（通用版）2020版高考數(shù)學大一輪復習 第21講 兩角和與差的正弦學案 理 新人教A版.docx
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第21講 兩角和與差的正弦、余弦和正切 兩角和與差的正弦、余弦、正切公式 (1)公式S(αβ):sin(αβ)= . (2)公式C(αβ):cos(αβ)= . (3)公式T(αβ):tan(αβ)= . 常用結論 1.兩角和與差的正切公式的變形: tan αtan β=tan(αβ)(1?tan αtan β). 2.二倍角余弦公式的變形: sin2α=1-cos2α2,cos2α=1+cos2α2. 3.一般地,函數(shù)f(α)=asin α+bcos α(a,b為常數(shù))可以化為f(α)=a2+b2sin(α+φ)其中tanφ=ba或f(α)=a2+b2cos(α-φ)其中tanφ=ab. 題組一 常識題 1.[教材改編] sin 75的值為 . 2.[教材改編] 已知cos α=-35,α∈π2,π,則sinα+π3的值是 . 3.[教材改編] cos 65cos 115-cos 25sin 115= . 4.[教材改編] 已知tan α=13,tan β=-2,則tan(α-β)的值為 . 題組二 常錯題 ◆索引:忽略角的取值范圍;公式的結構套用錯誤;混淆兩角和與差的正切公式中分子、分母上的符號;方法選擇不當致誤. 5.已知tan5π4+α=17,α∈π2,π,則cos α的值是 . 6.化簡:12sin x-32cos x= . 7.計算:1-tan151+tan15= . 8.若α+β=3π4,則[1+tan(π-α)](1-tan β)的值為 . 探究點一 兩角和與差的三角函數(shù)公式 例1 (1)[2018湘潭模擬] 若sin(2α-β)=16,sin(2α+β)=12,則sin 2αcos β= ( ) A.23 B.13 C.16 D.112 (2)[2018晉城一模] 已知cosα+π6=3cos α,tan β=33,則tan(α+β)= . [總結反思] 兩角和與差的三角函數(shù)公式可看作是誘導公式的推廣,可用α,β的三角函數(shù)表示αβ的三角函數(shù),在使用兩角和與差的三角函數(shù)公式時,特別要注意角與角之間的關系,完成統(tǒng)一角和角與角轉換的目的. 變式題 (1)[2018佛山質檢] 已知cos α=17,α∈0,π2,則cosα-π3= ( ) A.-1114 B.3314 C.5314 D.1314 (2)[2018唐山三模] 已知tanα+π6=1,則tanα-π6= ( ) A.2-3 B.2+3 C.-2-3 D.-2+3 探究點二 兩角和與差公式的逆用與變形 例2 (1)[2018煙臺一模] 已知cosx-π6=33,則cos x+cosx-π3= ( ) A.-1 B.1 C.233 D.3 (2)已知sin α+cos β=13,sin β-cos α=12,則sin(α-β)= . [總結反思] 常見的公式變形:(1)兩角正切的和差公式的變形,即tan αtan β=tan(αβ)(1?tan αtan β);(2) asin α+bcos α=a2+b2sin(α+φ)tan φ=ba. 變式題 (1)[2018河南中原名校聯(lián)考] 22cos 375+22sin 375的值為 ( ) A.32 B.12 C.-32 D.-12 (2)(1+tan 20)(1+tan 21)(1+tan 24)(1+tan 25)= . 探究點三 角的變換問題 例3 (1)已知α∈-π3,0,cosα+π6-sin α=435,則sinα+π12的值是 ( ) A.-235 B.-210 C.235 D.-45 (2)[2018莆田二模] 已知sin α=255,sin(β-α)=-1010,α,β均為銳角,則β= ( ) A.5π12 B.π3 C.π4 D.π6 [總結反思] 常見的角變換:π22α=2π4α,2α=(α+β)+(α-β),α=α+β2+α-β2,π3+α=π2-π6-α等. 變式題 (1)[2018榆林模擬] 若0<α<π4,-π2<β<0,cosπ4+α=13,cosπ4-β2=33,則cosα+β2= ( ) A.539 B.-33 C.7327 D.-69 (2)已知π2<β<α<34π,cos(α-β)=1213,sin(α+β)=-35,則sin 2α= ( ) A.5665 B.-5665 C.1665 D.-1665 第21講 兩角和與差的正弦、余弦和正切 考試說明 1.會用向量的數(shù)量積推導出兩角差的余弦公式. 2.能利用兩角差的余弦公式導出兩角差的正弦、正切公式. 3.會用兩角差的余弦公式導出兩角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它們的內在聯(lián)系. 【課前雙基鞏固】 知識聚焦 (1)sin αcos βcos αsin β (2)cos αcos β?sin αsin β (3)tanαtanβ1?tanαtanβ 對點演練 1.6+24 [解析] sin 75=sin(45+30)=sin 45cos 30+cos 45sin 30=2232+2212=6+24. 2.4-3310 [解析] ∵cos α=-35,α∈π2,π,∴sin α=45,∴sinα+π3=sin αcosπ3+cos αsinπ3=4512+-3532=4-3310. 3.-1 [解析] 原式=cos 65cos 115-sin 65sin 115=cos(65+115)=cos 180=-1. 4.7 [解析] tan(α-β)=tanα-tanβ1+tanαtanβ=7. 5.-45 [解析] 因為tan5π4+α=tanπ4+α=17,所以1+tanα1-tanα=17,所以tan α=-34,又α∈π2,π,所以cos α=-432+(-4)2=-45. 6.sinx-π3 [解析] 12sin x-32cos x=cosπ3sin x-sinπ3cos x=sinx-π3. 7.33 [解析] 1-tan151+tan15=tan45-tan151+tan45tan15=tan(45-15)=tan 30=33. 8.2 [解析] 因為α+β=3π4,所以tan(α+β)=-1,即tanα+tanβ1-tanαtanβ=-1,整理得(1-tan α)(1-tan β)=2,所以[1+tan(π-α)](1-tan β)=(1-tan α)(1-tan β)=2. 【課堂考點探究】 例1 [思路點撥] (1)利用兩角和與差的正弦公式展開已知條件,進而求解;(2)先利用已知條件求出tan α,再根據(jù)兩角和的正切公式求解. (1)B (2)-33 [解析] (1)由sin(2α-β)=16,sin(2α+β)=12, 可得sin 2αcos β-cos 2αsin β=16①, sin 2αcos β+cos 2αsin β=12②, 由①+②得2sin 2αcos β=23,所以sin 2αcos β=13.故選B. (2)∵cosα+π6=32cos α-12sin α=3cos α, ∴-sin α=3cos α,故tan α=-3, ∴tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ=-3+331+333=-2332=-33. 變式題 (1)D (2)D [解析] (1)∵cos α=17,α∈0,π2,∴sin α=1-cos2α=1-172=437, ∴cosα-π3=cos αcosπ3+sin αsinπ3=1712+43732=1314.故選D. (2)由題意知,tanα-π6=tanα+π6-π3 =tanα+π6-tanπ31+tanα+π6tanπ3 =1-31+3=-2+3.故選D. 例2 [思路點撥] (1)首先利用兩角差的余弦公式展開cosx-π3,整理后再逆用兩角差的余弦公式即可;(2)將兩個條件等式分別平方相加即可. (1)B (2)-5972 [解析] (1)由題可知,cos x+cosx-π3=cos x+cos xcosπ3+sin xsinπ3=32cos x+32sin x=332cosx+12sinx=3cosx-π6=333=1.故選B. (2)∵sin α+cos β=13,sin β-cos α=12,∴(sin α+cos β)2=19,(sin β-cos α)2=14,即sin2α+2sin αcos β+cos2β=19①,sin2β-2sin βcos α+cos2α=14②, 由①+②得sin2α+2sin αcos β+cos2β+sin2β-2sin βcos α+cos2α=(sin2α+cos2α)+(cos2β+sin2β)+2(sin αcos β-sin βcos α)=1+1+2sin(α-β)=2+2sin(α-β)=1336,則sin(α-β)=-5972. 變式題 (1)A (2)4 [解析] (1)22cos 375+22sin 375=22cos 15+22sin 15=cos(45-15)=cos 30=32.故選A. (2)(1+tan 20)(1+tan 25)=1+tan 20+tan 25+tan 20tan 25=1+tan(20+25)(1-tan 20tan 25)+tan 20tan 25=2,同理可得(1+tan 21)(1+tan 24)=2,所以原式=4. 例3 [思路點撥] (1)對條件整理可得cosα+π3=45,又α+π12=α+π3-π4,利用兩角差的正弦公式求解;(2)根據(jù)角的變換得β=α+(β-α),利用已知條件先求出sin β的值,再求角β. (1)B (2)C [解析] (1)由cosα+π6-sin α=435, 得cos αcosπ6-sin αsinπ6-sin α=435,即32cos α-32sin α=435, ∴12cos α-32sin α=45,即cosα+π3=45. ∵α∈-π3,0,∴α+π3∈0,π3, ∴sinα+π3=1-cos2α+π3=35, ∴sinα+π12=sinα+π3-π4=22sinα+π3-22cosα+π3=2235-45=-210,故選B. (2)因為sin α=255,sin(β-α)=-1010,且α,β均為銳角,所以cos α=55,cos(β-α)=31010,所以sin β=sin[α+(β-α)]=sin αcos(β-α)+cos αsin(β-α)=25531010+55-1010=25250=22,所以β=π4.故選C. 變式題 (1)A (2)B [解析] (1)由題可知,0<π4+α<π2,π4<π4-β2<π2,所以sinπ4+α=223,sinπ4-β2=63, 所以cosα+β2=cosπ4+α-π4-β2=cosπ4+αcosπ4-β2+sinπ4+αsinπ4-β2=1333+22363=539.故選A. (2)因為π2<β<α<3π4,所以0<α-β<π4,π<α+β<3π2,由cos(α-β)=1213,得sin(α-β)=513,由sin(α+β)=-35,得cos(α+β)=-45,則sin 2α=sin[(α-β)+(α+β)]=sin(α-β)cos(α+β)+cos(α-β)sin(α+β)=513-45+1213-35=-5665,故選B. 【備選理由】 例1考查兩角差的正切公式、基本不等式、正切函數(shù)的單調性,考查綜合分析與運算的能力;例2主要考查三角函數(shù)中的恒等變換的應用,熟練運用相關公式和特殊角的關系是解題的關鍵;例3考查兩角和與差的正弦公式的運用,關鍵是角的配湊,然后化簡求值. 例1 [配合例1使用] [2018南充模擬] 若tan α=3tan β0<β<α<π2,則α-β的最大值為 . [答案] π6 [解析] ∵tan α=3tan β0<β<α<π2, ∴tan β>0, ∴tan(α-β)=tanα-tanβ1+tanαtanβ=2tanβ1+3tan2β=21tanβ+3tanβ. ∵tan β>0, ∴1tanβ+3tan β≥21tanβ3tanβ=23,∴tan(α-β)≤33,當且僅當3tan2β=1,即tan β=33時取等號,此時β=π6,tan α=3tan β,即tan α=3,α=π3. 又0<β<α<π2,∴0<α-β<π2, ∴0
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