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1、 高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 第二節(jié)　命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件 [全盤鞏固] 1．“若b2－4ac＜0，則ax2＋bx＋c＝0沒有實根”，其否命題是　　(　　) A．若b2－4ac＞0，則ax2＋bx＋c＝0沒有實根 B．若b2－4ac＞0，則ax2＋bx＋c＝0有實根 C．若b2－4ac≥0，則ax2＋bx＋c＝0有實根 D．若b2－4ac≥0，則ax2＋bx＋c＝0沒有實根 解析：選C　由原命題與否命題的關(guān)系可知，“若b2－4ac＜0，則ax2＋bx＋c＝0沒有實根”的否命題是“若b2

2、－4ac≥0，則ax2＋bx＋c＝0有實根”． 2．f(x)，g(x)是定義在R上的函數(shù)，h(x)＝f(x)＋g(x)，則“f(x)，g(x)均為偶函數(shù)”是“h(x)為偶函數(shù)”的(　　) A．充要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選B　因為f(x)，g(x)均為偶函數(shù)，可推出h(x)為偶函數(shù)，反之，則不成立． 3．(20xx黃岡模擬)與命題“若a，b，c成等比數(shù)列，則b2＝ac”等價的命題是(　　) A．若a，b，c成等比數(shù)列，則b2≠ac B．若a，b，c不成等比數(shù)列，則b2≠ac C．若b2＝ac，

3、則a，b，c成等比數(shù)列 D．若b2≠ac，則a，b，c不成等比數(shù)列 解析：選D　因為原命題與其逆否命題是等價的，所以與命題“若a，b，c成等比數(shù)列，則b2＝ac”等價的命題是“若b2≠ac，則a，b，c不成等比數(shù)列”． 4．(20xx金華模擬)設(shè)a＞0且a≠1，則“函數(shù)f(x)＝ax在R上是減函數(shù)”是“函數(shù)g(x)＝(2－a) x3在R上是增函數(shù)”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選A　“函數(shù)f(x)＝ax在R上是減函數(shù)”的充要條件是p：0＜a＜1.因為 “函數(shù)g(x)＝(2－a)x

4、3在R上是增函數(shù)”的充要條件是2－a＞0，即a＜2.又因為a＞0且a≠1，所以“函數(shù)g(x)＝(2－a)x3在R上是增函數(shù)”的充要條件是q：0＜a＜2且a≠1.顯然p?q，但q?/ p，所以p是q的充分不必要條件，即“函數(shù)f(x)＝ax在R上是減函數(shù)”是“函數(shù)g(x)＝(2－a)x3在R上是增函數(shù)”的充分不必要條件． 5．(20xx南昌模擬)下列選項中正確的是(　　) A．若x＞0且x≠1，則ln x＋≥2 B．在數(shù)列{an}中，“|an＋1|＞an”是“數(shù)列{an}為遞增數(shù)列”的必要不充分條件 C．命題“所有素數(shù)都是奇數(shù)”的否定為“所有素數(shù)都是偶數(shù)” D．若命題p為真命題，則其否命

5、題為假命題 解析：選B　當(dāng)0＜x＜1時，ln x＜0，此時ln x＋≤－2，A錯；當(dāng)|an＋1|＞an時，{an}不一定是遞增數(shù)列，但若{an}是遞增數(shù)列，則必有an＜an＋1≤|an＋1|，B對；全稱命題的否定為特稱命題，C錯；若命題p為真命題，其否命題可能為真命題，也可能為假命題，D錯． 6．已知p：≤1，q：(x－a)(x－a－1)≤0.若p是q的充分不必要條件，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A. B. C．(－∞，0)∪ D．(－∞，0)∪ 解析：選A　令A(yù)＝{x|≤1}，得A＝，令B＝{x|(x－a)(x－a－1)≤0}，得B＝{x|a≤x≤a＋1}，若p

6、是q的充分不必要條件，則AB，需?0≤a≤. 7．在命題p的四種形式(原命題、逆命題、否命題、逆否命題)中，真命題的個數(shù)記為f (p)，已知命題p：“若兩條直線l1：a1x＋b1y＋c1＝0，l2：a2x＋b2y＋c2＝0平行，則a1b2－a2b1＝0”．那么f(p)＝________. 解析：原命題p顯然是真命題，故其逆否命題也是真命題，而其逆命題是：若a1b2－a2b1＝0，則兩條直線l1：a1x＋b1y＋c1＝0與l2：a2x＋b2y＋c2＝0平行，這是假命題，因為當(dāng)a1b2－a2b1＝0時，還有可能l1與l2重合，逆命題是假命題，從而否命題也為假命題，故f(p)＝2. 答案：2

7、 8．下列四個命題： ①“若x＋y＝0，則x，y互為相反數(shù)”的逆命題； ②“若x2＋x－6≥0，則x＞2”的否命題； ③在△ABC中，“A＞30”是“sin A＞”的充分不必要條件； ④“函數(shù)f(x)＝tan(x＋φ)為奇函數(shù)”的充要條件是“φ＝kπ(k∈Z)”． 其中真命題的序號是________(把真命題的序號都填上)． 解析：①原命題的逆命題為：“若x，y互為相反數(shù)，則x＋y＝0”，①是真命題；“若x2＋x－6≥0，則x＞2”的否命題是“若x2＋x－6＜0，則x≤2”，②也是真命題；在△ABC中，“A＞30”是“sin A＞”的必要不充分條件，③是假命題；“函數(shù)f(x)＝t

8、an(x＋φ)為奇函數(shù)”的充要條件是“φ＝(k∈Z)”，④是假命題． 答案：①② 9．已知α：x≥a，β：|x－1|＜1.若α是β的必要不充分條件，則實數(shù)a的取值范圍為________． 解析：α：x≥a，可看作集合A＝{x|x≥a}，由|x－1|＜1，得0＜x＜2，∴β可看作集合B＝{x|0＜x＜2}．又∵α是β的必要不充分條件，∴BA，∴a≤0. 答案：(－∞，0] 10．已知函數(shù)f(x)是(－∞，＋∞)上的增函數(shù)，a，b∈R，對命題“若a＋b≥0，則f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”． (1)寫出否命題，判斷其真假，并證明你的結(jié)論； (2)寫出逆否命題，判斷其真

9、假，并證明你的結(jié)論． 解：(1)否命題：已知函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)，a，b∈R，若a＋b＜0，則f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)． 該命題是真命題，證明如下： ∵a＋b＜0，∴a＜－b，b＜－a.又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)．∴f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a)，∴f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，∴否命題為真命題． (2)逆否命題：已知函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)，a，b∈R，若f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，則a＋b＜0. 真命題，可證明原命題為真來證明它． ∵a＋b≥0，∴a≥－b，b≥－a，∵f(x

10、)在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)， ∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，∴f(a)＋f(b)≥f (－a)＋f(－b)， 故原命題為真命題，所以逆否命題為真命題． 11．(20xx溫州模擬)已知集合A＝，B＝{x|x＋m2≥1}．若“x∈A”是“x∈B”的充分條件，求實數(shù)m的取值范圍． 解：y＝x2－x＋1＝2＋，∵x∈，∴≤y≤2，∴A＝. 由x＋m2≥1，得x≥1－m2，∴B＝{x|x≥1－m2}．∵“x∈A”是“x∈B”的充分條件， ∴A?B，∴1－m2≤，解得m≥或m≤－， 故實數(shù)m的取值范圍是∪. 12．已知兩個關(guān)于x的一元二次方程mx2－4x＋4＝0和x2－4

11、mx＋4m2－4m－5＝0，求兩方程的根都是整數(shù)的充要條件． 解：∵mx2－4x＋4＝0是一元二次方程，∴m≠0. 又另一方程為x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，且兩方程都要有實根， ∴解得m∈. ∵兩方程的根都是整數(shù)，故其根的和與積也為整數(shù)， ∴∴m為4的約數(shù)．又∵m∈，∴m＝－1或1. 當(dāng)m＝－1時，第一個方程x2＋4x－4＝0的根為非整數(shù)； 而當(dāng)m＝1時，兩方程的根均為整數(shù)，∴兩方程的根均為整數(shù)的充要條件是m＝1. [沖擊名校] 1．對于函數(shù)y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的圖象關(guān)于y軸對稱”是“y＝f(x)是奇函數(shù)”的(　　) A．充分不必要條件

12、 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選B　y＝|f(x)|的圖象關(guān)于y軸對稱，但是y＝f(x)不一定為奇函數(shù)，如取函數(shù)f(x)＝x2，則函數(shù)y＝|x2|的圖象關(guān)于y軸對稱，但函數(shù)f(x)＝x2是偶函數(shù)不是奇函數(shù)，即“y＝|f(x)|的圖象關(guān)于y軸對稱”?/ “y＝f(x)是奇函數(shù)”；若y＝f(x)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，所以y＝|f(x)|的圖象關(guān)于y軸對稱，即“y＝f(x)是奇函數(shù)”?“y＝|f(x)|的圖象關(guān)于y軸對稱”，故應(yīng)選B. 2．已知下列各組命題，其中p是q的充分必要條件的是(　　) A．p： m≤－2或m≥6；q：

13、y＝x2＋mx＋m＋3有兩個不同的零點 B．p：＝1；q：y＝f(x)是偶函數(shù) C．p：cos α＝cos β；q：tan α＝tan β D．p：A∩B＝A；q：A?U，B?U，?UB??UA 解析：選D　對于A，由y＝x2＋mx＋m＋3有兩個不同的零點，可得Δ＝m2－4(m＋3)＞0，從而可得m＜－2或m＞6.所以p是q的必要不充分條件； 對于B，由＝1?f(－x)＝f(x)?y＝f(x)是偶函數(shù)，但由y＝f(x)是偶函數(shù)不能推出＝1，例如函數(shù)f(x)＝0，所以p是q的充分不必要條件； 對于C，當(dāng)cos α＝cos β＝0時，不存在tan α＝tan β，反之也不成立，所以p是

14、q的既不充分也不必要條件； 對于D，由A∩B＝A，知A?B，所以?UB??UA；反之，由?UB??UA，知A?B， 即A∩B＝A.所以p?q. 綜上所述，p是q的充分必要條件的是D. [高頻滾動] 1．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－3x－4＞0}，B＝{x|2x＞8}，那么集合(?UA)∩B＝(　　) A．{x|3＜x＜4} B．{x|x＞4} C．{x|3＜x≤4} D．{x|3≤x≤4} 解析：選C　A＝{x|x2－3x－4＞0}＝{x|x＜－1或x＞4}，所以?UA＝{x|－1≤x≤4}，又B＝{x|2x＞8}＝{x|x＞3}，所以(?UA)∩B＝{x|3＜x≤4}． 2．對于任意的兩個正數(shù)m，n，定義運算⊙：當(dāng)m，n都為偶數(shù)或都為奇數(shù)時，m⊙n＝；當(dāng)m，n為一奇一偶時，m⊙n＝.設(shè)集合A＝{(a，b)|a⊙b＝6，a，b∈N*}，則集合A中的元素個數(shù)為________． 解析：(1)當(dāng)a，b都為偶數(shù)或都為奇數(shù)時，＝6?a＋b＝12，即2＋10＝4＋8＝6＋6＝1＋11＝3＋9＝5＋7＝12，故符合題意的點(a，b)有25＋1＝11個． (2)當(dāng)a，b為一奇一偶時，＝6?ab＝36，即136＝312＝49＝36，故符合題意的點(a，b)有23＝6個． 綜上可知，集合A中的元素共有17個． 答案：17