函數(shù)關系式； (2)為了達到最佳觀賞效果，要求圓錐的側(cè)面積S最大．求S取得最大值時腰AB的長度． 解　(1)設AO的延長線交BC于點D，過O作OE⊥AB，垂足為E， 在△AOE中，AE＝10cos θ， AB＝2AE＝20cos θ， 在△ABD中， BD＝ABsin θ＝20cos θsin θ， 所以S＝400πsin θcos2θ，0<θ<. (2)要使側(cè)面積最大，由(1)得 S＝400πsin θcos2θ＝400π(sin θ－sin3θ) 令x＝sin θ，所以得f(x)＝x－x3， 由f′(x)＝1－3x2＝0得x＝， 當時，f′(x)>0，當x∈時，f′(x)<0， 所以f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減， 所以f(x)在x＝時取得極大值，也是最大值； 所以當sin θ＝時，側(cè)面積S取得最大值， 此時等腰三角形的腰長 AB＝20cos θ＝20＝20＝. 答　側(cè)面積S取得最大值時，等腰三角形的腰AB的長度為 cm. 思維升華　 和立體幾何有關的應用題，主要通過研究空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征和面積、體積的計算解決實際問題，解題的關鍵是抓住物體的幾何特征，將實際中的物體抽象成立體幾何中的柱、錐、臺、球等規(guī)則幾何體． 跟蹤演練2　(2018南通等六市模擬)將一鐵塊高溫融化后制成一張厚度忽略不計、面積為100 dm2的矩形薄鐵皮(如圖)，并沿虛線l1，l2裁剪成A，B，C三個矩形(B，C全等)，用來制成一個柱體．現(xiàn)有兩種方案： 方案①：以l1為母線，將A作為圓柱的側(cè)面展開圖，并從B，C中各裁剪出一個圓形作為圓柱的兩個底面； 方案②：以l1為側(cè)棱，將A作為正四棱柱的側(cè)面展開圖，并從B，C中各裁剪出一個正方形(各邊分別與l1或l2垂直)作為正四棱柱的兩個底面． (1)設B，C都是正方形，且其內(nèi)切圓恰為按方案①制成的圓柱的底面，求底面半徑； (2)設l1的長為x dm，則當x為多少時，能使按方案②制成的正四棱柱的體積最大？ 解　(1)設所得圓柱的半徑為r dm，則 4r＝100， 解得r＝. (2)設所得正四棱柱的底面邊長為a dm，則 即 所得正四棱柱的體積V＝a2x≤ 記函數(shù)p＝ 則p在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減． ∴當x＝2時， pmax＝20. ∴當x＝2， a＝時， Vmax＝ 20 dm3. 又2a≤x≤，從而a≤. 所得正四棱柱的體積V＝a2x≤a2＝20a≤20. ∴當a＝， x＝2時， Vmax＝ 20dm3. 答　(1)圓柱的底面半徑為 dm； (2)當x為2時，能使按方案②制成的正四棱柱的體積最大． 熱點三　和解析幾何有關的應用題 例3　如圖所示，某街道居委會擬在EF地段的居民樓正南方向的空白地段AE上建一個活動中心，其中AE＝30米．活動中心東西走向，與居民樓平行．從東向西看活動中心的截面圖的下部分是長方形ABCD，上部分是以DC為直徑的半圓．為了保證居民樓住戶的采光要求，活動中心在與半圓相切的太陽光線照射下落在居民樓上的影長GE不超過2.5米，其中該太陽光線與水平線的夾角θ滿足tan θ＝. (1)若設計AB＝18米，AD＝6米，問能否保證上述采光要求？ (2)在保證上述采光要求的前提下，如何設計AB與AD的長度，可使得活動中心的截面面積最大？ (注：計算中π取3) 解　如圖，以A為坐標原點，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標系． (1)因為AB＝18米， AD＝6米， 所以半圓的圓心為H(9,6)，半徑r＝9. 設太陽光線所在直線方程為y＝－x＋b， 即3x＋4y－4b＝0，則由＝9， 解得b＝24或b＝(舍)． 故太陽光線所在直線方程為y＝－x＋24, 令x＝30，得EG＝1.5＜2.5. 所以此時能保證上述采光要求． (2)設AD＝h米，AB＝2r米， 則半圓的圓心為H(r，h)，半徑為r. 方法一　設太陽光線所在直線方程為y＝－x＋b， 即3x＋4y－4b＝0， 由＝r，解得b＝h＋2r或b＝h－(舍)． 故太陽光線所在直線方程為y＝－x＋h＋2r， 令x＝30，得EG＝2r＋h－， 由EG≤，得h≤25－2r. 所以S＝2rh＋πr2＝2rh＋r2≤2r(25－2r)＋r2 ＝－r2＋50r＝－(r－10)2＋250≤250. 當且僅當r＝10時取等號． 所以當AB＝20米且AD＝5米時， 可使得活動中心的截面面積最大． 方法二　欲使活動中心內(nèi)部空間盡可能大， 則影長EG恰為2.5米，則此時點G為(30,2.5)， 設過點G的上述太陽光線為l1， 則l1所在直線方程為y－＝－(x－30)， 即3x＋4y－100＝0. 由直線l1與半圓H相切，得r＝. 而點H(r，h)在直線l1的下方，則3r＋4h－100＜0， 即r＝－，從而h＝25－2r. 又S＝2rh＋πr2＝2r(25－2r)＋r2＝－r2＋50r＝－(r－10)2＋250≤250.當且僅當r＝10時取等號． 所以當AB＝20米且AD＝5米時， 可使得活動中心的截面面積最大． 思維升華　以解析幾何為背景的應用題，一般要建立坐標系，然后轉(zhuǎn)化為三角知識或二次函數(shù)或用基本不等式來求解．解析幾何型應用題是高考的冷點，但在復習時要引起重視． 跟蹤演練3　如圖是一塊地皮OAB，其中OA，AB是直線段，曲線段OB是拋物線的一部分，且點O是該拋物線的頂點，OA所在的直線是該拋物線的對稱軸．經(jīng)測量，OA＝2 km，AB＝ km，∠OAB＝.現(xiàn)要從這塊地皮中劃一個矩形CDEF來建造草坪，其中點C在曲線段OB上，點D，E在直線段OA上，點F在直線段AB上，設CD＝a km，矩形草坪CDEF的面積為f(a) km2. (1)求f(a)，并寫出定義域； (2)當a為多少時，矩形草坪CDEF的面積最大？ 解　(1)以O為原點，OA邊所在的直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，過點B作BG⊥OA于點G， 在Rt△ABG中，AB＝，∠OAB＝， 所以AG＝BG＝1，又因為OA＝2， 所以OG＝1，則B(1,1)， 設拋物線OCB的標準方程為y2＝2px(p>0)， 代入點B的坐標，得p＝， 所以拋物線的方程為y2＝x. 因為CD＝a，所以AE＝EF＝a，則DE＝2－a－a2， 所以f(a)＝a(2－a－a2)＝－a3－a2＋2a， 定義域為(0,1)． (2)由(1)可知，f(a)＝－a3－a2＋2a， 則f′(a)＝－3a2－2a＋2，令f′(a)＝0，得a＝. 當0＜a＜時， f′(a)＞0，f(a)在上單調(diào)遞增； 當＜a＜1時， f′(a)＜0，f(a)在上單調(diào)遞減． 所以當a＝時，f(a)取得極大值，也是最大值 答　當a＝時，矩形草坪CDEF的面積最大． 1．(2016江蘇)現(xiàn)需要設計一個倉庫，它由上下兩部分組成，上部分的形狀是正四棱錐P-A1B1C1D1，下部分的形狀是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如圖所示)，并要求正四棱柱的高OO1是正四棱錐的高PO1的4倍． (1)若AB＝6 m，PO1＝2 m，則倉庫的容積是多少？ (2)若正四棱錐的側(cè)棱長為6 m，則當PO1為多少時，倉庫的容積最大？ 解　(1)V＝622＋6224＝312(m3)． (2)設PO1＝x， 則O1B1＝(00)， 將點代入得，4a＋＝， 解得a＝，即y＝x2＋. 設點P的坐標為，00， 故當t＝時，PG2取得最小值，即PG取得最小值， 為 ＝， 又因小路每米造價m元，故當t＝百米時小路造價最低，最低造價為100m＝m(元)． B組　能力提高 5.如圖，矩形ABCD是一個歷史文物展覽廳的俯視圖，點E在AB上，在梯形BCDE區(qū)域內(nèi)部展示文物，DE是玻璃幕墻，游客只能在△ADE區(qū)域內(nèi)參觀．在AE上點P處安裝一可旋轉(zhuǎn)的監(jiān)控攝像頭，∠MPN為監(jiān)控角，其中M，N在線段DE(含端點)上，且點M在點N的右下方．經(jīng)測量得知，AD＝6 m，AE＝6 m，AP＝2 m，∠MPN＝.記∠EPM＝θ(弧度)，監(jiān)控攝像頭的可視區(qū)域△PMN的面積為S. (1)求S關于θ的函數(shù)關系式，并寫出θ的取值范圍； (2)求S的最小值． 解　(1)方法一　在△PME中，∠EPM＝θ， PE＝AE－AP＝4 (m)， ∠PEM＝，∠PME＝－θ， 由正弦定理得＝， 所以PM＝＝＝， 同理在△PNE中， 由正弦定理得＝， 所以PN＝＝＝， 所以△PMN的面積S＝PMPNsin∠MPN ＝ ＝＝ ＝， 當M與E重合時，θ＝0；當N與D重合時， tan∠APD＝3，即∠APD＝，θ＝－， 所以0≤θ≤－. 綜上可得S＝，θ∈. 方法二　在△PME中，∠EPM＝θ， PE＝AE－AP＝4 (m)， ∠PEM＝，∠PME＝－θ， 由正弦定理可知， ＝， 所以ME＝＝＝， 在△PNE中，由正弦定理可知， ＝， 所以NE＝＝ ＝， 所以MN＝NE－ME＝ ， 又點P到DE的距離為d＝4sin＝2， 所以△PMN的面積S＝MNd ＝＝ ＝＝， 當M與E重合時，θ＝0；當N與D重合時， tan∠APD＝3，即∠APD＝，θ＝－， 所以0≤θ≤－. 所以S＝，θ∈. (2)當2θ＋＝，即θ＝∈時， S取得最小值＝8(－1)． 所以可視區(qū)域△PMN面積的最小值為8(－1)m2. 6．(2018江蘇海門中學模擬)將一個半徑為3 dm，圓心角為α(α∈(0,2π))的扇形鐵皮焊接成一個容積為V dm3的圓錐形無蓋容器(忽略損耗)． (1)求V關于α的函數(shù)關系式； (2)當α為何值時，V取得最大值； (3)容積最大的圓錐形容器能否完全蓋住桌面上一個半徑為0.5 dm的球？請說明理由． 解　(1)設底面半徑為r，高為h,3α＝2πr，h＝， ∴V＝πr2h＝π2，α∈(0,2π). (2) 令t＝r2＝2∈(0,9)，f(t)＝t2(9－t)， ∵f′(t)＝－3t(t－6)＝0， ∵t∈(0,9)∴t＝6， 因此t＝6，α＝π時，Vmax＝2π. (3)設圓錐軸截面三角形內(nèi)切圓半徑為r0. r0(3＋3＋2)＝2， ∴r0＝3－2>0.5， 所以能完全蓋住桌面上一個半徑為0.5 dm的球． 7．如圖是一座橋的截面圖，橋的路面由三段曲線構(gòu)成，曲線AB和曲線DE分別是頂點在路面A，E的拋物線的一部分，曲線BCD是圓弧，已知它們在接點B，D處的切線相同，若橋的最高點C到水平面的距離H＝6米，圓弧的弓高h＝1米，圓弧所對的弦長BD＝10米． (1)求弧所在圓的半徑； (2)求橋底AE的長． 解　(1)設弧所在圓的半徑為r(r＞0)， 由題意得r2＝52＋(r－1)2，∴r＝13. 即弧所在圓的半徑為13米． (2)以線段AE所在直線為x軸，線段AE的中垂線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系． ∵H＝6米，BD＝10米，弓高h＝1米， ∴B(－5,5)，D(5,5)，C(0,6)， 設所在圓的方程為x2＋(y－b)2＝r2(r＞0)， 則∴ ∴弧的方程為x2＋(y＋7)2＝169(5≤y≤6)． 設曲線AB所在拋物線的方程為y＝a(x－m)2， ∵點B(－5,5)在曲線AB上，∴5＝a(5＋m)2，① 又弧與曲線段AB在接點B處的切線相同，且弧在點B處的切線的斜率為， 由y＝a(x－m)2，得y′＝2a(x－m)， ∴2a(－5－m)＝，∴2a(5＋m)＝－，② 由①②得m＝－29，∴A(－29,0)，E(29,0)， ∴橋底AE的長為58米，