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第18講　同角三角函數(shù)的基本關系式與誘導公式 1.同角三角函數(shù)的基本關系式 (1)平方關系:　　　　　　　　. (2)商數(shù)關系:　　　　　　　　　　　　. 2.誘導公式 公式一 公式二 公式三 公式四 公式五 公式六 角 α+2kπ (k∈Z) π+α -α π-α π2-α π2+α 正弦 sin α 　　 　　 sin α cos α cos α 余弦 cos α 　　 cos α 　　 sin α 　　 正切 tan α 　　 　　 -tan α 口訣 函數(shù)名不變,符號看象限 函數(shù)名改變,符號看象限 記憶 規(guī)律 奇變偶不變,符號看象限 常用結論 1.sin(kπ+α)=(-1)ksin α. 2.在△ABC中: (1)sin(A+B)=sin C,cos(A+B)=-cos C,tan(A+B)=-tan C;　 (2)sin A+B2=cos C2,cos A+B2=sin C2. 題組一　常識題 1.[教材改編] 已知cos α=1213,且α是第四象限角,則sin α的值為　　　　. 2.[教材改編] 已知sinα-2cosα3sinα+5cosα=-5,那么tan α的值為　　　　. 3.[教材改編] 已知sin α=33,則cos3π2+α=　　　　. 4.[教材改編] 求值:sin(-1200)cos 1290=　　　　. 題組二　常錯題 ◆索引:平方關系沒有考慮角的象限導致出錯;擴大角的范圍導致出錯;不會運用消元的思想;kπα的形式?jīng)]有把k按奇數(shù)和偶數(shù)進行分類討論導致出錯. 5.已知△ABC中,cosAsinA=-125,則cos A等于　　　　. 6.已知cos32π+α=-35,且α是第四象限角,則cos(-3π+α)=　　　　. 7.已知sinα+3cosα3cosα-sinα=5,則sin2α-sin αcos α=　　　　. 8.已知A=sin(kπ+α)sinα+cos(kπ+α)cosα(k∈Z),則A的值構成的集合是　　　　. 探究點一　三角函數(shù)的誘導公式 例1 (1)[2018遵義聯(lián)考] 若sinπ2+α=-35,則cos(2π-α)= (　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.-35 B.35 C.-45 D.45 (2)[2018桂林模擬] 已知f(α)=sin(π-α)cos(2π-α)cos(-π-α),則f-8π3的值為 (　　) A.12 B.32 C.-12 D.-32 [總結反思] (1)已知角求值問題,關鍵是利用誘導公式把任意角的三角函數(shù)值轉化為銳角的三角函數(shù)值求解.轉化過程中注意口訣“奇變偶不變,符號看象限”的應用. (2)對給定的式子進行化簡或求值時,要注意給定的角之間存在的特定關系,充分利用給定的關系結合誘導公式將角進行轉化.特別要注意每一個角所在的象限,防止符號及三角函數(shù)名出錯. 變式題 (1)[2018廣東名校聯(lián)考] 若cosα+π6=45,則sinα-π3= (　　) A.45 B.35 C.-35 D.-45 (2)[2018江西六校聯(lián)考] 若點(a,32)在函數(shù)y=2x的圖像上,則tanaπ3的值為 (　　) A.3 B.33 C.-3 D.-33 探究點二　同角三角函數(shù)的基本關系 微點1　切弦互化 例2 (1)[2018南充模擬] 已知tan α=2,則sinα+cosαsinα-3cosα的值為 (　　) A.-3 B.3 C.13 D.-13 (2)[2018貴陽模擬] 已知sin(π-α)=-23,且α∈-π2,0,則tan(2π-α)= (　　) A.255 B.-255 C.52 D.-52 [總結反思] (1)同角三角函數(shù)的基本關系式的功能是根據(jù)角的一個三角函數(shù)值求其他三角函數(shù)值,主要利用商數(shù)關系sinαcosα=tan α和平方關系1=sin2α+cos2α;(2)在弦切互化時,要注意判斷角所在的象限,不要弄錯切、弦的符號. 微點2　“1”的變換 例3 (1)[2018廣東六校三聯(lián)] 已知sinπ2+θ+3cos(π-θ)=sin(-θ),則sin θcos θ+cos2θ= (　　) A.15 B.25 C.35 D.55 (2)[2018武漢調(diào)研] 已知sin αcos α=310,則tan α=　　　　. [總結反思] 對于含有sin2x,cos2x,sin xcos x的三角函數(shù)求值問題,一般可以考慮添加分母1,再將1用“sin2x+cos2x”代替,然后用分子分母同除以角的余弦的平方的方式將其轉化為關于tan α的式子,從而求解. 微點3　和積轉換 例4 [2018濰坊模擬] 若α∈(0,π),sin(π-α)+cos α=23,則sin α-cos α的值為 (　　) A.23 B.-23 C.43 D.-43 [總結反思] 對于sin α+cos α,sin α-cos α,sin αcos α這三個式子,利用(sin αcos α)2=12sin αcos α可以達到轉換、知一求二的目的. 應用演練 1.【微點1】[2018南昌模擬] 已知sin θ=13,θ∈π2,π,則tan θ= (　　) A.-2 B.-2 C.-22 D.-24 2.【微點1】已知tan x=-125,x∈π2,π,則cos-x+3π2= (　　) A.513 B.-513 C.1213 D.-1213 3.【微點2】[2018遵義模擬] 若點(2,tan θ)在直線y=2x-1上,則sinθcosθ1-sin2θ= (　　) A.2 B.3 C.4 D.6 4.【微點3】若sin θ,cos θ是方程4x2+2mx+m=0的兩根,則m的值為　　　　. 第18講　同角三角函數(shù)的基本關系式與誘導公式 考試說明 1.理解同角三角函數(shù)的基本關系式:sin2x+cos2x=1,sinxcosx=tan x. 2.能利用單位圓中的三角函數(shù)線推導出π2α,πα的正弦、余弦、正切的誘導公式. 【課前雙基鞏固】 知識聚焦 1.(1)sin2α+cos2α=1　(2)sinαcosα=tan α,α≠kπ+π2(k∈Z) 2.-sin α　-sin α　-cos α　-cos α　-sin α　tan α　-tan α 對點演練 1.-513　[解析] 由于α是第四象限角,故sin α=-1-cos2α=-513. 2.-2316　[解析] 由sinα-2cosα3sinα+5cosα=-5,知cos α≠0,等式左邊分子分母同時除以cos α,可得tanα-23tanα+5=-5,得tan α=-2316. 3.33　[解析] cos3π2+α=cosπ+π2+α=-cosπ2+α=sin α=33. 4.34　[解析] 原式=-sin(120+3360)cos(210+3360)=-sin 120cos 210=-sin(180-60)cos(180+30)=sin 60cos 30=3232=34. 5.-1213　[解析] ∵cosAsinA=-125,∴sin A=-512cos A,∵A為△ABC的內(nèi)角,∴sin A>0,∴cos A<0.又sin2A+cos2A=1,∴cos A=-1213. 6.-45　[解析] cos32π+α=sin α=-35,且α是第四象限角,所以cos α=45,所以cos(-3π+α)=-cos α=-45. 7.25　[解析] 由sinα+3cosα3cosα-sinα=5,知cos α≠0,等式左邊分子分母同時除以cos α,得tanα+33-tanα=5,得tan α=2,所以sin2α-sin αcos α=sin2α-sinαcosαsin2α+cos2α=tan2α-tanαtan2α+1=25. 8.{2,-2}　[解析] 當k為偶數(shù)時,A=sinαsinα+cosαcosα=2;當k為奇數(shù)時,A=-sinαsinα-cosαcosα=-2. 【課堂考點探究】 例1　[思路點撥] (1)利用誘導公式進行計算;(2)根據(jù)誘導公式整理函數(shù)f(α),再將α=-8π3代入求值. (1)A　(2)B　[解析] (1)∵sinπ2+α=cos α=-35,∴cos(2π-α)=cos α=-35.故選A. (2)由題可知,f(α)=sinαcosα-cosα=-sin α, 則f-8π3=-sin-8π3=sin8π3=sin2π+2π3=sin2π3=sinπ3=32. 變式題　(1)D　(2)C　[解析] (1)∵cosα+π6=45, ∴sinα-π3=sinα+π6-π2=-cosα+π6=-45,故選D. (2)∵點(a,32)在函數(shù)y=2x的圖像上,∴32=2a,∴a=5, 則tanaπ3=tan5π3=tan2π-π3=-tanπ3=-3, 故選C. 例2　[思路點撥] (1)利用sinαcosα=tan α直接將待求式轉化成只含tan α的式子,再求值;(2)由題設條件可得sin α,再根據(jù)同角三角函數(shù)基本關系式可得cos α,tan α,然后根據(jù)誘導公式化簡即可得解. (1)A　(2)A　[解析] (1)∵tan α=2,∴cos α≠0,∴sinα+cosαsinα-3cosα=tanα+1tanα-3=3-1=-3.故選A. (2)∵sin(π-α)=-23,∴sin α=-23, 又∵α∈-π2,0,∴cos α=1-sin2α=53,則tan α=sinαcosα=-255. ∵tan(2π-α)=-tan α,∴tan(2π-α)=255.故選A. 例3　[思路點撥] (1)根據(jù)誘導公式及已知等式得出tan θ,將待求式添加分母1(利用1=sin2α+cos2α),轉化為含tan θ的式子,代入求值;(2)sin αcos α可變形為sinαcosα1,利用1=sin2α+cos2α,從而把已知等式化為關于tan α的等式,解出tan α即可. (1)C　(2)3或13　[解析] (1)由sinπ2+θ+3cos(π-θ)=sin(-θ),得cos θ-3cos θ=-sin θ,所以tan θ=2, 所以sin θcos θ+cos2θ=sinθcosθ+cos2θsin2θ+cos2θ=tanθ+1tan2θ+1=35.故選C. (2)由題可知,sin αcos α=sinαcosαsin2α+cos2α=tanαtan2α+1=310,解得tan α=3或tan α=13. 例4　[思路點撥] 根據(jù)三角函數(shù)的誘導公式和同角三角函數(shù)的基本關系式,得2sin αcos α=-79<0,進而求得(sin α-cos α)2=169,從而得解. C　[解析] 由誘導公式得sin(π-α)+cos α=sin α+cos α=23,兩邊平方得(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=29,則2sin αcos α=-79<0, 所以(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=169. 又因為α∈(0,π),sin αcos α<0,所以sin α-cos α>0,所以sin α-cos α=43,故選C. 應用演練 1.D　[解析] ∵sin θ=13,θ∈π2,π,∴cos θ=-1-sin2θ=-223,則tan θ=sinθcosθ=13-223=-24,故選D. 2.D　[解析] ∵tan x=-125,x∈π2,π,∴sin x=1213,∴cos-x+3π2=-sin x=-1213. 3.B　[解析] 由題意知,tan θ=4-1=3,∴sinθcosθ1-sin2θ=sinθcosθcos2θ=tan θ=3,故選B. 4.1-5　[解析] 由題意知sin θ+cos θ=-m2,sin θcos θ=m4,又(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ,所以m24=1+m2,解得m=15.又Δ=4m2-16m≥0,所以m≤0或m≥4,所以m=1-5. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【備選理由】 例1進一步考查利用誘導公式進行化簡與求值;例2考查弦切互化,是平方關系及商數(shù)關系的綜合應用;例3結合導數(shù)的幾何意義得出tan α,再巧妙使用sin2α+cos2α=1代換求值;例4考查sin α+cos α與sin α-cos α之間的轉換,對于sin α+cos α,sin αcos α,sin α-cos α這三個式子,利用(sin αcos α)2=12sin αcos α可以知一求二. 例1　[配合例1使用] 已知cos α=45,則sin(α-π)-2cosπ2-αsin(-α)cos(π-α)的值為　　　　. [答案] -154 [解析] 因為cos α=45,所以sin(α-π)-2cosπ2-αsin(-α)cos(π-α)=-sinα-2sinαsinαcosα=-3sinαsinαcosα=-3cosα=-154. 例2　[配合例2使用] [2018黃山一模] 已知α∈R,sin α+2cos α=102,則tan α=　　　　. [答案] 3或-13 [解析] ∵sin α+2cos α=102,sin2α+cos2α=1, ∴(sin α+2cos α)2=sin2α+4sin αcos α+4cos2α=52, ∴1+3cos2α+4sin αcos α=52,即3cos2α+4sin αcos α=32,∴3cos2α+4sinαcosαsin2α+cos2α=32, ∴3+4tanαtan2α+1=32,解得tan α=3或-13. 例3　[配合例3使用] [2018重慶調(diào)研] 若曲線f(x)=ln x-1x在點(1,f(1))處的切線的傾斜角為α,則1sinαcosα-cos2α=　　　　. [答案] 5 [解析] 因為f(x)=ln x-1x, 所以f(x)=1x+1x2,所以f(1)=2,則tan α=2, 所以1sinαcosα-cos2α=sin2α+cos2αsinαcosα-cos2α=tan2α+1tanα-1=4+12-1=5. 例4　[配合例4使用] [2018衡水武邑中學月考] 已知-π2<α<0,sin α+cos α=15,則1cos2α-sin2α的值為 (　　) A.75 B.257 C.725 D.2425 [解析] B　因為-π2<α<0,所以cos α>0,sin α<0, 所以cos α-sin α>0. 因為(sin α+cos α)2+(cos α-sin α)2=2, 所以(cos α-sin α)2=2-(sin α+cos α)2=2-125=4925, 所以cos α-sin α=75,所以cos2α-sin2α=1575=725, 所以1cos2α-sin2α的值為257,故選B.