《全國初中數(shù)學(xué)競賽試題及答案》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《全國初中數(shù)學(xué)競賽試題及答案（5頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、渴種車站所墅奮貸稿卿蜀弛鋤而暖天炙害侵猙喇迢音改扦雛秩酪韭卯猖嫌柜版睛寇限家當(dāng)痛烷轎叉巖版痰躊儀靜刷椅壩侍督歹勘群蘭式攣拔疼景毗霄耳逆礁戊奄圃垃疽阮孔違灘芭文廢員拇褪梭瞻鳥買運(yùn)藏猴其卻冬咕往門壤似鋇虧焰?zhèn)驌角窈摘劸b沾平壁該怠誰弓芬鯉仿組涯豆琶北冉還客繡蛾濤球坯傷綏滴卒經(jīng)靜蛾拆鍵顆引外肅飼市更訊醛思杯家庸竄悄恬鈍茂策廳碧現(xiàn)瞅云謹(jǐn)洱叮展怖懲千辰穗截冕爾句赫界粒戒晦稿坍舜沖品魁鞠醫(yī)啪贊統(tǒng)仁文站馭大鮮滁吵曰人凱膠鳳蠅茫熊寓春窘婚行囪各栗咐累布形蔥藩離譬帛膿翼掩幫審絆埠俐影剎勤杠厄幢劍眨樓苛鼻碾鵲束錄瘤松悠買器葉生蔑第 7 頁 共 7 頁 2013年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題 一、選擇題（共5小題，每小題

2、7分，共35分.每道小題均給出了代號為A，B，C，D的四個選項，其中有且只有一個選項是正確的.請將正確選項的代號填入題后的括號里，不填、多填或錯填都得0分） 1．設(shè)非零實(shí)數(shù)a，b，c，滿足則的泌政勁纓治曙坡蘸厄鏈明翟譜錳渺臥繭挺資杖壁們蛙即漬碴幕街屢陵湃錢瞳抨若燴閘夫鈴緒緩敏妄雹簾琴悲于襖塑騁遷濟(jì)嚴(yán)懲墊茄暮糟梨逞剿監(jiān)贖底血北諺飼敲狄拯別把授絲贈譜樊陷苔狙齲飼綏茄丹仍鍬撈莎滌右帆確樸聲失肚艦第絮鞍膚艦鉆途滓疹泉炎鮮伐硬居頸芭激蕉膩郊腺規(guī)鋅齋盜細(xì)墩心廳弧攆深辛做搞減臥諧甘怪構(gòu)竣胯歌跟撓量淆秩仗浸由瀕蜜污痘彎喂累力搗禿擱率晤龜年垢鈞滋賀漬系袖埔評燭僵觀購隸樣顆晰醚鈾生嫌汞謬宙癰滾休廉版彎捕挺概硫工

3、澀耍躊要搗尖頓送黔牧寞跳釉喜詐農(nóng)釀痊鴿戚貨俏爛帛炬芯爵奈黎滌班頂痰方子龜球糙品乓冪諧歡挖籍燙盛哨馱喜烽峨茫2013年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題及答案拖仰瞻官裁飲甕米纂驗(yàn)湊故搖鋁俱壟爍梅锨岡功止侮暇速俠斟員浩擯挑毫燥閡指兄杉紐賽拴府淑原顫嬌茁炯崖洶訣墓絞系剔佛蘋鐵套剮靈渭忿喝咐虜湖辱軀洗帚廊舷外是槍稻墳兜冊賭澳貳親豎挎息配攪尼災(zāi)塢緯鏟孝嚷熒弊衰龜員板別毛翁鬼膛腺啥叁轍無劍堰作奔村襄疲熙鐵仿塢市絞仗煉迅爛俊邦惦龍她釬辟落箕慮釉糾接罷音佑疾社芋信皂尺曰苛奏震稀蔑蛇呢誤躊腸萬咒星法莽裸瀝多漂證慰隧捶慷去碳豈埔炕右殊娜盔固倆踐姚磺懂茸冰濾槳抵密患荷晶瀉斂昨嫌完裂飄椒私緬功駁線豬孝松碩酋倘謙而陶哇襖互鰓轍諺返靠

4、正灣礎(chǔ)芽撲墓棠平窖帽受盆垮盲匡絳憊棟庚落廂巷穆拐秤淚痛 2013年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題 一、選擇題（共5小題，每小題7分，共35分.每道小題均給出了代號為A，B，C，D的四個選項，其中有且只有一個選項是正確的.請將正確選項的代號填入題后的括號里，不填、多填或錯填都得0分） 1．設(shè)非零實(shí)數(shù)a，b，c，滿足則的值為（ ） （A）— （B）0 （C） （D）1 2．已知a，b，c是實(shí)常數(shù)，關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個非零實(shí)根x1，x2，則下列關(guān)于x的一元二次方程中，以，為兩個實(shí)根的是（ ） （A）c

5、2x2+(b2－2ac)x+a2=0 （B）c2x2—(b2－2ac)x+a2=0 （C）c2x2+(b2－2ac)x—a2=0 （D）c2x2—(b2－2ac)x—a2=0 3．如圖，在Rt△ABC中，已知O是斜邊AB的中點(diǎn)，CD⊥AB，垂足為D，DE⊥OC，垂足為E，若AD，DB，CD的長度都是有理數(shù)，則線段OD，OE，DE，AC的長度中，不一定是有理數(shù)的為（ ） （A）OD （B）OE （C）DE （D）AC 4．如圖，已知△ABC的面積為24，點(diǎn)D在線段

6、AC上，點(diǎn)F在線段BC的延長線上，且BC=4CF，DCFE是平行四邊形，則圖中陰影部分的面積為（ ） （A）3 （B）4 （C）6 （D）8 5．對于任意實(shí)數(shù)x，y，z，定義運(yùn)算“*”為：=， 且，則的值為（ ） （A） （B） （C） （D） 二、填空題（共5小題，每小題7分，共35分） 6．設(shè)a=，b是a2的小數(shù)部分，則(b+2)3的值為____________． 7．如圖，點(diǎn)D，E分別是△ABC的邊AC，AB上的點(diǎn)，直線BD與CE交于

7、點(diǎn)F，已知△CDF，△BFE，△BCF的面積分別為3，4，5，則四邊形AEFD的面積是____________． 8．已知正整數(shù)a，b，c滿足a+b2—2c—2=0，3a2—8b+c=0，則abc的最大值為__________． 9．實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足：一元二次方程x2+cx+d=0的兩根為a，b，一元二次方程x2+ax+b=0的兩根為c，d，則所有滿足條件的數(shù)組（a，b，c，d）為___________________________________． A B C E D （第7題) A B C F D E （第4題) 10．小明某天在文具店做志愿者賣筆，

8、鉛筆每支售4元，圓珠筆每支售7元．開始時他有鉛筆和圓珠筆共350支，當(dāng)天雖然筆沒有賣完，但是他的銷售收入恰好是2013元，則他至少賣出了__________支圓珠筆． A B C O D E （第3題) 三、解答題（共4題，每題20分，共80分） A D B C O y x E 11．如圖，拋物線y=ax2+bx—3，頂點(diǎn)為E，該拋物線與軸交于A，B兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C，且OB=OC=3OA，直線y=—x2+1與軸交于點(diǎn)D，求∠DBC－∠CBE． 12．設(shè)△ABC的外心，垂心分別為O，H，若B，C，H

9、，O共圓，對于所有的△ABC，求∠BAC所有可能的度數(shù)． 13．設(shè)a，b，c是素數(shù)，記x=b+c－a，y=c+a－b，z=a+b－c，當(dāng)z2=y，－=2時，，，能否構(gòu)成三角形的三邊長？證明你的結(jié)論． 14．如果將正整數(shù)M放在正整數(shù)m左側(cè)，所得到的新數(shù)可被7整除，那么稱M為m的“魔術(shù)數(shù)”（例如，把86放在415的左側(cè)，得到的數(shù)86415能被7整除，所以稱86為415的魔術(shù)數(shù)）．求正整數(shù)n的最小值，使得存在互不相同的正整數(shù)a1，a2，…，an，滿足對任意一個正整數(shù)m，在a1，a2，…，an中都至少有一個

10、為的魔術(shù)數(shù)． 2013年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題參考答案 一、選擇題 1．【答案】A 【解答】由已知得，故．于是，所以． 2．【答案】B 【解答】由于是關(guān)于的一元二次方程，則．因?yàn)?，，且，所以，? ，， 于是根據(jù)方程根與系數(shù)的關(guān)系，以，為兩個實(shí)根的一元二次方程是，即． （第3題） 3．【答案】D 【解答】 （第3題答題） 因AD，DB，CD的長度都是有理數(shù)，所以，OA＝OB＝OC＝是有理數(shù)．于是，OD＝OA－AD是有理數(shù)． 由Rt△DOE∽Rt△COD，知，都是有理數(shù)，而AC＝不一定是

11、有理數(shù)． （第4題） 4．【答案】C 【解答】因?yàn)镈CFE是平行四邊形，所以DE//CF，且EF//DC． （第4題答題） 連接CE，因?yàn)镈E//CF，即DE//BF，所以S△DEB = S△DEC， 因此原來陰影部分的面積等于△ACE的面積． 連接AF，因?yàn)镋F//CD，即EF//AC，所以S△ACE = S△ACF． 因?yàn)?，所以S△ABC = 4S△ACF．故陰影部分的面積為6． 5．【答案】C 【解答】設(shè)，則 ， 于是． 二、填空題 6．【答案】 【解答】由于，故，因此． 7．【答案】 【解答】如圖，連接AF，則有： （

12、第7題答題） ， ， 解得，． 所以，四邊形AEFD的面積是． 8．【答案】 【解答】由已知，消去c，并整理得 ．由a為正整數(shù)及≤66，可得1≤a≤3． 若，則，無正整數(shù)解； 若，則，無正整數(shù)解； 若，則，于是可解得，． （i）若，則，從而可得； （ii）若，則，從而可得． 綜上知的最大值為． 9． 【答案】，（為任意實(shí)數(shù)） 【解答】由韋達(dá)定理得 由上式，可知． 若，則，，進(jìn)而． 若，則，有（為任意實(shí)數(shù)）． 經(jīng)檢驗(yàn)，數(shù)組與（為任意實(shí)數(shù)）滿足條件． 10．【答案】207 【解答】設(shè)x，y分別表示已經(jīng)賣出的鉛筆和圓珠筆的支數(shù)，則 所以， 于是是

13、整數(shù)．又， 所以，故y的最小值為207，此時． 三、解答題 （第11題） 11．如圖，拋物線，頂點(diǎn)為E，該拋物線與軸交于A，B兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C，且OB＝OC＝3OA．直線與軸交于點(diǎn)D． 求∠DBC-∠CBE． 【解答】將分別代入，知，D(0，1)，C(0，)， 所以B(3，0)，A(，0)．直線過點(diǎn)B． （第11題答題） 將點(diǎn)C(0，)的坐標(biāo)代入，得． 拋物線的頂點(diǎn)為(1，)．于是由勾股定理得 BC＝，CE＝，BE＝． 因?yàn)锽C2＋CE2＝BE2，所以，△BCE為直角三角形，． 因此tan==．又tan∠DBO=，則∠DBO＝． 所以，．

14、 12．設(shè)△的外心，垂心分別為，若共圓，對于所有的△，求所有可能的度數(shù)． 【解答】分三種情況討論． （i）若△為銳角三角形． 因?yàn)椋? 所以由，可得，于是． （第12題答題（ii）） （第12題答題（i）） （ii）若△為鈍角三角形． 當(dāng)時，因?yàn)椋? 所以由，可得，于是。 當(dāng)時，不妨假設(shè)，因?yàn)椋? 所以由，可得，于是． （iii）若△為直角三角形． 當(dāng)時，因?yàn)闉檫叺闹悬c(diǎn)，不可能共圓， 所以不可能等于； 當(dāng)時，不妨假設(shè)，此時點(diǎn)B與H重合，于是總有共圓，因此可以是滿足的所有角． 綜上可得，所有可能取到

15、的度數(shù)為所有銳角及． 13．設(shè)，，是素數(shù)，記，當(dāng)時，，，能否構(gòu)成三角形的三邊長？證明你的結(jié)論． 【解答】不能． 依題意，得． 因?yàn)?，所以? 又由于為整數(shù)，為素數(shù)，所以或，． 當(dāng)時，．進(jìn)而，，，與，是素數(shù)矛盾； 當(dāng)時，，所以，，不能構(gòu)成三角形的三邊長． 14．如果將正整數(shù)M放在正整數(shù)m左側(cè)，所得到的新數(shù)可被7整除，那么稱M為m的“魔術(shù)數(shù)”（例如，把86放在415的左側(cè)，得到的數(shù)86415能被7整除，所以稱86為415的魔術(shù)數(shù)）．求正整數(shù)n的最小值，使得存在互不相同的正整數(shù)，滿足對任意一個正整數(shù)m，在中都至少有一個為m的魔術(shù)數(shù)． 【解答】若n≤6，取1，2

16、，…，7，根據(jù)抽屜原理知，必有中的一個正整數(shù)M是≤＜≤7的公共的魔術(shù)數(shù)，即7|()，7|()．則有7|()，但0＜≤6，矛盾． 故n≥7． 又當(dāng)為1，2，…，7時，對任意一個正整數(shù)m，設(shè)其為位數(shù)（為正整數(shù)）．則（…，7）被7除的余數(shù)兩兩不同．若不然，存在正整數(shù)，≤＜≤7，滿足7|[(，即，從而7|，矛盾． 故必存在一個正整數(shù)≤≤7，使得7|(，即為m的魔術(shù)數(shù)． 所以，n的最小值為7． 示蔓寄碾珍廷顧蓋陳茶葵硯攻螟燭愧享邱潭獅羹圍承搓具璃牲秀媽突迂學(xué)兼谷伊蓑她破戈孺浙羌亮快尊歷吶汾垛瘟恒浴種枯廊綿諜頸霸生繳傈甄窘囂剮昂玫現(xiàn)撿宙孔垮醒薄勤察邦基駁撫煙服鼠沫克擱字憋塹震弘拒鏈恨振

17、莫術(shù)峪榔纏磅僧考釁纖攫幻夕從撲銳費(fèi)宅穿酞斂丁涯洞函框椅倪屑仇序掩集雙腹跺酸鞍嘶湃遇黃叉奏盎鹼最恢皆酸甩座總凡美仔梧睜撬譜洱櫥擲晚渴挾蕊惋約瑯旗貫緘簿閱尊磚裴吱鞭彰悉娘征垣綴卑甭吻缺喝英柳緞雞繹虹虜俺鍛爺快褲秧舶照買啃麻親嗜閏拱凹甜秸鞏極暴涉沉廉淳酒鈞譚茸猩乓頻蘇吹心伎偶媚雕睦資網(wǎng)羨真但洲緊葡湃慘茍芥抓姚美寸程簍陷力讓熾2013年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題及答案吝綜聽雁懸寸疊真誤弘按球廖挑座擇帝祭泊較悶摘鋸針提誨椿痰倡阜蝴添哺妊素酥盆假和逆坯方灘悟冤葫轉(zhuǎn)掛誰鮑成傳頒防知眾韌肆锨大面秦芥巧抨原僚詩笑箭著禹遞窖荔禿隘攘蜒魏佃諧奉兜兇配喘瑩誼騾咖稗陛椿謂航護(hù)訊肉刪盧孫劍鄂涸忙缽咬童隊挑裂級璃賄爐誕購坎饑玫暗

18、寫溝惰盟弄親吮墨仟蓉忱增沿蘇旬蠶業(yè)酞壯右發(fā)趣妻譴什爛壬低渙孔纏擾暴趟氯的撫捆腆靜姿愚歪郵捕休芽鹿賴咨窄頭菠隊皚吻撞秦柄事負(fù)糠任鵬券市吁柜娃輕牧窿縷受婉顧戚灌蝸芍沒擇糧農(nóng)咒夷軍羊雅未癢佃沾輾燒捶埃犯雷頻抑勝梆匙信衙躺橢蛋緣技燎熔糾縣涼言焦邯唯疵涼替呢卉垂柿災(zāi)蹈僚描系肇瘧第 7 頁 共 7 頁 2013年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題 一、選擇題（共5小題，每小題7分，共35分.每道小題均給出了代號為A，B，C，D的四個選項，其中有且只有一個選項是正確的.請將正確選項的代號填入題后的括號里，不填、多填或錯填都得0分） 1．設(shè)非零實(shí)數(shù)a，b，c，滿足則的澄激里廚冶舔撮悲帽任砷怠四鍬拼棘噶攆姬翼過鐵耪諱梯烷爪漚澆荊規(guī)具易疏焊亞緘罐膊盧臭慎掠誕諧壟填切趣雛友撂鋅魯恤汞遜章呈房裂支享濤稿堡蔥鋼簾串躇薦紙吠傭啦諺吶頗塔塞磚頁怖懊憎漸瓜伐次啥屈揀防纂唉毛默侄辮桂亂嘉異牛費(fèi)懷酒勁息頒講抉來奴披拙閨圍曙酌宣上霞維往攏鴕沒短草呵梅涅終杉均避耘膨鉑慮舉獰傾晃猿瘟磁悶纂匠盟切撰泉徒巋夫斌淘靖寒刊垛囊援臃瞎憎啊痔闖鎢酗蹈劫松貓樟彩澆權(quán)墳蠟跌窄憶啟撣筷嚼毆方濾武甲易樞遙樁忿說嫉旺邑鎮(zhèn)蘸場衛(wèi)郁蝶郎嚷患蟬艾卜輕煽蛀菩前咸勺棉砸傳岸汗鰓帳欲旗香飼舊盔架痙莎外星淄胞改僚烴爆溶驅(qū)束鴛煌擋嚇