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1、 高考數(shù)學精品復習資料 2019.5 第四節(jié)　數(shù) 列 求 和 考點一 公式法求和 　 [例1]　(20xx浙江高考)在公差為d的等差數(shù)列{an}中，已知a1＝10，且a1,2a2＋2,5a3成等比數(shù)列． (1)求d，an； (2)若d<0，求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|. [自主解答]　(1)由題意得5a3a1＝(2a2＋2)2，即d2－3d－4＝0.故d＝－1或d＝4. 所以an＝－n＋11，n∈N*或an＝4n＋6，n∈N*. (2)設數(shù)列{an}的前n項和為S

2、n. 因為d<0，由(1)得d＝－1，an＝－n＋11.則 當n≤11時，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝Sn＝－n2＋n. 當n≥12時，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝－Sn＋2S11＝n2－n＋110. 綜上所述，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝ 【方法規(guī)律】 三類可以使用公式求和的數(shù)列 (1)等差數(shù)列、等比數(shù)列以及由等差數(shù)列、等比數(shù)列通過加、減構(gòu)成的數(shù)列，它們可以使用等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式求解． (2)奇數(shù)項和偶數(shù)項分別構(gòu)成等差數(shù)列或者等比數(shù)列的，可以分項數(shù)為奇數(shù)和偶數(shù)時使用等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和公式求解． (3)等

3、差數(shù)列各項加上絕對值，等差數(shù)列的通項公式乘以(－1)n 已知數(shù)列{an}的通項公式是an＝23n－1＋(－1)n(ln 2－ln 3)＋(－1)nnln 3，求其前n項和Sn. 解：Sn＝2(1＋3＋…＋3n－1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n](ln 2－ln 3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)nn]ln 3， 所以當n為偶數(shù)時，Sn＝2＋ln 3＝3n＋ln 3－1； 當n為奇數(shù)時，Sn＝2－(ln 2－ln 3)＋ln 3＝3n－ln 3－ln 2－1. 綜上所述，Sn＝ 考點二 錯位相減法求和 　 [例2]　已知{an}是等差數(shù)列，其前n項和為Sn，{bn}是等比

4、數(shù)列，且a1＝b1＝2，a4＋b4＝27，S4－b4＝10. (1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項公式； (2)記Tn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn，n∈N*，證明Tn－8＝an－1bn＋1(n∈N*，n≥2)． [自主解答]　(1)設等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q.由a1＝b1＝2，得a4＝2＋3d，b4＝2q3，S4＝8＋6d. 由條件，得方程組解得 所以an＝3n－1，bn＝2n，n∈N*. (2)證明：由(1)，得 Tn＝22＋522＋823＋…＋(3n－1)2n，① 2Tn＝222＋523＋…＋(3n－4)2n＋(3n－1)2n＋1.②

5、由①－②，得 －Tn＝22＋322＋323＋…＋32n－(3n－1)2n＋1＝－(3n－1)2n＋1－2＝－(3n－4)2n＋1－8，即Tn－8＝(3n－4)2n＋1. 而當n≥2時，an－1bn＋1＝(3n－4)2n＋1，所以Tn－8＝an－1bn＋1，n∈N*，n≥2. 【互動探究】 在本例(2)中，若Tn＝anb1＋an－1b2＋…＋a1bn，n∈N*，求證：Tn＋12＝－2an＋10bn(n∈N*)． 證明：由(1)，得 Tn＝2an＋22an－1＋23an－2＋…＋2na1，① 2Tn＝22an＋23an－1＋…＋2na2＋2n＋1a1.② ②－①，得Tn＝－2(3n

6、－1)＋322＋323＋…＋32n＋2n＋2 ＝＋2n＋2－6n＋2＝102n－6n－10. 而－2an＋10bn－12＝－2(3n－1)＋102n－12＝102n－6n－10，故Tn＋12＝－2an＋10bn，n∈N*.　　　　 【方法規(guī)律】 用錯位相減法求和應注意的問題 (1)要善于識別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負數(shù)的情形； (2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準確寫出“Sn－qSn”的表達式； (3)在應用錯位相減法求和時，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應分公比等于1和不等于1兩種情況求解． 已知函數(shù)f(x)＝x2＋bx為

7、偶函數(shù)，數(shù)列{an}滿足an＋1＝2f(an－1)＋1，且a1＝3，an>1. (1)設bn＝log2(an－1)，求證：數(shù)列{bn＋1}為等比數(shù)列； (2)設cn＝nbn，求數(shù)列{cn}的前n項和Sn. 解：(1)證明：∵函數(shù)f(x)＝x2＋bx為偶函數(shù)，∴b＝0，∴f(x)＝x2， ∴an＋1＝2f(an－1)＋1＝2(an－1)2＋1，∴an＋1－1＝2(an－1)2. 又a1＝3，an>1，bn＝log2(an－1)，∴b1＝log2(a1－1)＝1， ∴＝＝＝＝2， ∴數(shù)列{bn＋1}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列． (2)由(1)，得bn＋1＝2n，∴bn＝2n－1

8、，∴cn＝nbn＝n2n－n， 設An＝12＋222＋323＋…＋n2n， 則2An＝122＋223＋324＋…＋n2n＋1， ∴－An＝2＋22＋23＋…＋2n－n2n＋1＝－n2n＋1＝2n＋1－n2n＋1－2， ∴An＝(n－1)2n＋1＋2.設Bn＝1＋2＋3＋4＋…＋n，則Bn＝， ∴Sn＝An－Bn＝(n－1)2n＋1＋2－. 高頻考點 考點三 裂項相消法求和　　 1．裂項相消法求和是每年高考的熱點，題型多為解答題，難度適中，屬中檔題． 2．高考對裂項相消法的考查常有以下兩個命題角度： (1)直接考查裂項相消法求和； (2)與不等式相結(jié)合

9、考查裂項相消法求和． [例3]　(20xx廣東高考)設數(shù)列{an}的前n項和為Sn.已知a1＝1，＝an＋1－n2－n－，n∈N*. (1)求a2的值； (2)求數(shù)列{an}的通項公式； (3)證明：對一切正整數(shù)n，有＋＋…＋<. [自主解答]　(1)依題意，2S1＝a2－－1－，又S1＝a1＝1，所以a2＝4. (2)當n≥2時，2Sn＝nan＋1－n3－n2－n，2Sn－1＝(n－1)an－(n－1)3－(n－1)2－(n－1)， 兩式相減，得2an＝nan＋1－(n－1)an－(3n2－3n＋1)－(2n－1)－， 整理得(n＋1)an＝nan＋1－n(n＋1)，即－＝1

10、， 又－＝1，故數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列， 所以＝1＋(n－1)1＝n，所以an＝n2. (3)證明：當n＝1時，＝1<； 當n＝2時， ＋＝1＋＝<； 當n≥3時，＝<＝－， 此時＋＋…＋＝1＋＋＋＋…＋ <1＋＋＋＋…＋＝1＋＋－＝－<. 綜上，對一切正整數(shù)n，有＋＋…＋<. 裂項相消法求和問題的常見類型及解題策略 (1)直接考查裂項相消法求和．解決此類問題常用的裂項有： ＝－；＝；＝－. (2)與不等式相結(jié)合考查裂項相消法求和．解決此類問題應分兩步：第一步，求和；第二步，利用作差法、放縮法、單調(diào)性等證明不等式． 1．正項數(shù)列{an}滿足：a－(2

11、n－1)an－2n＝0. (1)求數(shù)列{an}的通項公式an； (2)令bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn. 解：(1)由a－(2n－1)an－2n＝0，得(an－2n)(an＋1)＝0. 由于{an}是正項數(shù)列，所以an＝2n. (2)已知an＝2n，bn＝，則bn＝＝. Tn＝＝＝. 2．設數(shù)列{an}滿足a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝，n∈N*. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)設bn＝，cn＝，記Sn＝c1＋c2＋…＋cn，證明：Sn<1. 解：(1)由題意a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－2an－1＋2n－1an＝，n∈N*，當n≥2時，a1

12、＋2a2＋22a3＋…＋2n－2an－1＝.兩式相減，得2n－1an＝－＝. 所以，當n≥2時，an＝.當n＝1時，a1＝也滿足上式，所求通項公式an＝(n∈N*)． (2)證明：bn＝＝＝，cn＝＝－， Sn＝c1＋c2＋…＋cn＝＋＋＋…＋＝1－<1. ——————————[課堂歸納——通法領悟]———————————————— 2種思路——解決非等差、等比數(shù)列求和問題的兩種思路 (1)轉(zhuǎn)化的思想，即將一般數(shù)列設法轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，這一思想方法往往通過通項分解或錯位相減來完成． (2)不能轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列的，往往通過裂項相消法、倒序相加法等來求和． 3個注意點——應用“裂項相消法”和“錯位相減法”應注　意的問題 (1)裂項相消法，分裂通項是否恰好等于相應的兩項之差． (2)在正負項抵消后，是否只剩下第一項和最后一項，或有時前面剩下兩項，后面也剩下兩項，未消去的項有前后對稱的特點． (3)在應用錯位相減法求和時，若等比數(shù)列的公比含有參數(shù)，應分q＝1和q≠1兩種情況求解．