《高中數(shù)學 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)I 2.2 函數(shù)的簡單性質(zhì) 2.2.2 函數(shù)的奇偶性學案 蘇教版必修1》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)I 2.2 函數(shù)的簡單性質(zhì) 2.2.2 函數(shù)的奇偶性學案 蘇教版必修1（4頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 2．2．2　函數(shù)的奇偶性 1．了解函數(shù)奇偶性的含義． 2．會判斷一些簡單函數(shù)的奇偶性． 3．了解奇函數(shù)和偶函數(shù)圖象的特點． 1．奇函數(shù)和偶函數(shù) (1)一般地，設(shè)y＝f(x)的定義域為A，如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(－x)＝f(x)，那么稱函數(shù)y＝f(x)是偶函數(shù)． (2)如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(－x)＝－f(x)，那么稱函數(shù)y＝f(x)是奇函數(shù)． 【做一做1】有下列函數(shù)： ①y＝2x；②y＝；③y＝x2；④y＝x3＋x；⑤y＝x2－x；⑥y＝－；⑦y＝2x2－1；⑧y＝2|x|＋2． 其中奇函數(shù)有________

2、__，偶函數(shù)有__________． 答案：①④⑥?、邰撷? 2．奇偶性 (1)如果函數(shù)f(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，就說函數(shù)f(x)具有奇偶性． (2)偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱． (1)在奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義中，都要求x∈A，－x∈A，這就是說一個函數(shù)不論是奇函數(shù)還是偶函數(shù)，它的定義域一定關(guān)于坐標原點對稱． (2)根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，函數(shù)可分為：①是奇函數(shù)但不是偶函數(shù)；②是偶函數(shù)但不是奇函數(shù)；③是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；④既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)． 【做一做2－1】已知f(x)＝ax3＋bx－3中，f(－2)＝3，則f(2)＝__________． 解析：

3、因為f(－x)＋f(x)＝－6， 所以由f(－2)＝3，得f(2)＝－9． 答案：－9 【做一做2－2】函數(shù)f(x)＝－x＋的奇偶性是__________． 答案：奇函數(shù) 如何判斷函數(shù)的奇偶性？ 剖析：(1)根據(jù)函數(shù)奇偶性定義判斷，其基本步驟為： ①先看定義域是否關(guān)于原點對稱，若函數(shù)沒有標明定義域，應(yīng)先找到使函數(shù)有意義的x的集合，因為它是判斷函數(shù)奇偶性的一個重要依據(jù)，如果一個函數(shù)的定義域關(guān)于坐標原點不對稱，那么這個函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．如函數(shù)f(x)＝x4＋1，x∈［－1,2］．由于它的定義域不關(guān)于原點對稱，當1＜x≤2時，－x不在函數(shù)的定義域中，所以它不符合奇、偶

4、函數(shù)的定義，故f(x)＝x4＋1，x∈［－1,2］是非奇非偶函數(shù)． ②再看f(－x)與f(x)的關(guān)系，這是因為定義域關(guān)于原點對稱的函數(shù)也不一定是奇函數(shù)或偶函數(shù)．如f(x)＝x2＋x，g(x)＝x3＋1，它們的定義域都是R，因為f(－x)＝(－x)2＋(－x)＝x2－x≠f(x)，所以它是非奇非偶函數(shù)．同理可證g(x)＝x3＋1也是非奇非偶函數(shù)． ③然后得出結(jié)論． (2)定義域關(guān)于原點對稱，滿足f(－x)＝－f(x)＝f(x)的函數(shù)既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)，如f(x)＝0(x∈R)．應(yīng)注意：既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)有無數(shù)個． (3)分段函數(shù)奇偶性判定方法的關(guān)鍵是搞清x與－x的所在范圍及其對

5、應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，并且函數(shù)在每一個區(qū)間上的奇偶性都應(yīng)進行判斷，而不能以其中一個區(qū)間來代替整個定義域． (4)判斷函數(shù)的奇偶性有時可用定義的等價形式f(－x)f(x)＝0或＝1(f(x)≠0)來代替． (5)有時可以直接借助函數(shù)的圖象與相關(guān)性質(zhì)，如奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱等，從而直觀地判斷函數(shù)的奇偶性． 題型一 判斷函數(shù)的奇偶性 【例1】判斷下列函數(shù)的奇偶性． (1)f(x)＝； (2)f(x)＝x3－2x； (3)f(x)＝a(x∈R)； (4)f(x)＝ 分析：按奇函數(shù)或偶函數(shù)的定義或幾何特征進行判斷即可． 解：(1)函數(shù)的定義域為{x|x≠

6、－1}，不關(guān)于原點對稱， 所以f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)． (2)函數(shù)的定義域為R，關(guān)于原點對稱，f(－x)＝(－x)3－2(－x)＝2x－x3＝－f(x)，所以f(x)是奇函數(shù)． (3)函數(shù)的定義域為R，關(guān)于原點對稱， 當a＝0時，f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)； 當a≠0時，f(－x)＝a＝f(x)，即f(x)是偶函數(shù)． (4)函數(shù)的定義域為R，關(guān)于原點對稱， 當x＞0時，－x＜0，此時f(－x)＝－x［1＋(－x)］＝－x(1－x)＝－f(x)； 當x＜0時，－x＞0，此時f(－x)＝－x［1－(－x)］＝－x(1＋x)＝－f(x)； 當x＝0時，－x＝0，此時f(

7、－x)＝0，f(x)＝0， 即f(－x)＝－f(x)． 綜上，f(－x)＝－f(x)，所以f(x)為奇函數(shù)． 反思：根據(jù)奇函數(shù)以及偶函數(shù)的定義，判斷是不是有f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)，前者是偶函數(shù)，后者是奇函數(shù)；如果這兩個都不成立，則是非奇非偶函數(shù)． 說一個函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，有時只要說明它的定義域不合要求即可，而不必套用作差法進行檢驗．有時根據(jù)函數(shù)圖象的對稱性進行判斷也是捷徑之一． 題型二 求函數(shù)解析式 【例2】設(shè)f(x)是定義在(－∞，＋∞)上的奇函數(shù)，且x＞0時，f(x)＝x2－2x＋1，求f(x)的解析式． 解：當x＜0時，則－x＞0， 所以f(－x

8、)＝(－x)2－2(－x)＋1＝x2＋2x＋1． 又f(x)是奇函數(shù)，有f(－x)＝－f(x)， 所以－f(x)＝x2＋2x＋1． 所以f(x)＝－x2－2x－1． 當x＝0時，因為f(x)是定義在R上的奇函數(shù)， 所以一定有f(0)＝0．所以函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝ 反思：本題中x∈R，容易遺漏x＝0的情況，對于定義在R上的奇函數(shù)一定有f(0)＝0，這是一個重要的結(jié)論，要引起重視． 【例3】已知f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，且f(x)－g(x)＝x2＋2x＋3．求f(x)和g(x)的解析式． 分析：充分利用奇、偶函數(shù)的性質(zhì)，利用方程思想求其解析式． 解：由條件得

9、f(－x)－g(－x)＝(－x)2＋2(－x)＋3＝x2－2x＋3．又f(x)為奇函數(shù)，g(x)為偶函數(shù)， ∴f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)． ∴－f(x)－g(x)＝x2－2x＋3． ∵f(x)－g(x)＝x2＋2x＋3， 兩式相減得f(x)＝2x， 兩式相加得g(x)＝－x2－3． 反思：對于基本初等函數(shù)，大致有三類：其一是奇函數(shù)，其二是偶函數(shù)，其三是非奇非偶函數(shù)，但此類函數(shù)均可表示為奇、偶函數(shù)的和或差． 題型三 函數(shù)奇偶性的應(yīng)用 【例4】畫出函數(shù)f(x)＝－x2＋2|x|＋3的圖象，指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最大值． 分析：函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，先畫出y軸右

10、側(cè)的圖象，再對稱到y(tǒng)軸左側(cè)合起來得函數(shù)的圖象；借助圖象，根據(jù)單調(diào)性的幾何意義寫出單調(diào)區(qū)間． 解：函數(shù)圖象如圖所示． 由圖象，得函數(shù)的圖象在區(qū)間(－∞，－1］和［0,1］上是上升的，在［－1,0］和［1，＋∞)上是下降的，最高點是(1,4)，故函數(shù)在(－∞，－1］，［0,1］上是增函數(shù)；函數(shù)在［－1,0］，［1，＋∞)上是減函數(shù)，最大值是4． 反思：本題中，已知函數(shù)滿足f(－x)＝f(x)，說明f(x)是偶函數(shù)，它的圖象關(guān)于y軸對稱，由此可先作出函數(shù)在y軸右側(cè)的圖象，再將其沿y軸翻折即可． 1函數(shù)f(x)＝x(x2－1)的大致圖象是__________． 解析：因為f(－x

11、)＝－x［(－x)2－1］＝－f(x)， 所以原函數(shù)是奇函數(shù)．排除③④． 又當x＝時，y＝＝－＜0，說明點在第四象限．排除②． 答案：① 2函數(shù)f(x)＝x3＋bx2＋cx是奇函數(shù)，函數(shù)g(x)＝3x2＋(c－2)x＋5是偶函數(shù)，則b＝____，c＝____． 解析：由條件得f(－x)＋f(x)＝2bx2＝0，∴b＝0． 由條件得g(－x)＝g(x)， 且g(－x)＝3x2－(c－2)x＋5， g(x)＝3x2＋(c－2)x＋5，∴c＝2． 答案：0　2 3判斷下列函數(shù)的奇偶性． (1)f(x)＝2x2－7；(2)f(x)＝2x3＋5x； (3)f(x)＝5x－3．

12、解：(1)因為f(x)的定義域為R，且f(－x)＝2(－x)2－7＝2x2－7＝f(x)，所以f(x)＝2x2－7為偶函數(shù)； (2)因為f(x)的定義域為R，且f(－x)＝2(－x)3＋5(－x)＝－(2x3＋5x)＝－f(x)， 所以f(x)＝2x3＋5x為奇函數(shù)； (3)f(x)的定義域是R． 因為f(－1)＝5(－1)－3＝－8≠－2＝－f(1)， 故f(x)＝5x－3不是奇函數(shù)． 又f(－1)＝5(－1)－3＝－8≠2＝f(1)， 故f(x)＝5x－3不是偶函數(shù)． 綜上所得f(x)＝5x－3為非奇非偶函數(shù)． 已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，當x≥0時，f(x)＝

13、－．求當x＜0時，f(x)的解析式． 解：令x＜0，則－x＞0， ∴f(－x)＝－＝． 又f(x)是定義在R上的偶函數(shù)， ∴f(－x)＝f(x)．∴f(x)＝(x＜0)． 5已知函數(shù)y＝f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，在［2,6］上是減函數(shù)，試比較f(－5)與f(3)的大?。? 分析：利用單調(diào)性比較大?。? 解：∵函數(shù)y＝f(x)是定義在R上的偶函數(shù)， ∴f(－5)＝f(5)． 又∵函數(shù)y＝f(x)在［2,6］上是減函數(shù)，且5＞3， ∴f(5)＜f(3)．∴f(－5)＜f(3)． 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375