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增分突破二　功能關(guān)系解決單體多過程問題 增分策略 　　一個(gè)物體參與了多個(gè)運(yùn)動(dòng)過程,若該過程涉及能量轉(zhuǎn)化問題,并符合功能關(guān)系的特點(diǎn),則往往用動(dòng)能定理、機(jī)械能守恒定律或能量守恒定律求解。以動(dòng)能定理、機(jī)械能守恒定律、能量守恒定律、功能關(guān)系為工具,除能解決典型運(yùn)動(dòng)問題以外,還可以解決復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)形式,例如一般性圓周運(yùn)動(dòng)。利用能量觀點(diǎn)解題最大的優(yōu)點(diǎn)是無需過分關(guān)注運(yùn)動(dòng)細(xì)節(jié),而重點(diǎn)抓住運(yùn)動(dòng)的初、末狀態(tài)。能用動(dòng)力學(xué)方法解決的題目,用功與能量方法一定能求解,而能用功與能量方法解決的題目,用動(dòng)力學(xué)方法不一定能求解。 1.力學(xué)中常見的功與對(duì)應(yīng)能量的變化關(guān)系 功 能量變化 關(guān)系式 合外力做的功k 動(dòng)能的變化量 W合=ΔE 重力做的功 重力勢(shì)能的變化量 WG=-ΔEp 彈簧彈力做的功 彈性勢(shì)能的變化量 W彈=-ΔEp 除重力和系統(tǒng)內(nèi)彈簧彈力 以外其他力做的功 機(jī)械能的變化量 W其他=ΔE 一對(duì)滑動(dòng)摩擦力 做功的代數(shù)和 因摩擦而 產(chǎn)生的內(nèi)能 FfΔx=Q(Δx為物 體間的相對(duì)位移) 　　2.電磁學(xué)中幾個(gè)重要的功能關(guān)系 (1)靜電力做功與路徑無關(guān)。若電場(chǎng)為勻強(qiáng)電場(chǎng),則W=Fl cos α=Eql cos α;若是非勻強(qiáng)電場(chǎng),則一般利用W=qU來求。靜電力做的功等于電勢(shì)能的變化,即WAB=-ΔEp。 (2)電磁感應(yīng)過程中產(chǎn)生的感應(yīng)電流在磁場(chǎng)中必定受到安培力的作用,因此,要維持感應(yīng)電流的存在,必須有“外力”克服安培力做功,將其他形式的能轉(zhuǎn)化為電能?！巴饬Α笨朔才嗔ψ隽硕嗌俟?就有多少其他形式的能轉(zhuǎn)化為電能。 考點(diǎn)一　有關(guān)摩擦作用的功能關(guān)系問題 　　典例1　如圖所示,傳送帶AB總長(zhǎng)l=10 m,與一個(gè)半徑R=0.4 m的光滑四分之一圓弧軌道BC相切于B點(diǎn),傳送帶速度恒為v=6 m/s,方向向右?，F(xiàn)有一個(gè)滑塊以一定的初速度從A點(diǎn)水平滑上傳送帶,滑塊的質(zhì)量m=10 kg,滑塊與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.1。已知滑塊運(yùn)動(dòng)到B端時(shí),剛好與傳送帶同速,求: (1)滑塊的初速度; (2)滑塊能上升的最大高度; (3)滑塊第二次在傳送帶上滑行時(shí),滑塊和傳送帶組成的系統(tǒng)產(chǎn)生的內(nèi)能。 答案　(1)214 m/s或4 m/s　(2)1.8 m　(3)220 J 解析　(1)以滑塊為研究對(duì)象,滑塊在傳送帶上運(yùn)動(dòng)過程中,當(dāng)滑塊的初速度大于傳送帶的速度時(shí),有-μmgl=12mv2-12mv02 解得v0=214 m/s 當(dāng)滑塊的初速度小于傳送帶的速度時(shí),有μmgl=12mv2-12mv02 解得v0=4 m/s。 (2)由動(dòng)能定理可得-mgh=0-12mv2,解得h=1.8 m。 (3)以滑塊為研究對(duì)象,由牛頓第二定律得μmg=ma,滑塊的加速度a=1 m/s2 滑塊減速到零的位移s=v22a=18 m>10 m 則滑塊第二次在傳送帶上滑行時(shí),速度沒有減小到零就離開了傳送帶, 由勻變速運(yùn)動(dòng)的位移公式可得l=vt-12at2 解得t=2 s(t=10 s舍去) 在此時(shí)間內(nèi)傳送帶的位移x=vt=62 m=12 m 滑塊第二次在傳送帶上滑行時(shí),滑塊和傳送帶組成的系統(tǒng)產(chǎn)生的內(nèi)能Q=μmg(l+x)=0.11010(10+12)J=220 J。 反思提升 解決功能關(guān)系問題需要關(guān)注的問題: 1.分析清楚是什么力做功,并且清楚該力做正功還是做負(fù)功;根據(jù)功能之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,判定能的轉(zhuǎn)化形式,確定能量之間轉(zhuǎn)化的多少。 2.也可以根據(jù)能量之間的轉(zhuǎn)化情況,確定是什么力做功,尤其可以方便計(jì)算變力做功的多少。 　　1-1　如圖所示,固定的粗糙弧形軌道下端B點(diǎn)水平,上端A點(diǎn)與B點(diǎn)的高度差h1=0.3 m,傾斜傳送帶與水平方向的夾角θ=37,傳送帶的上端C點(diǎn)與B點(diǎn)的高度差h2=0.1 125 m(傳送帶傳動(dòng)輪的大小可忽略不計(jì))。一質(zhì)量m=1 kg的滑塊(可看做質(zhì)點(diǎn))從軌道的A點(diǎn)由靜止滑下,然后從B點(diǎn)拋出,恰好以平行于傳送帶的速度從C點(diǎn)落到傳送帶上,傳送帶逆時(shí)針傳動(dòng),速度大小v=0.5 m/s,滑塊與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.8,且傳送帶足夠長(zhǎng),滑塊運(yùn)動(dòng)過程中空氣阻力忽略不計(jì),g=10 m/s2,試求: (1)滑塊運(yùn)動(dòng)至C點(diǎn)時(shí)的速度大小vC; (2)滑塊由A到B運(yùn)動(dòng)過程中克服摩擦力做的功Wf; (3)滑塊在傳送帶上運(yùn)動(dòng)時(shí)與傳送帶摩擦產(chǎn)生的熱量Q。 答案　(1)2.5 m/s　(2)1 J　(3)32 J 解析　(1)在C點(diǎn),豎直分速度:vy=2gh2=1.5 m/s vy=vC sin 37,解得vC=2.5 m/s。 (2)C點(diǎn)的水平分速度與B點(diǎn)的速度相等,則 vB=vx=vC cos 37=2 m/s 從A點(diǎn)到B點(diǎn)的過程中,據(jù)動(dòng)能定理得:mgh1-Wf=12mvB2 解得Wf=1 J。 (3)滑塊在傳送帶上運(yùn)動(dòng)時(shí),由于mg sin 37<μmg cos 37 根據(jù)牛頓第二定律得:μmg cos 37-mg sin 37=ma 解得a=0.4 m/s2 達(dá)到共同速度所需時(shí)間t=vC-va=5 s 二者間的相對(duì)位移Δx=v+vC2t-vt=5 m 此后滑塊做勻速運(yùn)動(dòng)。 滑塊在傳送帶上運(yùn)動(dòng)時(shí)與傳送帶摩擦產(chǎn)生的熱量 Q=μmg cos 37Δx=32 J。 考點(diǎn)二　有關(guān)彈簧的功能關(guān)系問題 　　典例2　如圖所示,重10 N的滑塊在傾角為30的斜面上,從a點(diǎn)由靜止開始下滑,到b點(diǎn)開始?jí)嚎s輕彈簧,到c點(diǎn)時(shí)達(dá)到最大速度,到d點(diǎn)(圖中未畫出)開始彈回,返回b點(diǎn)離開彈簧,恰能再回到a點(diǎn)。若xbc=0.1 m,彈簧彈性勢(shì)能的最大值為8 J,則下列說法正確的是(　　) A.輕彈簧的勁度系數(shù)是50 N/m B.從d到b滑塊克服重力做功8 J C.滑塊的動(dòng)能最大值為8 J D.從d點(diǎn)到c點(diǎn)彈簧的彈力對(duì)滑塊做功8 J 答案　A 解析　整個(gè)過程中,滑塊從a點(diǎn)由靜止釋放后還能回到a點(diǎn),說明機(jī)械能守恒,即斜面是光滑的。滑塊到c點(diǎn)時(shí)速度最大,所受合力為零,由平衡條件和胡克定律有kxbc=G sin 30,解得k=50 N/m,A項(xiàng)正確。由d到b的過程中,彈簧的彈性勢(shì)能一部分轉(zhuǎn)化為重力勢(shì)能,一部分轉(zhuǎn)化為動(dòng)能,B項(xiàng)錯(cuò)?；瑝K由d到c的過程中,滑塊與彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒,彈簧的彈性勢(shì)能一部分轉(zhuǎn)化為重力勢(shì)能,一部分轉(zhuǎn)化為動(dòng)能,故到c點(diǎn)時(shí)最大動(dòng)能一定小于8 J,C項(xiàng)錯(cuò)。又彈性勢(shì)能減少量小于8 J,所以彈力對(duì)滑塊做的功小于8 J,D項(xiàng)錯(cuò)。 解題技巧　彈力做功一般屬于變力做功,因此在求彈力做功時(shí),可以考慮利用F-x圖像求面積或者通過求彈性勢(shì)能變化間接求彈力做功。 　　2-1　如圖所示,光滑水平面AB與豎直面內(nèi)的半圓形軌道在B點(diǎn)相切,半圓形軌道的半徑為R。一個(gè)質(zhì)量為m的物體將彈簧壓縮至A點(diǎn)后由靜止釋放,在彈力作用下物體獲得某一向右的速度后脫離彈簧,它經(jīng)過B點(diǎn)進(jìn)入軌道的瞬間對(duì)軌道的壓力為其重力的8倍,之后向上運(yùn)動(dòng)恰能到達(dá)最高點(diǎn)C(不計(jì)空氣阻力)。試求: (1)物體在A點(diǎn)時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能; (2)物體從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至C點(diǎn)的過程中產(chǎn)生的內(nèi)能。 答案　(1)72mgR　(2)mgR 解析　(1)設(shè)物體在B點(diǎn)時(shí)速度為vB,所受彈力為FNB,則有 FNB-mg=mvB2R 又FNB=8mg 由能量守恒定律可知物體在A點(diǎn)時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能 Ep=12mvB2=72mgR。 (2)設(shè)物體在C點(diǎn)時(shí)速度為vC,由題意可知mg=mvC2R 物體由B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的過程中,由能量守恒定律得 Q=12mvB2-12mvC2+2mgR=mgR。 考點(diǎn)三　功能關(guān)系在電學(xué)中的應(yīng)用 　　典例3　如圖所示,在空間有兩個(gè)磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域Ⅰ和Ⅱ,區(qū)域Ⅰ磁場(chǎng)邊界AA與DD的間距為H,磁場(chǎng)方向垂直于紙面向里;區(qū)域Ⅱ磁場(chǎng)足夠?qū)?其上邊界為CC,磁場(chǎng)方向垂直于紙面向外,CC與DD的間距為L(zhǎng)。現(xiàn)有一質(zhì)量為m、邊長(zhǎng)為L(zhǎng)(LEk2,所以小球在碰后不能做豎直面內(nèi)完整的圓周運(yùn)動(dòng) (3)設(shè)碰撞之后小物塊速度為v2,由已知得:12m2v22=12m1v02+m1gr75%⑥ 設(shè)小物塊運(yùn)動(dòng)至C點(diǎn)時(shí)的速度為v3,小物塊從B到C的過程,由動(dòng)能定理得: -μm2gL=12m2v32-12m2v22⑦ 由⑥⑦得:4v32=9v02+18gr-8μgL 代入數(shù)據(jù)得:v3=5 m/s 平拋過程:tan θ=yx,x=v3t,y=12gt2 代入數(shù)據(jù)得:x=3.75 m CP=xcosθ=7516 m