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1、
高考數學精品復習資料
2019.5
第五篇 數 列
第2講 等差數列及其前n項和
基礎鞏固題組
(建議用時：40分鐘)
一、選擇題
1．(20xx溫州二模)記Sn為等差數列{an}前n項和，若－＝1，則其公差d＝ ( )．
A. B．2
C．3 D．4
解析 由－＝1，得－＝1，
即a1＋d－＝1，∴d＝2.
答案 B
2．(20xx濰坊期末考試)在等差數列{an}中，a5＋a6＋a7＝15，那么a3＋a4＋…＋a9等于 ( )．
A．21 B．3
2、0
C．35 D．40
解析 由題意得3a6＝15，a6＝5.所以a3＋a4＋…＋a9＝7a6＝75＝35.
答案 C
3．(20xx榆林模擬)在等差數列{an}中，首項a1＝0，公差d≠0，若am＝a1＋a2＋…＋a9，則m的值為 ( )．
A．37 B．36
C．20 D．19
解析 由am＝a1＋a2＋…＋a9，得(m－1)d＝9a5＝36d?m＝37.
答案 A
4．(20xx吉安模擬){an}為等差數列，Sn為其前n項和，已知a7＝5，S7＝21，則S10＝ ( )．
A．40 B．35
C．30 D．2
3、8
解析 設公差為d，則由已知得S7＝，即21＝，解得a1＝1，所以a7＝a1＋6d，所以d＝.所以S10＝10a1＋d＝10＋＝40.
答案 A
5．(20xx淄博二模)已知等差數列{an}的前n項和為Sn，滿足a13＝S13＝13，則a1＝ ( )．
A．－14 B．－13
C．－12 D．－11
解析 在等差數列中，S13＝＝13，所以a1＋a13＝2，即a1＝2－a13＝2－13＝－11.
答案 D
二、填空題
6．(20xx肇慶二模)在等差數列{an}中，a15＝33，a25＝66，則a35＝________.
解析 a25－a15＝10
4、d＝66－33＝33，∴a35＝a25＋10d＝66＋33＝99.
答案 99
7．(20xx成都模擬)已知等差數列{an}的首項a1＝1，前三項之和S3＝9，則{an}的通項an＝________.
解析 由a1＝1，S3＝9，得a1＋a2＋a3＝9，即3a1＋3d＝9，解得d＝2，∴an＝1＋(n－1)2＝2n－1.
答案 2n－1
8．(20xx浙江五校聯考)若等差數列{an}的前n項和為Sn(n∈N＋)，若a2∶a3＝5∶2，則S3∶S5＝________.
解析?。剑剑剑?
答案 3∶2
三、解答題
9．設數列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，an＝＋2(n－1)
5、(n∈N＋)．
求證：數列{an}為等差數列，并求an與Sn.
證明 由an＝＋2(n－1)，得Sn＝nan－2n(n－1)(n∈N＋)．
當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝nan－(n－1)an－1－4(n－1)，
即an－an－1＝4，
故數列{an}是以1為首項，4為公差的等差數列．
于是，an＝4n－3，Sn＝＝2n2－n(n∈N＋)．
10．(20xx福建卷)已知等差數列{an}的公差d＝1，前n項和為Sn.
(1)若1，a1，a3成等比數列，求a1；
(2)若S5＞a1a9，求a1的取值范圍．
解 (1)因為數列{an}的公差d＝1，且1，a1，a3成等比數列，
6、所以a＝1(a1＋2)，即a－a1－2＝0，解得a1＝－1或2.
(2)因為數列{an}的公差d＝1，且S5＞a1a9，所以5a1＋10＞a＋8a1，即a＋3a1－10＜0，解得－5＜a1＜2.
故a1的取值范圍是(－5,2)．
能力提升題組
(建議用時：25分鐘)
一、選擇題
1．(20xx咸陽模擬)已知等差數列{an}的前n項和為Sn，S4＝40，Sn＝210，Sn－4＝130，則n＝ ( )．
A．12 B．14
C．16 D．18
解析 Sn－Sn－4＝an＋an－1＋an－2＋an－3＝80，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝40，所以4(
7、a1＋an)＝120，a1＋an＝30，由Sn＝＝210，得n＝14.
答案 B
2．等差數列{an}的前n項和為Sn，已知a1＝13，S3＝S11，當Sn最大時，n的值是 ( )．
A．5 B．6
C．7 D．8
解析 法一 由S3＝S11，得a4＋a5＋…＋a11＝0，根據等差數列的性質，可得a7＋a8＝0，根據首項等于13可推知這個數列遞減，從而得到a7＞0，a8＜0，故n＝7時，Sn最大．
法二 由S3＝S11，可得3a1＋3d＝11a1＋55d，把a1＝13代入，得d＝－2，故Sn＝13n－n(n－1)＝－n2＋14n，根據二次函數的性質，知當n
8、＝7時，Sn最大．
法三 根據a1＝13，S3＝S11，則這個數列的公差不等于零，且這個數列的和先是單調遞增然后又單調遞減，根據公差不為零的等差數列的前n項和是關于n的二次函數，以及二次函數圖像的對稱性，得只有當n＝＝7時，Sn取得最大值．
答案 C
二、填空題
3．(20xx九江一模)正項數列{an}滿足：a1＝1，a2＝2,2a＝a＋a(n∈N＋，n≥2)，則a7＝________.
解析 因為2a＝a＋a(n∈N＋，n≥2)，所以數列{a}是以a＝1為首項，以d＝a－a＝4－1＝3為公差的等差數列，所以a＝1＋3(n－1)＝3n－2，所以an＝，n≥1.所以a7＝＝.
答案
9、
三、解答題
4．(20xx西安模擬)已知公差大于零的等差數列{an}的前n項和為Sn，且滿足a3a4＝117，a2＋a5＝22.
(1)求數列{an}的通項公式；
(2)若數列{bn}滿足bn＝，是否存在非零實數c使得{bn}為等差數列？若存在，求出c的值；若不存在，請說明理由．
解 (1)設等差數列{an}的公差為d，且d＞0，
由等差數列的性質，得a2＋a5＝a3＋a4＝22，
所以a3，a4是關于x 的方程x2－22x＋117＝0的解，所以a3＝9，a4＝13，易知a1＝1，d＝4，故通項為an＝1＋(n－1)4＝4n－3.
(2)由(1)知Sn＝＝2n2－n，所以bn＝＝.
法一 所以b1＝，b2＝，b3＝(c≠0)．
令2b2＝b1＋b3，解得c＝－.
當c＝－時，bn＝＝2n，當n≥2時，bn－bn－1＝2.
故當c＝－時，數列{bn}為等差數列．
法二 由bn＝＝＝，
∵c≠0，∴可令c＝－，得到bn＝2n.
∵bn＋1－bn＝2(n＋1)－2n＝2(n∈N*)，
∴數列{bn}是公差為2的等差數列．
即存在一個非零常數c＝－，使數列{bn}也為等差數列．
【創(chuàng)新設計】高考數學北師大版一輪訓練：第5篇 第2講 等差數列及其前n項和
