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1、
高考數(shù)學精品復習資料
2019.5
數(shù)學思想專項練
數(shù)學思想專項練(一) 函數(shù)與方程思想
(對應學生用書第123頁)
題組1 運用函數(shù)與方程思想解決數(shù)列、不等式等問題
1.已知等比數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,Sn是{an}的前n項和,若a1,a3是方程x2-5x+4=0的兩個根,則S6=( )
A.63 B.64
C.49 D.56
A [a1,a3是方程x2-5x+4=0的兩個根且{an}是遞增數(shù)列,故a3=4,a1=1,故公比q=2,S6==63.]
2.若關(guān)于x的方程x2+2kx-1=0的兩根x1,x2
2、滿足-1≤x1<0<x2<2,則k的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
B [構(gòu)造函數(shù)f(x)=x2+2kx-1,因為關(guān)于x的方程x2+2kx-1=0的兩根x1,x2滿足-1≤x1<0<x2<2,
所以即
所以-<k≤0,
所以k的取值范圍是.]
3.(20xx河南鄭州第一次質(zhì)量預測)已知數(shù)列{an}滿足a1a2a3…an=2(n∈N*),且對任意n∈N*都有++…+<t,則實數(shù)t的取值范圍為( )
A. B.
C. D.
D [依題意得,當n≥2時,an===2=22n-1,又a1=21=221-1,因此an=22n-1,=,數(shù)列是以為首項,為公比的等比數(shù)列,等
3、比數(shù)列的前n項和等于=<,因此實數(shù)t的取值范圍是,選D.]
4.設(shè)函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f′(x),對任意x∈R都有f(x)>f′(x)成立,則( )
A.3f(ln 2)<2f(ln 3)
B.3f(ln 2)=2f(ln 3)
C.3f(ln 2)>2f(ln 3)
D.3f(ln 2)與2f(ln 3)的大小不確定
C [令F(x)=,則F′(x)=.
因為對?x∈R都有f(x)>f′(x),所以F′(x)<0,
即F(x)在R上單調(diào)遞減.
又ln 2<ln 3,所以F(ln 2)>F(ln 3),
即>,
所以>,即3f(ln 2)>2f(ln 3),故選C.]
4、
5.已知數(shù)列{an}滿足a1=60,an+1-an=2n(n∈N*),則的最小值為________.
【導學號:07804145】
[由an+1-an=2n,得
an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1
=2(n-1)+2(n-2)+…+2+60
=n2-n+60.
∴==n+-1.
令f(x)=x+-1,易知f(x)在(0,2)上單調(diào)遞減,在(2,+∞)上單調(diào)遞增.
又n∈N*,當n=7時,=7+-1=,
當n=8時,=8+-1=.
又<,故的最小值為.]
6.已知函數(shù)f(x)=x3+(1-a2)x2-ax,其中a∈R.
(1
5、)若曲線y=f(x)在點(1,f(x))處的切線方程為8x+y-2=0,求a的值;
(2)若a=1,存在實數(shù)m,使得方程f(x)=m恰好有三個不同的解,求實數(shù)m的取值范圍.
[解] (1)因為f′(x)=ax2+(1-a2)x-a,
所以f′(1)=-8,即f′(1)=a+(1-a2)-a=-8,解得a=3.
當a=3時,f(x)=x3-4x2-3x,f(1)=-6,f′(x)=3x2-8x-3,f′(1)=-8,
故曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為y+6=-8(x-1),即8x+y-2=0.
當a=-3時,f(x)=-x3-4x2+3x,f(1)=-2,
f′
6、(x)=-3x2-8x+3,f′(1)=-8,
故曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為y+2=-8(x-1),即8x+y-6=0.不符合題意,舍去.
故a的值為3.
(2)若a=1,則f(x)=x3-x,
f′(x)=x2-1,
當-1<x<1時,f′(x)<0,當x>1或x<-1時,f′(x)>0,故f(x)在區(qū)間(-∞,-1),(1,+∞)內(nèi)為增函數(shù),在區(qū)間(-1,1)內(nèi)為減函數(shù).
故函數(shù)f(x)在x=1處取得極小值f(1),
且f(1)=-1=-,
函數(shù)f(x)在x=-1處取得極大值f(-1),且f(-1)=-+1=.
如圖,分別作出函數(shù)f(x)=x3
7、-x與y=m的圖象,從圖象上可以看出當-<m<時,兩個函數(shù)的圖象有三個不同的交點,即方程f(x)=m有三個不同的解.
故實數(shù)m的取值范圍為.
題組2 利用函數(shù)方程思想解決幾何問題
7.已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左焦點為F,若F關(guān)于直線x+y=0的對稱點A是橢圓C上的點,則橢圓C的離心率為( )
【導學號:07804146】
A. B.
C. D.-1
D [設(shè)F(-c,0),A(m,n),則
解得A.
代入橢圓方程中,有+=1,
所以b2c2+3a2c2=4a2b2,
所以(a2-c2)c2+3a2c2=4a2(a2-c2),
所以c4-8a2c2+4a4=
8、0,
所以e4-8e2+4=0,所以e2=42,
所以e=-1或e=+1(舍去).
即橢圓C的離心率為-1.]
8.已知正四棱錐SABCD中,SA=2,那么當該棱錐的體積最大時,它的高為( )
A.1 B.
C.2 D.3
C [設(shè)正四棱錐SABCD的底面邊長為a(a>0),則高h==,所以體積V=a2h=.設(shè)y=12a4-a6(a>0),則y′=48a3-3a5.令y′>0,得0<a<4;令y′<0,得a>4.故函數(shù)y在(0,4)上單調(diào)遞增,在(4,+∞)上單調(diào)遞減.可知當a=4時,y取得最大值,即體積V取得最大值,此時h==2,故選C.]
9.如圖1,動點P在正方體ABC
9、DA1B1C1D1的體對角線BD1上,過點P作垂直于平面BB1D1D的直線,與正方體表面相交于M,N,設(shè)BP=x,MN=y(tǒng),則函數(shù)y=f(x)的圖象大致是( )
圖1
A B C D
B [設(shè)正方體的棱長為1,顯然P始終是MN的中點,而且隨著點P從B點向BD1的中點移動時,y的值逐漸增大到最大;再由中點向點D1移動時,y的值逐漸變?。Y(jié)合四個選項中圖象的特征,由函數(shù)的相關(guān)知識知,排除A,C項.進而分別過M,N,P作底面的垂線,垂足分別為M′,N′,P′(如圖),則M′N′=MN=y(tǒng).
又∵===,∴BP′=x.故當BP=x≤時,MN=y(tǒng)=2BP′=x,
10、此時y是關(guān)于x的一次函數(shù),
∴排除D項.]
10.已知橢圓C:+=1(a>b>0)上一點P與橢圓右焦點的連線垂直于x軸,直線l:y=kx+m與橢圓C相交于A,B兩點(均不在坐標軸上).
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)設(shè)O為坐標原點,若△AOB的面積為,試判斷直線OA與OB的斜率之積是否為定值?
[解] (1)由題意知解得
∴橢圓C的標準方程為+=1.
(2)設(shè)點A(x1,y1),B(x2,y2),
由
得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0,
由Δ=(8km)2-16(4k2+3)(m2-3)>0,得m2<4k2+3.
∵x1+x2=,x1x2=,
∴S△OAB=|m||x1-x2|=|m|=,
化簡得4k2+3-2m2=0,滿足Δ>0,從而有4k2-m2=m2-3(*),
∴kOAkOB==
=
==-,由(*)式,得=1,
∴kOAkOB=-,即直線OA與OB的斜率之積為定值-.