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1、 人教版高中數(shù)學必修精品教學資料 課時提升作業(yè)(六) 球的體積和表面積 (25分鐘　60分) 一、選擇題(每小題5分,共25分) 1.已知圓錐SO的底面直徑和高相等且都等于球O的直徑,那么球的體積V1與圓錐的體積V2的關系是(　　) A.V1=V2 B.V1=2V2 C.V1=2V2 D.V1=3V2 【解析】選C.設球O的半徑r,則由題意得圓錐SO的底面直徑和高都是2r, 所以V1=43π×r3,V2=13π×r2·2r=23π×r3,所以V1=2V2. 2.兩個球的表面積之差為48π,它們的大圓周長之和為12π,這兩

2、個球的半徑之差為　(　　) A.2 B.3 C.2 D.1 【解析】選C.設兩球的半徑分別為R,r(R>r), 則4πR2-4πr2=48π,2πR+2πr=12π, 即R2-r2=12,R+r=6.兩式相除得R-r=2. 3.(2015·全國卷Ⅰ)圓柱被一個平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個幾何體,該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示.若該幾何體的表面積為16+20π,則r=　(　　) A.1 B.2 C.4 D.8 【解析】選B.由正視圖和俯視圖知,該幾何體是半球與半個圓柱的組合體,圓柱的底面半徑與球的半徑都為r,圓柱的

3、高為2r,其表面積為12×4πr2+πr×2r+ πr2+2r×2r=5πr2+4r2=16+20π,解得r=2. 4.(2015·臨沂高一檢測)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積等于　 (　　) A.4π B.8π C.12π D.20π 【解析】選D.由三視圖可知,該幾何體為底面半徑是2,高為2的圓柱體和半徑為1的球體的組合體,則該幾何體的表面積為4π×12+2π×22+4π×2=20π. 5.(2015·重慶高二檢測)三個球的半徑之比為1∶2∶3,那么最大球的表面積是其余

4、兩個球的表面積之和的(　　) A.1倍 B.2倍 C.95倍 D.74倍 【解析】選C.由已知,可設最小的球的半徑為r,則另兩個球的半徑為2r,3r,所以各球的表面積分別為4πr2,16πr2,36πr2.所以36πr24πr2+16πr2=3620=95(倍). 二、填空題(每小題5分,共15分) 6.若一個球的表面積與其體積在數(shù)值上相等,則此球的半徑為　　　　. 【解析】設此球的半徑為R,則4πR2=43πR3,R=3. 答案:3 7.(2015·上海高一檢測)在底面直徑為6的圓柱形容器中,放入一個半徑為2的冰球,當冰球全部溶化后,容器中液面的高度為

5、　　　　.(相同質量的冰與水的體積比為10∶9) 【解析】半徑為2的冰球的體積為43π×23=323π,水的體積為485π, 設冰球全部溶化后,容器中液面的高度為h,則π×32h=485π,所以h=1615. 答案:1615 8.兩個球的半徑相差1,表面積之差為28π,則它們的體積和為　　　　. 【解析】設大、小兩球半徑分別為R,r, 則R-r=1,4πR2-4πr2=28π,所以R=4,r=3, 所以體積和為43πR3+43πr3=364π3. 答案:364π3 【拓展延伸】計算球的表面積和體積的關鍵及常見題型 計算球的表面積和體積的關鍵是求球的半徑.

6、 常見題型有: (1)已知球的半徑求其表面積和體積. (2)已知體積和表面積求其半徑. 三、解答題(每小題10分,共20分) 9.某組合體的直觀圖如圖所示,它的中間為圓柱形,左右兩端均為半球形,若圖中r=1,l=3,試求該組合體的表面積和體積. 【解析】該組合體的表面積S=4πr2+2πrl=4π×12+2π×1×3=10π, 該組合體的體積V=43πr3+πr2l=43π×13+π×12×3=13π3. 【補償訓練】一種空心鋼球的質量是732πg,外徑是5cm,求它的內徑.(鋼密度9g/cm3) 【解析】利用“

7、體積=質量密度”及球的體積公式V球=43πR3,設球的內徑為r,由已知得球的體積V=732π9=244π3(cm3). 由V=43π(53-r3)得244π3=43π(53-r3), 解得r=4cm. 10.(2015·昆明高一檢測)若一個底面邊長為62,側棱長為6的正六棱柱的所有頂點都在一個球面上,求該球的體積和表面積. 【解題指南】明確該六棱柱中最長的體對角線與外接球直徑的關系是解答本題的關鍵. 【解析】在底面正六邊形ABCDEF中,連接BE,AD交于O,連接BE1, 則BE=2OE=2DE, 所以BE=6, 在Rt△BEE1中, BE1=BE2+E1E2=

8、23, 所以2R=23,則R=3, 所以球的體積V球=43πR3=43π, 球的表面積S球=4πR2=12π. 【拓展延伸】解答球的組合體問題的關鍵 (1)根據(jù)組成形式確定球心位置和球的半徑. (2)利用幾何體的結構特征作出關鍵截面,將空間問題轉化為平面問題. (20分鐘　40分) 一、選擇題(每小題5分,共10分) 1.(2015·荊州高一檢測)用與球心距離為1的平面去截球,所得截面面積為π,則球的體積為　(　　) A.32π3π B.8π3 C.82π D.823π 【解析】選D.設球的半徑為R,截面圓的半徑為r,由題意可得截面圓的半徑為r=1,

9、因此球的半徑R=12+12=2,球的體積為43πR3=823π. 【補償訓練】平面α截球O的球面所得圓的半徑為1,球心O到平面α的距離為2,則此球的體積為　(　　) A.6π B.43π C.46π D.63π 【解析】選B.設球的半徑為R,由球的截面性質得R=(2)2+12=3,所以球的體積V=43πR3=43π. 【延伸拓展】球體的截面的特點 (1)球既是中心對稱的幾何體,又是軸對稱的幾何體,它的任何截面均為圓,它的三視圖也都是圓. (2)利用球半徑、截面圓半徑、球心到截面的距離構建直角三角形是把空間問題轉化為平面問題的主要途徑. 2.一個三棱錐的三條側棱兩兩互相

10、垂直且長分別為3,4,5,則它的外接球的表面積是　(　　) A.202π B.252π C.50π D.200π 【解題指南】此三棱錐可視為一個長方體的一個角,因此可以將三棱錐的外接球轉化為長方體的外接球. 【解析】選C.因為這個三棱錐的三條側棱兩兩互相垂直,所以此三棱錐可視為一個長方體的一個角(如圖所示),而且此長方體的外接球就是三棱錐的外接球.設三棱錐的外接球半徑為r,則有2r2=32+42+52=50,即4r2=50,它的外接球的表面積是S=4πr2=50π. 二、填空題(每小題5分,共10分) 3.一個幾何體的三視圖(單位:cm)如圖所示,則該幾何體的體積是　

11、　　　cm3. 【解析】由三視圖知,幾何體是一個由三部分組成的組合體,上面是一個半球,半球的半徑是1,所以半球的體積是12×43×π×13=2π3,下面是半個圓柱和一個四棱柱,圓柱的底面半徑是1,高是2,所以半個圓柱的體積是12×π×12×2=π,四棱柱的底面是一個邊長分別是1和2的矩形,高是2,所以四棱柱的體積是1×2×2=4,所以空間組合體的體積是2π3+π+4=5π3+4(cm3). 答案:5π3+4 【誤區(qū)警示】解答本題易出現(xiàn)根據(jù)三視圖將此組合體的下面判斷為一個圓柱或一個四棱柱的錯誤. 4.(2

12、015·溫州高二檢測)已知兩個正四棱錐有公共底面,且底面邊長為4,兩棱錐的所有頂點都在同一個球面上若這兩個正四棱錐的體積之比為1∶2,則該球的表面積為　　　　. 【解析】因為兩個正四棱錐有公共底面且兩個正四棱錐的體積之比為1∶2, 所以兩個正四棱錐的高的比也為1∶2, 設兩個棱錐的高分別為x,2x,球的半徑為R, 則x+2x=3x=2R,即R=3x2, 球心到公共底面距離是x2, 又因為底面邊長為4, 所以R2=3x22=x22+(22)2, 解得x=2,所以R=3, 該球的表面積S=4πR2=36π. 答案:36π 三、解答題(每小題10分,共20分) 5.

13、(2015·青島高一檢測)如圖是一個幾何體的三視圖(單位:cm),試畫出它的直觀圖,并計算這個幾何體的體積與表面積. 【解析】這個幾何體的直觀圖如圖所示. 因為V長方體=10×8×15=1200(cm3), 又V半球=12×43πR3=12×43π×523 =12512π(cm3), 所以所求幾何體的體積為 V=V長方體+V半球=1200+12512π(cm3). 因為S長方體全=2×(10×8+8×15+10×15) =700(cm2), S半球=12×4π

14、×522=252π, S半球底=π×522=254π, 故所求幾何體的表面積S表面積=S長方體全+S半球-S半球底 =700+254π(cm2). 6.如圖(單位:cm),求圖中陰影部分繞AB旋轉一周所形成的幾何體的表面積和體積. 【解析】由題意知,所求旋轉體的表面積由三部分組成:圓臺下底面、側面和一個半球面. S半球=8πcm2,S圓臺側=35πcm2,S圓臺底=25πcm2. 故所求幾何體的表面積為68π(cm2). V圓臺=13×[π×22+π×22×π×52+π×52]×4=52π(cm3), V半球=43π×23×12=163π(cm3). 所以,旋轉體的體積為V圓臺-V半球=52π-163π =1403π(cm3). 關閉Word文檔返回原板塊