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1、 高考數(shù)學精品復習資料 2019.5 第五節(jié)　橢　圓 [考綱傳真]　(教師用書獨具)1.了解橢圓的實際背景，了解橢圓在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用.2.掌握橢圓的定義、幾何圖形、標準方程及簡單性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點、離心率).3.理解數(shù)形結(jié)合思想.4.了解橢圓的簡單應用． (對應學生用書第138頁) [基礎(chǔ)知識填充] 1．橢圓的定義 把平面內(nèi)到兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的集合叫作橢圓．這兩個定點叫作橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫作橢圓的焦距． 集合P＝{M||MF1|＋|

2、MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c為常數(shù)： (1)若a＞c，則集合P為橢圓； (2)若a＝c，則集合P為線段； (3)若a＜c，則集合P為空集． 2．橢圓的標準方程和幾何性質(zhì) 標準方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 圖形 性質(zhì) 范圍 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a 對稱性 對稱軸：坐標軸；對稱中心：原點 頂點 A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0) 離心率 e＝，且e∈(0,1)

3、 a，b，c的關(guān)系 c2＝a2－b2 [知識拓展]　1.點P(x0，y0)和橢圓的位置關(guān)系：(1)P(x0，y0)在橢圓內(nèi)?＋＜1.(2)P(x0，y0)在橢圓上?＋＝1.(3)P(x0，y2)在橢圓外?＋＞1. 2．對于＋＝1(a＞b＞0)如圖851. 圖851 則：(1)S＝b2tan . (2)|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0. (3)a－c≤|PF1|≤a＋c. (4)過P(x0，y0)點的切線方程為 ＋＝1. [基本能力自測] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“”) (1)平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之和等于常

4、數(shù)的點的軌跡是橢圓．(　　) (2)橢圓上一點P與兩焦點F1，F(xiàn)2構(gòu)成△PF1F2的周長為2a＋2c(其中a為橢圓的長半軸長，c為橢圓的半焦距)．(　　) (3)橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓．(　　) (4)橢圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．(　　) (5)方程mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)表示的曲線是橢圓．(　　) (6)＋＝1(a＞b＞0)與＋＝1(a＞b＞0)的焦距相同．(　　) [答案]　(1)　(2)√　(3)　(4)√　(5)√　(6)√ 2．(20xx浙江高考)橢圓＋＝1的離心率是(　　) A． B． C． D． B　[∵橢圓方程為

5、＋＝1， ∴a＝3，c＝＝＝. ∴e＝＝. 故選B．] 3．(教材改編)已知中心在原點的橢圓C的右焦點為F(1,0)，離心率等于，則C的方程是(　　) A．＋＝1　　　 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 D　[橢圓的焦點在x軸上，c＝1. 又離心率為＝，故a＝2，b2＝a2－c2＝4－1＝3， 故橢圓的方程為＋＝1.] 4．橢圓C：＋＝1的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F2的直線交橢圓C于A、B兩點，則△F1AB的周長為(　　) A．12 B．16 C．20 D．24 C　[△F1AB的周長為 |F1A|＋|F1B|＋|AB| ＝|F1A|＋|F2A|＋|F1

6、B|＋|F2B| ＝2a＋2a＝4a. 在橢圓＋＝1中，a2＝25，a＝5， 所以△F1AB的周長為4a＝20，故選C．] 5．若方程＋＝1表示橢圓，則k的取值范圍是________． (3,4)∪(4,5)　[由已知得解得3＜k＜5且k≠4.] (對應學生用書第139頁) 橢圓的定義及其應用 　(1)已知兩圓C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，動圓在圓C1內(nèi)部且和圓C1相內(nèi)切，和圓C2相外切，則動圓圓心M的軌跡方程為(　　) A．－＝1　 B．＋＝1 C．－＝1 D．＋＝1 (2)F1，F(xiàn)2是橢圓＋＝1的兩個焦點，A為橢圓

7、上一點，且∠AF1F2＝45，則△AF1F2的面積為(　　) A．7 B． C． D． (1)D　(2)C　[(1)設(shè)圓M的半徑為r，則|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16，又|C1C2|＝8＜16，∴動圓圓心M的軌跡是以C1、C2為焦點的橢圓，且2a＝16,2c＝8，則a＝8，c＝4，∴b2＝48，故所求的軌跡方程為＋＝1. (2)由題意得a＝3，b＝，c＝， ∴|F1F2|＝2，|AF1|＋|AF2|＝6. ∵|AF2|2＝|AF1|2＋|F1F2|2－2|AF1||F1F2|cos 45＝|AF1|2－4|AF1|＋8， ∴(6－|AF1|)2＝|

8、AF1|2－4|AF1|＋8. ∴|AF1|＝，∴S△AF1F2＝2＝.] [規(guī)律方法]　1.橢圓定義的應用主要有兩個方面：一是判定平面內(nèi)動點的軌跡是否為橢圓；二是利用定義求焦點三角形的周長、面積、弦長、最值和離心率等. 2.橢圓的定義式必須滿足2a＞|F1F2|. [跟蹤訓練]　(1)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)的左，右焦點，過點F1的直線交橢圓E于A，B兩點，|AF1|＝3|F1B|，且|AB|＝4，△ABF2的周長為16，則|AF2|＝________. 【導學號：79140284】 (2)已知F1、F2是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的兩個焦點，P為橢圓C

9、上的一點，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面積為9，則b＝__________. (1)5　(2)3　[(1)由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4，得|AF1|＝3， ∵△ABF2的周長為16，∴4a＝16，∴a＝4. 則|AF1|＋|AF2|＝2a＝8， ∴|AF2|＝8－|AF1|＝8－3＝5. (2)設(shè)|PF1|＝r1，|PF2|＝r2， 則 ∴2r1r2＝(r1＋r2)2－(r＋r)＝4a2－4c2＝4b2， ∴S＝r1r2＝b2＝9， ∴b＝3.] 橢圓的標準方程 　(1)若直線x－2y＋2＝0經(jīng)過橢圓的一個焦點和一個頂點，則該橢圓的標準方程為

10、(　　) A．＋y2＝1 B．＋＝1 C．＋y2＝1或＋＝1 D．以上答案都不對 (2)已知橢圓的中心在原點，離心率e＝，且它的一個焦點與拋物線y2＝－4x的焦點重合，則此橢圓方程為(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋y2＝1 D．＋y2＝1 (1)C　(2)A　[(1)直線與坐標軸的交點分別為(0,1)，(－2,0)， 由題意知當焦點在x軸上時，c＝2，b＝1，所以a2＝5，所求橢圓的標準方程為＋y2＝1. 當焦點在y軸上時，b＝2，c＝1，所以a2＝5，所求橢圓的標準方程為＋＝1. (2)依題意，可設(shè)橢圓的標準方程為＋＝1(a＞b＞0)，由已知可得拋物線的焦點

11、為(－1,0)，所以c＝1，又離心率e＝＝，解得a＝2，b2＝a2－c2＝3，所以橢圓方程為＋＝1.] [規(guī)律方法]　求橢圓的標準方程的方法有定義法與待定系數(shù)法，但基本方法是待定系數(shù)法，具體過程是先定位，再定量，即首先確定焦點所在的位置，然后再根據(jù)條件建立關(guān)于a，b的方程組，若焦點位置不確定，可把橢圓方程設(shè)為Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)的形式. [跟蹤訓練]　(1)(20xx湖南長沙一模)橢圓的焦點在x軸上，中心在原點，其上、下兩個頂點和兩個焦點恰為邊長是2的正方形的頂點，則橢圓的標準方程為(　　) A．＋＝1 B．＋y2＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 (2)已

12、知F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)是橢圓C的兩個焦點，過F2且垂直于x軸的直線交C于A，B兩點，且|AB|＝3，則C的方程為__________. 【導學號：79140285】 (1)C　(2)＋＝1　[(1)由條件可知b＝c＝，a＝2，∴橢圓的標準方程為＋＝1.故選C． (2)依題意，設(shè)橢圓C：＋＝1(a>b>0)． 過點F2(1,0)且垂直于x軸的直線被曲線C截得弦長|AB|＝3， ∴點A必在橢圓上，∴＋＝1. ① 又由c＝1，得1＋b2＝a2. ② 由①②聯(lián)立，得b2＝3，a2＝4. 故所求橢圓C的方程為＋＝1.] 橢圓的幾何性質(zhì) ◎角度1　求離心率的值

13、或范圍 　(20xx全國卷Ⅲ)已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右頂點分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx－ay＋2ab＝0相切，則C的離心率為(　　) A． B． C． D． A　[由題意知以A1A2為直徑的圓的圓心為(0,0)，半徑為a. 又直線bx－ay＋2ab＝0與圓相切， ∴圓心到直線的距離d＝＝a，解得a＝b， ∴＝， ∴e＝＝＝＝＝. 故選A．] ◎角度2　根據(jù)橢圓的性質(zhì)求參數(shù) 　已知橢圓＋＝1的長軸在x軸上，焦距為4，則m等于(　　) A．8 B．7 C．6 D．5 A　[∵橢圓＋＝1的長軸在x軸上， ∴解得6＜m＜1

14、0. ∵焦距為4， ∴c2＝m－2－10＋m＝4，解得m＝8.] [規(guī)律方法]　(1)求橢圓離心率的方法 ①直接求出a，c的值，利用離心率公式直接求解. ②列出含有a，b，c的齊次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，轉(zhuǎn)化為含有e的方程(或不等式)求解. (2)利用橢圓幾何性質(zhì)求值或范圍的思路 求解與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的參數(shù)問題時，要結(jié)合圖形進行分析，當涉及頂點、焦點、長軸、短軸等橢圓的基本量時，要理清它們之間的關(guān)系.建立關(guān)于a、b、c的方程或不等式. [跟蹤訓練]　(1)已知橢圓＋＝1的離心率為，則k的值為(　　) A．－21 B．21 C．－或21 D．或－

15、21 (2)已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點，若橢圓C上存在點P，使得線段PF1的中垂線恰好經(jīng)過焦點F2，則橢圓C離心率的取值范圍是(　　) A． B． C． D． (1)D　(2)C　[(1)當9＞4－k＞0，即－5＜k＜4時， a＝3，c2＝9－(4－k)＝5＋k， ∴＝，解得k＝. 當9＜4－k，即k＜－5時， a＝，c2＝－k－5， ∴＝，解得k＝－21， 所以k的值為或－21. (2)如圖所示， ∵線段PF1的中垂線經(jīng)過F2， ∴|PF2|＝|F1F2|＝2c， 即橢圓上存在一點P， 使得|PF2|＝2c. ∴a

16、－c≤2c≤a＋c.∴e＝∈.] 直線與橢圓的位置關(guān)系 　(20xx東北三省四市模擬(一))已知橢圓E的一個頂點為A(0，－1)，焦點在x軸上，若橢圓右焦點到橢圓E的中心的距離是. (1)求橢圓E的方程； (2)設(shè)直線l：y＝kx＋1(k≠0)與該橢圓交于不同的兩點B，C，若坐標原點O到直線l的距離為，求△BOC的面積． [解]　(1)由題意b＝1，c＝， ∴a2＝b2＋c2＝3， 又∵橢圓E的焦點在x軸上， ∴橢圓E的方程為＋y2＝1. (2)設(shè)B(x1，y1)，C(x2，y2)，將直線方程與橢圓聯(lián)立整理得(3k2＋1)x2＋6kx＝0， 由原點O到直線l的

17、距離為＝，得k2＝， 又|BC|＝ ＝＝2， ∴S△BOC＝|BC|＝， ∴△BOC的面積為. [規(guī)律方法]　直線與橢圓的位置關(guān)系的解題策略 (1)解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題，其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元、化簡，然后應用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程，解決相關(guān)問題.涉及弦中點的問題常常用“點差法”解決，往往會更簡單. (2)設(shè)直線與橢圓的交點坐標為A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則|AB|＝ ＝(k為直線斜率). 易錯警示：利用公式計算直線被橢圓截得的弦長是在方程有解的情況下進行的，不要忽視判別式. [跟蹤訓練]　已知曲線C的方程是mx2＋ny2＝

18、1(m＞0，n＞0)，且曲線過A，B兩點，O為坐標原點． (1)求曲線C的方程； (2)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)是曲線C上兩點，向量p＝(x1，y1)，q＝(x2，y2)，且pq＝0，若直線MN過點，求直線MN的斜率． [解]　(1)由題可知： 解得m＝4，n＝1. ∴曲線C的方程為y2＋4x2＝1. (2)設(shè)直線MN的方程為y＝kx＋， 代入橢圓方程y2＋4x2＝1，得(k2＋4)x2＋kx－＝0， ∴x1＋x2＝，x1x2＝， ∵pq＝(2x1，y1)(2x2，y2)＝4x1x2＋y1y2＝0， ∴＋＋＋＝0， 即k2－2＝0，k＝. 故直線MN的斜率為.