《（新課改省份專用）2020版高考數(shù)學一輪復習 第八章 解析幾何 第五節(jié) 拋物線講義（含解析）.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《（新課改省份專用）2020版高考數(shù)學一輪復習 第八章 解析幾何 第五節(jié) 拋物線講義（含解析）.doc（7頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

第五節(jié)　拋物線 突破點一　拋物線的定義及其應用 拋物線的定義 平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線．點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線． 一、判斷題(對的打“√”，錯的打“”) (1)平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡一定是拋物線．(　　) (2)AB為拋物線y2＝4x的過焦點F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2＝1，y1y2＝－4，弦長|AB|＝x1＋x2＋2.(　　) 答案：(1)　(2)√ 二、填空題 1．已知動點P到定點(2,0)的距離和它到直線l：x＝－2的距離相等，則點P的軌跡方程為________． 答案：y2＝8x 2．已知拋物線C：y2＝x的焦點為F，A(x0，y0)是C上一點，|AF|＝x0，則x0＝________. 答案：1 3．已知F是拋物線y2＝x的焦點，A，B是該拋物線上的兩點，|AF|＋|BF|＝3，則線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離為________． 答案： 考法一　拋物線的定義及應用　 [例1]　(1)(2019贛州模擬)若點A的坐標為(3,2)，F(xiàn)是拋物線y2＝2x的焦點，點M在拋物線上移動時，使|MF|＋|MA|取得最小值的M的坐標為(　　) A．(0,0)　　　　　　　　 B. C．(1，) D．(2,2) (2)(2019襄陽測試)已知拋物線y＝x2的焦點為F，準線為l，M在l上，線段MF與拋物線交于點N，若|MN|＝|NF|，則|MF|＝(　　) A．2 B．3 C. D. [解析]　(1)過M點作準線的垂線，垂足是N，則|MF|＋|MA|＝|MN|＋|MA|，當A，M，N三點共線時，|MF|＋|MA|取得最小值，此時M(2,2)． (2)如圖，過N作準線的垂線NH，垂足為H.根據(jù)拋物線的定義可知|NH|＝|NF|，在Rt△NHM中，|NM|＝|NH|，則∠NMH＝45.在△MFK中，∠FMK＝45，所以|MF|＝|FK|.而|FK|＝1.所以|MF|＝.故選C. [答案]　(1)D　(2)C [方法技巧] 利用拋物線的定義解決問題時，應靈活地進行拋物線上的點到焦點距離與其到準線距離間的等價轉(zhuǎn)化．“看到準線應該想到焦點，看到焦點應該想到準線”，這是解決拋物線距離有關問題的有效途徑．　　 考法二　焦點弦問題　 焦點弦的常用結(jié)論 以拋物線y2＝2px(p＞0)為例，設AB是拋物線的過焦點的一條弦(焦點弦)，F(xiàn)是拋物線的焦點，A(x1，y1)，B(x2，y2)，A，B在準線上的射影為A1，B1，則有以下結(jié)論： (1)x1x2＝，y1y2＝－p2； (2)|AB|＝x1＋x2＋p＝(其中θ為直線AB的傾斜角)，拋物線的通徑長為2p，通徑是最短的焦點弦； (3)＋＝為定值； (4)以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切； (5)以AF(或BF)為直徑的圓與y軸相切； (6)以A1B1為直徑的圓與直線AB相切，切點為F，∠A1FB1＝90； (7)A，O，B1三點共線，B，O，A1三點也共線． [例2]　(2019長沙四校聯(lián)考)過拋物線C：y2＝4x的焦點F的直線l與拋物線C交于P，Q兩點，與拋物線的準線交于點M，且＝3，則||＝(　　) A. B. C. D. [解析]　如圖，不妨設Q點在第一象限，過P作PN垂直于拋物線的準線，垂足為N， 由拋物線定義可知|PF|＝|PN|， 又因為＝3， 所以＝2， 所以|PM|＝2|PF|＝2|PN|， 在Rt△PNM中，cos∠MPN＝＝， 由拋物線焦點弦的性質(zhì)可知||＝＝＝.故選C. [答案]　C [方法技巧] 焦點弦問題的求解策略 解決焦點弦問題的關鍵是“設而不求”方法的應用，解題時，設出直線與拋物線兩交點的坐標，根據(jù)拋物線的方程正確表示出焦點弦長，再利用已知條件求解．　　 1.若拋物線y2＝4x上一點P到其焦點F的距離為2，O為坐標原點，則△OFP的面積為(　　) A. B．1 C. D．2 解析：選B　設P(xP，yP)，由題意可得拋物線的焦點為F(1，0)，準線方程為x＝－1，又點P到焦點F的距離為2，∴由拋物線的定義知點P到準線的距離為2，∴xP＋1＝2，得xP＝1，代入拋物線方程得|yP|＝2，∴△OFP的面積為S＝|OF||yP|＝12＝1.故選B. 2.已知AB是拋物線y2＝2x的一條焦點弦，|AB|＝4，則AB中點C的橫坐標是(　　) A.2 B. C. D. 解析：選C　設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝x1＋x2＋p＝4， 又p＝1，∴x1＋x2＝3，∴點C的橫坐標是＝.故選C. 3.已知M是拋物線x2＝4y上一點，F(xiàn)為其焦點，點A在圓C：(x＋1)2＋(y－5)2＝1上，則|MA|＋|MF|的最小值是________． 解析：依題意，由點M向拋物線x2＝4y的準線l：y＝－1引垂線，垂足為M1(圖略)，則有|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MM1|，結(jié)合圖形可知|MA|＋|MM1|的最小值等于圓心C(－1，5)到y(tǒng)＝－1的距離再減去圓C的半徑，即等于6－1＝5，因此|MA|＋|MF|的最小值是5. 答案：5 突破點二　拋物線的標準方程及性質(zhì) 圖形 標準方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0) p的幾何意義：焦點F到準線l的距離 范圍 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 焦點坐標 準線方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 離心率 e＝1 焦半徑 |PF|＝x0＋ |PF|＝－x0＋ |PF|＝y(tǒng)0＋ |PF|＝－y0＋ 一、判斷題(對的打“√”，錯的打“”) (1)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲線是焦點在x軸上的拋物線，且其焦點坐標是，準線方程是x＝－.(　　) (2)拋物線既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形．(　　) (3)若直線與拋物線只有一個交點，則直線與拋物線一定相切．(　　) 答案：(1)　(2)　(3) 二、填空題 1．已知拋物線的對稱軸為x軸，頂點在原點，焦點在直線2x－4y＋11＝0上，則此拋物線的方程是________． 答案：y2＝－22x 2．拋物線y＝ax2的準線方程是y＝1，則a的值為________． 答案：－ 3．已知F是拋物線x2＝8y的焦點，若拋物線上的點A到x軸的距離為5，則|AF|＝________. 答案：7 考法一　求拋物線的標準方程　 [例1]　(1)(2019河南中原名校聯(lián)考)拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點為F，O為坐標原點，M為拋物線上一點，且|MF|＝4|OF|，△MFO的面積為4，則拋物線的方程為(　　) A．y2＝6x　　　　　　　 　B．y2＝8x C．y2＝16x D．y2＝ (2)(2019江西協(xié)作體聯(lián)考)設拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點為F，點M在C上，|MF|＝5.若以MF為直徑的圓過點(0,2)，則C的方程為(　　) A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x [解析]　(1)設M(x，y)，因為|OF|＝，|MF|＝4|OF|，所以|MF|＝2p，由拋物線定義知x＋＝2p，所以x＝p，所以y＝p，又△MFO的面積為4，所以p＝4，解得p＝4(p＝－4舍去)．所以拋物線的方程為y2＝8x. (2)由已知得拋物線的焦點F，設點A(0,2)，拋物線上點M(x0，y0)，則＝，＝.由已知得＝0，即y－8y0＋16＝0，因而y0＝4，M.由|MF|＝5得， ＝5，又p＞0，解得p＝2或p＝8，故選C. [答案]　(1)B　(2)C [方法技巧] 求拋物線方程的3個注意點 (1)當坐標系已建立時，應根據(jù)條件確定拋物線方程屬于四種類型中的哪一種． (2)要注意把握拋物線的頂點、對稱軸、開口方向與方程之間的對應關系． (3)要注意參數(shù)p的幾何意義是焦點到準線的距離，利用它的幾何意義來解決問題． 考法二　拋物線的幾何性質(zhì)　 [例2]　(1)(2019蘭州雙基過關考試)拋物線y2＝2px(p＞0)上橫坐標為6的點到此拋物線焦點的距離為10，則該拋物線的焦點到準線的距離為(　　) A．4 B．8 C．16 D．32 (2)(2018贛州二模)拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點為F，A是拋物線上一點，若A到F的距離是A到y(tǒng)軸距離的兩倍，且三角形OAF的面積為1，O為坐標原點，則p的值為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 [解析]　(1)設拋物線的準線方程為x＝－(p＞0)，如圖，則根據(jù)拋物線的性質(zhì)有|PF|＝＋6＝10，解得p＝8，所以拋物線的焦點到準線的距離為8. (2)不妨設A(x0，y0)在第一象限， 由題意可知即 ∴A， 又∵點A在拋物線y2＝2px上，∴＝2p，即p4＝16， 又∵p＞0，∴p＝2，故選B. [答案]　(1)B　(2)B [方法技巧] 用拋物線幾何性質(zhì)的技巧 涉及拋物線幾何性質(zhì)的問題常結(jié)合圖形思考，通過圖形可以直觀地看出拋物線的頂點、對稱軸、開口方向等幾何特征，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想解題．　　 1.頂點在原點，對稱軸為坐標軸，且過點P(－4，－2)的拋物線的標準方程是(　　) A．y2＝－x　　　　　　　　 　B．x2＝－8y C．y2＝－8x或x2＝－y D．y2＝－x或x2＝－8y 解析：選D　設拋物線為y2＝mx，代入點P(－4，－2)，解得m＝－1，則拋物線方程為y2＝－x；設拋物線為x2＝ny，代入點P(－4，－2)，解得n＝－8，則拋物線方程為x2＝－8y. 2.已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，點A(0，－)．若線段FA與拋物線C相交于點M，則|MF|＝(　　) A. B. C. D. 解析：選A　由題意，F(xiàn)(1,0)，|AF|＝2，設|MF|＝d，則M到準線的距離為d，M的橫坐標為d－1，由三角形相似，可得＝，所以d＝，故選A. 3.已知A是拋物線y2＝2px(p＞0)上一點，F(xiàn)是拋物線的焦點，O為坐標原點，當|AF|＝4時，∠OFA＝120，則拋物線的準線方程是(　　) A．x＝－1 B．y＝－1 C．x＝－2 D．y＝－2 解析：選A　過A向準線作垂線，設垂足為B，準線與x軸的交點為D.因為∠OFA＝120，所以△ABF為等邊三角形，∠DBF＝30，從而p＝|DF|＝2，因此拋物線的準線方程為x＝－1.選A.