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第9講 對數(shù)與對數(shù)函數(shù)
1.對數(shù)
概念
如果ax=N(a>0,且a≠1),那么x叫作以a為底N的 ,記作x=logaN,其中a叫作對數(shù)的底數(shù),N叫作真數(shù),logaN叫作對數(shù)式
性質(zhì)
底數(shù)的限制:a>0,且a≠1
對數(shù)式與指數(shù)式的互化:ax=N?
負數(shù)和零沒有
loga1=
logaa=1
對數(shù)恒等式:alogaN=
運算法則
loga(MN)=
a>0,且a≠1,
M>0,N>0
logaMN=
logaMn= (n∈R)
換底公式
換底公式:logab=logcblogca(a>0,且a≠1,c>0,且c≠1,b>0)
推論:logambn= ,logab=1logba
2.對數(shù)函數(shù)的概念、圖像與性質(zhì)
概念
函數(shù)y=logax(a>0,a≠1)叫作 函數(shù)
底數(shù)
a>1
0
0,且a≠1)與對數(shù)函數(shù) 互為反函數(shù),它們的圖像關于直線 對稱.
常用結(jié)論
1.互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖像關于直線y=x對稱.
2.只有在定義域上單調(diào)的函數(shù)才存在反函數(shù).
題組一 常識題
1.[教材改編] 化簡logablogbclogca的結(jié)果是 .
2.[教材改編] 函數(shù)f(x)=log2(2-x)的定義域是 .
3.[教材改編] 若函數(shù)y=f(x)是函數(shù)y=2x的反函數(shù),則f(2)= .
4.[教材改編] 函數(shù)y=log12(x2-4x+5)的單調(diào)遞增區(qū)間是 .
題組二 常錯題
◆索引:對數(shù)的性質(zhì)及其運算掌握不到位;忽略真數(shù)大于零致錯;不能充分運用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì);忽略對底數(shù)的討論致誤.
5.有下列結(jié)論:①lg(lg 10)=0;②lg(ln e)=0;③若lg x=1,則x=10;④若log22=x,則x=1;⑤若logmnlog3m=2,則n=9.其中正確結(jié)論的序號是 .
6.已知lg x+lg y=2lg(x-2y),則xy= .
7.設a=14,b=log985,c=log83,則a,b,c的大小關系是 .
8.若函數(shù)y=logax(a>0,a≠1)在[2,4]上的最大值與最小值的差是1,則a= .
探究點一 對數(shù)式的化簡與求值
例1 (1)[2018宿州質(zhì)檢] 已知m>0,n>0,log2(3m)+log2n=log2(2m2+n),則log2m-log4n的值為 ( )
A.-1 B.1
C.-1或0 D.1或0
(2)設2x=5y=m,且1x+1y=2,則m= .
[總結(jié)反思] (1)對數(shù)運算法則是在化為同底的情況下進行的,因此經(jīng)常會用到換底公式及其推論.在對含有字母的對數(shù)式進行化簡時,必須保證恒等變形.
(2)利用對數(shù)運算法則,在真數(shù)的積、商、冪與對數(shù)的和、差、倍之間進行轉(zhuǎn)化.
變式題 (1)[2018昆明一中模擬] 設x,y為正數(shù),且3x=4y,當3x=py時,p的值為 ( )
A.log34 B.log43
C.6log32 D.log32
(2)計算:lg 32+log416+6lg12-lg 5= .
探究點二 對數(shù)函數(shù)的圖像及應用
例2 (1)函數(shù)f(x)=loga|x|+1(0b>c>0,則f(a)a,f(b)b,f(c)c的大小關系是 ( )
A.f(a)a>f(b)b>f(c)c
B.f(c)c>f(b)b>f(a)a
C.f(b)b>f(a)a>f(c)c
D.f(a)a>f(c)c>f(b)b
探究點三 解決與對數(shù)函數(shù)性質(zhì)有關的問題
微點1 比較大小
例3 (1)[2018武漢4月調(diào)研] 若實數(shù)a,b滿足a>b>1,m=loga(logab),n=(logab)2,l=logab2,則m,n,l的大小關系為 ( )
A.m>l>n B.l>n>m
C.n>l>m D.l>m>n
(2)[2018長沙雅禮中學期末] 已知a=ln12,b=log1312,則( )
A.a+b1>log34a,則a的取值范圍是 ( )
A.23,1 B.23,34
C.34,1 D.0,23
(2)已知實數(shù)a>0,且滿足不等式33a+2>34a+1,則不等式loga(3x+2)b的不等式,一般轉(zhuǎn)化為logaf(x)>logaab,再根據(jù)底數(shù)的范圍轉(zhuǎn)化為f(x)>ab或0logbg(x)的不等式,一般要轉(zhuǎn)化為同底的不等式來解.
微點3 對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合問題
例5 (1)[2018丹東二模] 若函數(shù)f(x)=logax,x>3,log1ax+2,00,且a≠1)與對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)互為反函數(shù).
【課前雙基鞏固】
知識聚焦
1.對數(shù) x=logaN 對數(shù) 0 N logaM+logaN logaM-logaN nlogaM nmlogab
2.對數(shù) (0,+∞) R (1,0) 增 減
3.y=logax(a>0,且a≠1) y=x
對點演練
1.1 [解析] 利用對數(shù)的換底公式可得結(jié)果為1.
2.(-∞,2) [解析] 由2-x>0,解得x<2,即函數(shù)f(x)的定義域為(-∞,2).
3.1 [解析] 函數(shù)f(x)=log2x,所以f(2)=1.
4.(-∞,2) [解析] 因為0<12<1,所以y=log12x單調(diào)遞減,而函數(shù)y=x2-4x+5>0恒成立,且單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,2),所以函數(shù)y=log12(x2-4x+5)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,2).
5.①②③④⑤ [解析] ①lg 10=1,則lg(lg 10)=lg 1=0;②lg(ln e)=lg 1=0;③底的對數(shù)等于1,則x=10;④底的對數(shù)等于1;⑤logmn=lgnlgm,log3m=lgmlg3,則lgnlg3=2,即log3n=2,故n=9.
6.4 [解析] 因為lg x+lg y=2lg(x-2y),所以xy=(x-2y)2,即x2-5xy+4y2=0,解得x=y或x=4y.由已知得x>0,y>0,x-2y>0,所以x=y不符合題意,當x=4y時,得xy=4.
7.c>a>b [解析] a=14=log949=log93log985=b,所以c>a>b.
8.2或12 [解析] 分兩種情況討論:(1)當a>1時,有l(wèi)oga4-loga2=1,解得a=2;(2)當00時,f(x)=loga|x|+1(01或x<-1},且f(x)是偶函數(shù),故排除C,D;當x>1時,函數(shù)f(x)=ln(x-1)是增函數(shù),故排除A.故選B.
(2)由題意可得,f(a)a,f(b)b,f(c)c可分別看作函數(shù)f(x)=log2(x+1)圖像上的點(a,f(a)),(b,f(b)),(c,f(c))與原點連線的斜率,結(jié)合圖像(圖略)可知,當a>b>c>0時,f(c)c>f(b)b>f(a)a.故選B.
例3 [思路點撥] (1)推導出0=loga1b>1,m=loga(logab),n=(logab)2,l=logab2,
∴0=loga1n=(logab)2,
∴l(xiāng)>n>m.故選B.
(2)由題得a=ln12log131=0,所以ab<0.
又a+b=ln12+log1312=-ln 2+ln2ln3=ln 21ln3-1=ln 21-ln3ln3<0,
則ab-(a+b)=ab-a-b=ln12log1312-ln12-log1312=-ln 2ln2ln3+ln 2-ln2ln3=ln 2-ln2ln3+1-1ln3=ln 2ln3-ln2-1ln3=ln 2ln32eln3<0,所以ab1與log34a<1,其交集即為不等式的解集;(2)先根據(jù)指數(shù)不等式確定a的范圍,然后根據(jù)同底的對數(shù)不等式求解,并注意真數(shù)的取值.
(1)C (2)34,85 [解析] (1)根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì),由loga23>1,可得2334.綜上可得344a+1,∴08-5x,3x+2>0,8-5x>0,解得x∈34,85.
例5 [思路點撥] (1)由分段函數(shù)在兩段上的單調(diào)性,結(jié)合f(x)存在最小值,列不等式求解即可;(2)令t=x2-ax+3a,則由題意可得函數(shù)t=x2-ax+3a在區(qū)間[2,+∞)上為增函數(shù),且當x=2時,t>0,從而得解.
(1)C (2)-41,否則函數(shù)無最小值,
所以當x>3時,f(x)>loga3,
當00,
故有a2≤2,4-2a+3a>0,解得-4log0.40.4=1,
c=log80.40,可得x2-2x<0,解得0b>a B.b>a>c
C.a>c>b D.a>b>c
[解析] D a=18118>180=1,b=log20172018=12log20172018,∵log20172018∈(1,2),∴b∈12,1.c=log20182017=12log20182017,∵log20182017∈(0,1),∴c∈0,12,∴a>b>c.
例3 [配合例5使用] 已知函數(shù)f(x)=lg5x+45x+m的值域是R,則m的取值范圍是 ( )
A.(-4,+∞) B.[-4,+∞)
C.(-∞,4) D.(-∞,-4]
[解析] D 令t=5x+45x+m,因為f(x)的值域為R,所以t可取(0,+∞)內(nèi)的每一個正數(shù),所以4+m≤0,故m≤-4,故選D.
例4 [配合例5使用] 已知函數(shù)f(x)=loga(x+1),g(x)=loga(1-x)(其中a>0,且a≠1).
(1)求函數(shù)f(x)+g(x)的定義域;
(2)判斷函數(shù)f(x)-g(x)的奇偶性,并予以證明;
(3)求使f(x)+g(x)<0成立的x的取值集合.
解:(1)由題意得x+1>0,1-x>0,
∴-11時,0<1-x2<1,
即01,不等式無解.
綜上,當a>1時,使f(x)+g(x)<0成立的x的取值集合為{x|0
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