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1、人教版高中數(shù)學必修精品教學資料 章末復習課 [整合·網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建] [警示·易錯提醒] 1．(1)簡單隨機抽樣中易忽視樣本是從總體中逐個抽取的，是不放回抽樣，且每個個體被抽到的概率相等． (2)系統(tǒng)抽樣中，易忽視抽取的樣本數(shù)也就是分段的段數(shù)，當不是整數(shù)時，注意剔除，剔除的個體是隨機的，各段入樣的個體編號成等差數(shù)列． (3)分層抽樣中，易忽視每層抽取的個體的比例是相同的，即均為. (4)易把直方圖與條形圖混淆：兩者的區(qū)別在于條形圖是離散隨機變量，縱坐標刻度為頻數(shù)或頻率，直方圖是連續(xù)隨機變量，連續(xù)隨機變量在某一點上是沒有頻率的． (5)易忽視頻率分布直方圖

2、中縱軸表示的應(yīng)為. (6)在繪制莖葉圖時，易遺漏重復出現(xiàn)的數(shù)據(jù)，重復出現(xiàn)的數(shù)據(jù)要重復記錄，同時不要混淆莖葉圖中莖與葉的含義． (7)回歸分析中易誤認為樣本數(shù)據(jù)必在回歸直線上，實質(zhì)上回歸直線必過的點是(，)，可能所有的樣本數(shù)據(jù)點都不在直線上． (8)利用回歸方程分析問題時，所得的數(shù)據(jù)易誤認為準確值，而實質(zhì)上是預測值(期望值)． 專題一　抽樣方法及其應(yīng)用 隨機抽樣有簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣三種．其共同點是在抽樣過程中每個個體被抽到的機會相等，當總體中的個體數(shù)較少時，常采用簡單隨機抽樣；當總體中的個體數(shù)較多時，多采用系統(tǒng)抽樣；當已知總體由差異明顯的幾部分組成時，常采用分層抽樣．

3、其中簡單隨機抽樣是最簡單、最基本的抽樣方法．在進行系統(tǒng)抽樣和分層抽樣時都要用到簡單隨機抽樣． [例1]　(1)為了解某地區(qū)中小學生的視力情況，擬從該地區(qū)的中小學生中抽取部分學生進行調(diào)查，事先已了解到該地區(qū)小學、初中、高中三個學段學生的視力情況有較大差異，而男女生視力情況差異不大．在下面的抽樣方法中，最合理的抽樣方法是(　　) A．簡單隨機抽樣　　　 B．按性別分層抽樣 C．按學段分層抽樣 D．系統(tǒng)抽樣 (2)某單位有840名職工，現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣方法抽取42人做問卷調(diào)查，將840人按1，2，…，840隨機編號，則抽取的42人中，編號落入?yún)^(qū)間[481，720]的人數(shù)為(　　) A．1

4、1　　　　B．12　　　　C．13　　　　D．14 解：(1)因為男女生視力情況差異不大，而各學段學生的視力情況有較大差異，所以應(yīng)按學段分層抽樣，故選C. (2)因為840∶42＝20∶1，故編號在[481，720]內(nèi)的人數(shù)為240÷20＝12. 答案：(1)C　(2)B 歸納升華 1．系統(tǒng)抽樣是將總體分成均衡的幾部分，然后按照預先定出的規(guī)則，從每一部分抽取一個個體． 2．分層抽樣． 從各部分抽取的個體數(shù)與該部分個體數(shù)的比等于樣本容量與總體容量的比． [變式訓練]　(2014·天津卷)某大學為了解在校本科生對參加某項社會實踐活動的意向，擬采用分層抽樣的方法，

5、從該校四個年級的本科生中抽取一個容量為300的樣本進行調(diào)查．已知該校一年級、二年級、三年級、四年級的本科生人數(shù)之比為4∶5∶5∶6，則應(yīng)從一年級本科生中抽取________名學生． 解析：依題意，應(yīng)從一年級本科生中抽取的學生人數(shù)為×300＝60. 答案：60 專題二　利用樣本的頻率分布估計總體分布 本專題主要利用統(tǒng)計表、統(tǒng)計圖分析、估計總體的分布規(guī)律．要熟練掌握繪制統(tǒng)計圖表的方法，明確圖表中有關(guān)數(shù)據(jù)的意義是正確分析問題的關(guān)鍵．從圖形與圖表中獲取有關(guān)信息并加以整理，是近年來高考命題的熱點問題． [例2]　(2014·重慶卷改編)20名學生某次數(shù)學考試成績(單位：分)

6、的頻率分布直方圖如圖所示． (1)求頻率分布直方圖中a的值； (2)分別求出成績落在[50，60)與[60，70)中的學生人數(shù)． 解：(1)據(jù)直方圖知組距為10，由(2a＋3a＋7a＋6a＋2a)×10＝1，解得a＝＝0.005. (2)成績落在[50，60)中的學生人數(shù)為 2×0.005×10×20＝2. 成績落在[60，70)中的學生人數(shù)為 3×0.005×10×20＝3. 歸納升華 1．已知頻率分布直方圖中的部分數(shù)據(jù)，求其他數(shù)據(jù)，可根據(jù)頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)求出樣本與整體的關(guān)系，利用頻率和等于1就

7、可求出其他數(shù)據(jù)． 2．已知頻率分布直方圖，求某種范圍內(nèi)的數(shù)據(jù)，可利用圖形及某范圍結(jié)合求解． [變式訓練]　學校為了調(diào)查學生在課外讀物方面的支出情況，抽取了一個容量為n且支出在[20，60)元的樣本，其頻率分布直方圖如圖所示，其中支出在[50，60)元的同學有30人，則n的值為________． (2)(2014·江蘇卷)為了了解一片經(jīng)濟林的生長情況，隨機抽測了其中60株樹木的底部周長(單位：cm)，所得數(shù)據(jù)均在區(qū)間[80，130]上，其頻率分布直方圖如圖所示，則在抽測的60株樹木中，有________株樹木的底部周長小于100 cm. 解析：(1)支出在[50，60)

8、元的頻率為1－0.36－0.24－0.1＝0.3，因此＝0.3，故n＝100. (2)底部周長在[80，90)的頻率為0.015×10＝0.15，底部周長在[90，100)的頻率為0.025×10＝0.25，樣本容量為60，所以樹木的底部周長小于100 cm的株數(shù)為(0.15＋0.25)×60＝24. 答案：(1)100　(2)24 專題三　利用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征 總體的平均數(shù)與標準差往往通過樣本的平均數(shù)、標準差來估計．一般地，樣本容量越大，對總體的估計越精確．平均數(shù)描述集中趨勢，方差、標準差描述波動大小，也可以說方差、標準差反映各個數(shù)據(jù)與其

9、平均數(shù)的離散程度．一組數(shù)據(jù)的方差或標準差越大，說明這組數(shù)據(jù)波動越大．方差的單位是原數(shù)據(jù)單位的平方，標準差的單位與原單位相同． [例3]　(2014·課標全國Ⅰ卷)從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取100件，測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標值，由測量結(jié)果得如下頻數(shù)分布表： 質(zhì)量指標 值分組 [75，85) [85，95) [95，105) [105，115) [115，125) 頻數(shù) 6 26 38 22 8 (1)作出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖； (2)估計這種產(chǎn)品質(zhì)量指標值的平均數(shù)及方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)； (3)根據(jù)以上抽樣調(diào)查

10、數(shù)據(jù)，能否認為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標值不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品80%”的規(guī)定？ 解：(1)由數(shù)據(jù)可作出如下頻率分布直方圖： (2)質(zhì)量指標值的樣本平均數(shù)為＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100. 質(zhì)量指標值的樣本方差為s2＝(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋0×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104. 所以這種產(chǎn)品質(zhì)量指標值的平均數(shù)的估計值為100，方差的估計值為104. (3)

11、質(zhì)量指標值不低于95的產(chǎn)品所占比例的估計值為0.38＋0.22＋0.08＝0.68. 由于該估計值小于0.8，故不能認為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標值不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品80%”的規(guī)定． 歸納升華 利用頻率分布直方圖求數(shù)字特征的方法 1．眾數(shù)是最高的矩形的底邊的中點的橫坐標． 2．中位數(shù)左右兩側(cè)直方圖的面積相等． 3．平均數(shù)等于每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和． 4．利用直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)均為近似值，往往與實際數(shù)據(jù)得出的不一致．但它們能粗略估計其眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)． [變式訓練]　抽樣統(tǒng)計甲、乙兩位射擊運動員的5次訓練成績(單位：環(huán))

12、，結(jié)果如下： 運動員 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲 87 91 90 89 93 乙 89 90 91 88 92 則成績較為穩(wěn)定(方差較小)的那位運動員成績的方差為________． 解析：設(shè)甲、乙兩位射擊運動員的平均成績分別為甲，乙，方差分別為s，s. 由題意得，甲＝90＋＝90， s＝[(x1－甲)2＋(x2－甲)2＋…＋(x5－甲)2]＝×[(－3)2＋12＋02＋(－1)2＋32]＝4； 乙＝90＋＝90， s＝[(y1－乙)2＋(y2－乙)2＋…＋(y5－乙)2]＝×[(－1)2＋02＋12＋(－2)

13、2＋22]＝2. 因為s>s，所以成績較為穩(wěn)定(方差較小)的那位運動員成績的方差為2. 答案：2 專題四　回歸分析及其應(yīng)用 回歸分析是對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種常用方法．相關(guān)性問題是日常生活中普遍存在的問題．生活中有些變量之間存在著明顯的函數(shù)關(guān)系，有些變量之間不滿足函數(shù)關(guān)系，但是它們之間又存在著一種明顯的依賴關(guān)系． 利用回歸分析的方法對兩個具有線性相關(guān)關(guān)系的變量研究的步驟為： 1．畫出這兩個變量的散點圖． 2．求回歸直線方程． 3．利用回歸直線方程進行預報． [例4]　(2014·課標全國Ⅰ卷)某地區(qū)2007年至2013年農(nóng)村居民家庭人均純收入

14、y(單位：千元)的數(shù)據(jù)如下表所示． 年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 年份代號t 1 2 3 4 5 6 7 人均純收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 (1)求y關(guān)于t的線性回歸方程； (2)利用(1)中的回歸方程，分析2007年至2013年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況，并預測該地區(qū)2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入． 附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為： 解：(1)由所給數(shù)據(jù)計算得 ＝×(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，

15、＝×(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3， ＝－＝4.3－0.5×4＝2.3， 所求回歸方程為＝0.5t＋2.3. (2)由(1)知，＝0.5>0，故2007年至2013年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入逐年增加，平均每年增加0.5千元． 將2015年的年份代號t＝9代入(1)中的回歸方程，得＝0.5×9＋2.3＝6.8，故預測該地區(qū)2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入為6.8千元． 歸納升華 對一組數(shù)據(jù)進行線性回歸分析時，應(yīng)先畫出散點圖，看其是否呈直線形，再依，的計算公式算出，. [變式訓練]　有人收集了春節(jié)期間平均

16、氣溫x與某取暖商品銷售額y的有關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示． 平均氣溫/℃ －2 －3 －5 －6 銷售額/萬元 20 23 27 30 根據(jù)以上數(shù)據(jù)，用線性回歸的方法，求得銷售額y與平均氣溫x之間的線性回歸方程＝x＋的系數(shù)＝－2.4.則預測平均氣溫為－8 ℃時該商品的銷售額為(　　) A．34.6萬元　　　 B．35.6萬元 C．36.6萬元 D．37.6萬元 解：＝＝－4， ＝＝25， 所以25＝(－2.4)×(－4)＋a. 所以＝15.4. 所以回歸直線方程為＝－2.4x＋15.4. 當x＝－8時，y＝34.6，即預測平均氣溫為－8 ℃時，該

17、商品的銷售額為34.6萬元．故選A. 答案：A 專題五　數(shù)形結(jié)合思想 數(shù)形結(jié)合思想在本章中的重要應(yīng)用是通過頻率分布的態(tài)勢對總體進行估計及根據(jù)散點圖確定兩個變量是否具有相關(guān)關(guān)系，并做出判斷． 統(tǒng)計圖表(頻率分布直方圖、莖葉圖)與數(shù)字特征(平均數(shù)、中位數(shù)、方差)是高考的重點和熱點內(nèi)容，幾乎每年必考，通常以莖葉圖和頻率分布直方圖為載體，考查平均數(shù)、中位數(shù)、方差等的計算，高考對變量間的相關(guān)性的考查呈逐年上升的趨勢，主要考查借助散點圖直觀地分析兩個變量間的相關(guān)關(guān)系，知道回歸直線經(jīng)過樣本中心，會求回歸方程，并能利用方程對有關(guān)變量做出估計． [例5]　從甲、乙兩個城市分別隨機抽取16臺自動售貨機，

18、對其銷售額進行統(tǒng)計，統(tǒng)計數(shù)據(jù)用莖葉圖表示(如圖所示)．設(shè)甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為甲，乙，中位數(shù)分別為m甲，m乙，則(　　) A.甲<乙，m甲>m乙 B.甲<乙，m甲<m乙 C.甲>乙，m甲>m乙 D.甲>乙，m甲<m乙 解析：由莖葉圖得到甲的取值有一半在20以下，乙取值主要集中在20以上，故甲<乙，m甲<m乙，選B. 答案：B 歸納升華 求解莖葉圖問題，需注意以下兩點： 1．在繪制莖葉圖時應(yīng)注意重復出現(xiàn)的數(shù)據(jù)應(yīng)重復記錄，不能遺漏． 2．莖葉圖在樣本數(shù)據(jù)較少、較為集中且位數(shù)不多時比較適用．由于它較好地保留

19、了原始數(shù)據(jù)，所以可以幫助分析樣本數(shù)據(jù)的大致頻率分布，還可以用來分析樣本數(shù)據(jù)的一些數(shù)字特征，如眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)等． [變式訓練]　(2015·課標全國Ⅱ卷)根據(jù)下面給出的2004年至2013年我國二氧化硫年排放量(單位：萬噸)柱形圖，以下結(jié)論中不正確的是(　　) A．逐年比較，2008年減少二氧化硫排放量的效果最顯著 B．2007年我國治理二氧化硫排放顯現(xiàn)成效 C．2006年以來我國二氧化硫年排放量呈減少趨勢 D．2006年以來我國二氧化硫年排放量與年份正相關(guān) 解析：依據(jù)給出的柱形圖，逐項驗證．對于A選項，由圖知從2007年到2008年二氧化硫排放量下降得最多，故A正確．對于B選項，由圖知由2006年到2007年矩形高度明顯下降，因此B正確．對于C選項，由圖知從2006年以后除2011年稍有上升外，其余年份都是逐年下降的，所以C正確．對于D選項，由圖知2006年以來我國二氧化硫年排放量與年份負相關(guān)，故D錯誤． 答案：D