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人教版高中數(shù)學必修精品教學資料
課時作業(yè)21 簡單的線性規(guī)劃問題
時間：45分鐘 分值：100分
一、選擇題(每小題6分,共計36分)
1．目標函數(shù)z＝4x＋y,將其看成直線方程時,z的幾何意義是( )
A．該直線的截距
B．該直線的縱截距
C．該直線的橫截距
D．該直線的縱截距的相反數(shù)
解析：把z＝4x＋y變形為y＝－4x＋z,則此方程為直線方程的斜截式,所以z為該直線的縱截距．故選B.
答案：B
2．在如下圖所示的可行域內(nèi)(陰影部分且包括邊界),目標函數(shù)z＝x－y,則使z取得最小值的點的坐標為( )
A．(1,1) B．(3,2)
C．(5,2)
2、 D．(4,1)
解析：對直線y＝x＋b進行平移,注意b越大,z越小．
答案：A
3．(2012·山東卷)設變量x,y滿足約束條件則目標函數(shù)z＝3x－y的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
解析：利用線性規(guī)劃的知識求解．
作出不等式組表示的可行域,如圖陰影部分所示,作直線3x－y＝0,并向上、下平移,
又直線y＝3x－z的斜率為3.
由圖象知當直線y＝3x－z經(jīng)過點A(2,0)時z取最大值6,
當直線y＝3x－z經(jīng)過點B(,3)時,z取最小值－.
∴z＝3x－y的取值范圍為[－,6]．故選A.
答案：A
4．(2012·遼寧
3、卷)設變量x,y滿足則2x＋3y的最大值為( )
A．20 B．35
C．45 D．55
解析：根據(jù)題意畫出不等式組表示的平面區(qū)域,然后求值．
不等式組表示的區(qū)域如圖所示,所以過點A(5,15)時2x＋3y的值最大,此時2x＋3y＝55.
答案：D
5．若實數(shù)x,y滿足
則的取值范圍是( )
A．(0,1) B．(0,1]
C．(1,＋∞) D．[1,＋∞)
解析：
所表示的可行域如下圖．
而表示可行域內(nèi)任一點與坐標原點連線的斜率,過點O與直線AB平行的直線l的斜率為1,l繞點O逆時針轉(zhuǎn)動必與AB相交,直線OB的傾斜角為90°,因此
4、的范圍為(1,＋∞)．
答案：C
6.已知以x,y為自變量的目標函數(shù)ω＝kx＋y(k>0)的可行域如下圖陰影部分(含邊界),若使ω取最大值時的最優(yōu)解有無窮多個,則k的值為( )
A．1 B.
C．2 D．4
解析：目標函數(shù)可變形為y＝－kx＋ω,又∵k>0,
結合圖象可知,當ω最大時,－k＝kDC＝＝－1.
即k＝1.
答案：A
二、填空題(每小題8分,共計24分)
7．若實數(shù)x,y滿足則目標函數(shù)z＝x＋3y的取值范圍是________．
解析：畫出可行域,如圖所示．作直線x＋3y＝0,并平移,由圖象可知當直線經(jīng)過A(2,2)時,z取最小值,則z
5、min＝2＋3×2＝8.
當直線經(jīng)過C(2,4)時,z取最大值zmax＝2＋3×4＝14.
所以z＝x＋3y的取值范圍是[8,14]．
答案：[8,14]
8．已知x,y滿足則z＝2x＋y取最大值時點的坐標為________．
解析：不等式組所表示的可行域如圖所示．
當平行直線系z＝2x＋y經(jīng)過點A(2,－1)時,目標函數(shù)z＝2x＋y取得最大值．
答案：(2,－1)
9．已知x,y滿足且z＝2x＋4y的最小值為－6,則常數(shù)k＝________.
解析：由條件作出可行域如下圖．
根據(jù)圖象知,目標函數(shù)過x＋y＋k＝0與x＝3的交點(3,－3－k)
6、時取最小值,代入目標函數(shù)得－6＝2×3＋4×(－3－k),∴k＝0.
答案：0
三、解答題(共計40分)
10．(10分)設不等式組表示的平面區(qū)域為D,若指數(shù)函數(shù)y＝ax的圖象上存在區(qū)域D上的點,試求a的取值范圍．
解：區(qū)域D如下圖所示,其中A(2,9)．
當y＝ax恰過點A時,a＝3.因此當1<a≤3時,y＝ax的圖象上存在區(qū)域D上的點．
故a的取值范圍為(1,3]．
11．(15分)設z＝2x＋y,式中變量x,y滿足條件
求z的最大值和最小值．
解：作出不等式組表示的平面區(qū)域,即可行域,如圖所示．
把z＝2x＋y變形為y＝－2x＋z,得
7、到斜率為－2,在y軸上的截距為z,隨z變化的一族平行直線．
由圖可以看出,當直線z＝2x＋y經(jīng)過可行域上的點A時,截距z最大,經(jīng)過點B時,截距z最?。?
解方程組
得A點坐標為(5,2),
解方程組
得B點坐標為(1,1),
所以zmax＝2×5＋2＝12,zmin＝2×1＋1＝3.
12．(15分)在約束條件下,當3≤s≤5時,求目標函數(shù)z＝3x＋2y的最大值的變化范圍．
解：由如圖得交點為
A(2,0),B(4－s,2s－4),C(0,s),C′(0,4),
令z＝0,得l0：3x＋2y＝0,
當l0向上平移時z值逐漸增大．
(1)當3≤s<4時可行域為四邊形OABC,
此時l0平移到B點時z取最大值,
zmax＝3×(4－s)＋2(2s－4)＝s＋4.
∵3≤s<4,
∴7≤zmax<8.
(2)當4≤s<5時,可行域是△OAC′,
此時l0過C′點時z取最大值,zmax＝3×0＋2×4＝8.
綜上所述,zmax∈[7,8]．
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