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1、初中數(shù)學輔導網(wǎng) 第十一章　全等三角形　小結 一、全等形 能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形。 二、全等三角形 １、概念：能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。 注意： （１）兩個三角形全等，互相重合的頂點叫做對應點，互相重合的邊叫做對應邊，互相重合的角叫做對應角。 （２）“能夠完全重合”是指在一定的疊放下，可以完全重合，不是胡亂擺放都能重合。 ２、全等三角形的符號表示、讀法 △ＡＢＣ與△Ａ′Ｂ′Ｃ′全等記作△ＡＢＣ≌△Ａ′Ｂ′Ｃ′，“≌”讀作“全等于”。 注意： （１）計兩個三角形全等時，通常把對應頂點的字母寫在對應的位置上，這樣對應的兩個字母為端點的線段

2、是對應邊；對應的三個字母表示的角是對應角（若用一個字母表示一個角亦是如此）。 （２）對應角夾的邊是對應邊，對應邊的夾角是對應角。 （３）對應邊、對應角是對兩個三角形而言的，指兩條邊、兩個角的關系，而對邊、對角是指同一個三角形的邊和角的位置關系，對邊是與角相對的邊，對角是與邊相對的角。 ３、全等三角形的性質(zhì) 全等三角形的對應邊相等，對應角相等。 ４、三角形全等的識別方法 （１）三邊對應相等的兩個三角形全等，簡寫成“邊邊邊”和“ＳＳＳ”。 （２）兩邊和他們的夾角對應相等的兩個三角形全等，簡寫成“邊角邊”和“ＳＡＳ”。 （３）兩角和他們的夾邊對應相等的兩個三角形全等，簡寫成“

3、角邊角”和“ＡＳＡ”。 （４）兩個角和其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等，簡寫成“角角邊”和“ＡＡＳ”。 （５）斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等，簡寫成“斜邊、直角邊”和“ＨＬ”。 注意： ＳＳＡ、ＡＡＡ不能識別兩個三角形全等，識別兩個三角形全等時，必須有邊的參與，如果有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角。 ５、三角形全等的證明思路 　　　　　　　　　找夾角——ＳＡＳ （１）已知兩邊　　找直角——ＨＬ 　　　　　　　　　找另一邊——ＳＳＳ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　找邊的對角——ＡＡＳ （２）已知一邊一角　　邊為角的鄰邊　　找夾角的另一

4、邊——ＳＡＳ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　找夾邊的另一角——ＡＳＡ 　　　　　　　　　　　邊為角的對邊——找任意一角——ＡＡＳ （３）已知兩角　　找夾邊——ＡＳＡ 　　　　　　　　　找任意一邊——ＡＡＳ ６、全等變換 一個圖形與另一個圖形的形狀一樣，大小相等，只是位置不同，我們稱這個圖形是另一個圖形的全等變換，三種基本全等變換：（１）旋轉；（２）翻折；（３）平移。 三、角平分線的性質(zhì)定理及逆定理 １、性質(zhì)定理：角平分線上的點到角的兩邊距離相等。 注意：（１）定理作用：a.證明線段相等；b.為證明三角形全等準備條件。 （２）點到直線的距離，即點到直線的垂線段的長

5、度。 ２、逆定理：在角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點在角平分線上。 ３、三角形的內(nèi)心 利用角的平分線的性質(zhì)定理可以導出：三角形的三個內(nèi)角的角平分線交于一點Ｉ，此點叫做三角形的內(nèi)心，它到三邊的距離相等。 說明：（１）三角形三條角平分線交于一點，這個點到三邊的距離相等。 　　 （２）三角形兩個外角的角平分線也交于一點，這個點到三邊所在的直線的距離相等。 　　 （３）三角形外角角平分線的交點共有３個，所以到三角形三邊所在的直線的距離相等的點共有４個。 第十二章　軸對稱　小結 一、軸對稱圖形的概念： 如果一個圖形沿著某一條直線對折，對折的兩部分能完全重合，那么就稱這樣

6、的圖形為軸對稱圖形，這條直線叫做這個圖形的對稱軸。這時，我們就說這個圖形關于這條直線（或軸）對稱。 如：正方形、長方形、圓形一定是軸對稱圖形；三角形、四邊形、梯形不一定是軸對稱圖形；平行四邊形一定不是軸對稱圖形。 注意： （１）一個軸對稱圖形的對稱軸不一定只有一條，如正方形有４條對稱軸、長方形有２條對稱軸、圓形有無數(shù)條對稱軸、正三角形有３條對稱軸、正n邊形有n條對稱軸。 （２）軸對稱圖形需要注意的重點：①一個圖形； ②沿一條直線折疊，對折的兩部分能完全重合（即重合到自身上）。 二、軸對稱的概念： 　　把一個圖形沿著某一條直線翻折過去，如果它能夠和另一個圖形完全重合，那么就說這

7、兩個圖形成軸對稱，這條直線就是對稱軸。兩個圖形中經(jīng)過翻折之后互相重合的點叫做對應點，也叫做對稱點。 注意：（１）兩個圖形成軸對稱和軸對稱圖形的概念，前提不一樣，前者是兩個圖形，后者是一個圖形。 　?。ǎ玻┏奢S對稱的兩個圖形不僅大小、形狀一樣而且與位置有關。 三、軸對稱的性質(zhì)： １、關于某條直線對稱的圖形是全等形； ２、如果兩個圖形關于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線； ３、兩個圖形關于某直線對稱，如果它們的對應線段或延長線相交，那么交點在對稱軸上； ４、如果兩個圖形的對應點連線被同一直線垂直平分，那么，這兩個圖形關于這條直線對稱。 注意：（１）全

8、等的圖形不一定是軸對稱的，軸對稱的圖形一定是全等的。 （２）性質(zhì)４的作用是判定兩個圖形是否關于某直線對稱，它是作對對稱圖形的主要依據(jù)。 四、軸對稱作（畫）圖： １、畫圖形的對稱軸 （１）觀察分析圖形，找出軸對稱圖形的任意一組對稱點； （２）連結對稱點； （３）畫出以對稱點為端點的線段的垂直平分線。 ２、如果一個圖形關于某直線對稱，那么對稱點之間的線段的垂直平分線就是該圖形的對稱軸。 注意： 對于（１）來說，對稱點要找準，特別是較復雜的軸對稱圖形，要認真地觀察、分析，必要時要動手操作實踐一下；對于對稱軸有兩條或兩條以上的圖形，要從各個角度找對稱點，對于（２）是找一個軸對

9、稱圖形的對稱軸的方法。 ３、畫某點關于某直線的對稱點的方法 （１）過已知點作已知直線的（對稱軸）的垂線，標出垂足； （２）在這條直線的另一側從垂足出發(fā)截取相等的線段，那個截點就是這點關于該直線的對稱點。 ４、畫已知圖形關于某直線的對稱圖形 （１）畫出圖形的某些點關于這條直線的對稱點； （２）把這些對稱點順次連結起來，就形成了一個符合條件的對稱圖形。 注意： “某些點”是指能確定圖形形狀和大小及位置的關鍵點。如果是多邊形， “某些點”就是指所有的頂點；如果是線段，“某些點”就是指線段的兩個端點；如果是直角，“某些點”就是指角的頂點與角兩邊上每一邊一個任意點，其余類推。

10、 五、軸對稱和軸對稱圖形之間的區(qū)別與聯(lián)系： 軸對稱 軸對稱圖形 區(qū)別 ①指兩個圖形而言； ②指兩個圖形的一種形狀與位置關系。 ①對一個圖形而言； ②指一個圖形的特殊形狀。 聯(lián)系 ①都有一條直線，都要沿這條直線折疊重合； ②把兩個成軸對稱的圖形看成一個整體，就是一個軸對稱圖形；反過來，把軸對稱圖形沿對稱軸分成兩部分，這兩部分關于這條直線成軸對稱。 六、軸對稱幾何圖形的對稱軸： 名稱 是否是軸對稱圖形 對稱軸有幾條 對稱軸的位置 線段 是 ２條 垂直平分線或線段所在的直線 角 是 １條 角平分線所在的直線 長方形 是 ２條 對

11、邊中線所在的直線 正方形 是 ４條 對邊中線所在的直線和對角線所在的直線 圓 是 無數(shù)條 直徑所在的直線 平行四邊形 不是 ０條 七、軸對稱變換的概念： 由一個平面圖形得到它的軸對稱圖形叫做軸對稱變換。 八、軸對稱變換的有關知識點： 規(guī)律：對稱軸方向、位置發(fā)生變化，得到的圖形的方向、位置也發(fā)生變化； 性質(zhì)：１、由一個平面圖形可以得到它關于一條直線l對稱的圖形，這個圖形與原圖形的形狀、大 小完全相同； 　　 ２、新圖形上的每一點，都是原圖形上的某一點關于直線l的對稱點； 　　 ３、連結任意一對對應點的線段被對稱軸垂直平分； 　　 ４、成軸對

12、稱的兩個圖形中的任何一個可以看做由另一個圖形經(jīng)過軸對稱變換后得到的； 　　 ５、一個軸對稱圖形也可以看做以它的一部分為基礎，經(jīng)軸對稱變換擴展而成的。 九、線段垂直平分線的概念： １、垂直于一條線段，并平分這條線段的直線叫做這條線段的垂直平分線； ２、線段的垂直平分線可以看做和線段兩個端點距離相等的所有點的集合。 十、線段垂直平分線的性質(zhì)定理： 線段垂直平分線上的點到這條線段兩端點距離相等。 注意： １、“線段垂直平分線上的點到這條線段兩端點距離相等”的作用是：證明兩條線段相等； ２、若ＣＤ垂直平分線段ＡＢ，可得到： ① △ＡＢＣ是等腰三角形； ② ＣＯ是△ＡＢＣ底邊

13、ＡＢ上的高和中線，也是頂角∠ＢＣＡ的平分線； ③ 不僅ＡＣ＝ＣＢ，?。茫纳先我庖稽cＰ都有ＰＡ＝ＰＢ。 十一、線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理： 和線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。 注意： （１）“和線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上?！钡淖饔檬牵号卸ㄒ稽c在線段的垂直平分線上； （２）等腰三角形的頂點在底邊的垂直平分線上； （３）如果兩點到一條線段的兩個端點的距離相等，那么，這兩點所在直線是該線段的垂直平分線。 十二、三角形三邊垂直平分線的性質(zhì)： 三角形三邊的垂直平分線相交于一點，這個點到三個頂點的距離相等。 注意：（１

14、）“三角形三邊的垂直平分線相交于一點，這個點到三個頂點的距離相等。”的作用是：證明線段相等； （２）三角形兩邊的垂直平分線的交點必在第三邊的垂直平分線上； （３）證明三線共點，可先找到兩直線交點，再證明第三條直線也過這一點即可； （４）銳角三角形三邊垂直平分線的交點在三角形內(nèi)部，直角三角形三邊垂直平分線的交點恰是斜 邊中點，鈍角三角形三邊垂直平分線的交點在三角形外部； （５）此定理給出了作一個點到三個不共線的點距離相等的作圖方法，只需順次連結這三點組成一個三角形，作這個三角形的兩邊的垂直平分線，交點即為所求。 十三、等腰三角形的概念、性質(zhì)、判定： 1、概念： 有兩邊相等

15、的三角形叫做等腰三角形，在等腰三角形中，相等的兩邊叫做腰，另一邊叫做底邊， 兩腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角，頂角是直角的等腰三角形叫做直角等腰三角形， 三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形。 2、性質(zhì)： （１）等腰三角形是軸對稱圖形，有一條對稱軸，其頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高線所在直 線是對稱軸； （２）等腰三角形的兩底角相等（簡寫為“等邊對等角”）； （３）等腰三角形頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合（簡稱“三線合一”）。 （４）等腰三角形的兩邊相等，即兩腰相等。 3、判定：（１）有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形； 　?。ǎ玻┤绻粋€三角

16、形有兩個角相等，那么，這兩個角所對的邊也相等（簡稱“等角對等邊”）。 注意： （１）等腰三角形的判定和性質(zhì)的關系：等腰三角形的定義既體現(xiàn)了等腰三角形的性質(zhì)，也可以作為 判定，等腰三角形的性質(zhì)定理“等邊對等角”和等腰三角形的判定定理“等角對等邊”互為逆 定理； （２）“等角對等邊”在同一三角形內(nèi)證兩條邊相等的應用極為廣泛，往往通過計算三角形各角的度 數(shù)得角相等，則可得邊相等； （３）底角為頂角２倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分線將原等腰三角形分成兩個等腰三角形。 十四、等邊三角形的定義、性質(zhì)、判定： 1、 定義： 三條邊相等的三角形叫做等邊三角形。 注意： （１

17、）由定義可知，等邊三角形是一種特殊的等腰三角形，也就是說等腰三角形包括等邊三角形，因而等邊三角形具有等腰三角形的一切性質(zhì)； （２）等邊三角形有三條對稱軸，故三邊上均有“三線合一”的性質(zhì)，其三條中線交于一點，稱其為 “中心”。 2、性質(zhì)： 等邊三角形的三邊都相等，三個內(nèi)角都相等，并且每一個內(nèi)角都等于６０，每一個外角都等于１２０。 3、判定：（１）三條邊都相等的三角形是等邊三角形； 　?。ǎ玻┤齻€角都相等的三角形是等邊三角形； 　　（３）有一個內(nèi)角是６０的等腰三角形是等邊三角形； 　?。ǎ矗┤我庖谎偷走呄嗟鹊牡妊切问堑冗吶切?。 　　 注意：（１）四個判定定理的前提

18、不同，判定（１）和判定（２）是在三角形的條件下，判定（３）和判定（４）是在等腰三角形的條件下； （２）計算出三角形的各個內(nèi)角的度數(shù)都相等（或都為６０），然后根據(jù)“等角對等邊”可說明一個三角形是等邊三角形。 十五、含３０角的直角三角形的性質(zhì)： 如果在直角三角形中有一個銳角為３０，那么３０角所對的直角邊等于斜邊的一半。 注意： 性質(zhì)是由等邊三角形的性質(zhì)得出的，它的主要作用是能解決直角三角形中的有關線段長度、線段關系、角的度數(shù)等的計算問題，特別在以后的學習中應用更廣泛。 第十三章　實數(shù)　小結 一、平方根、算術平方根的概念及其性質(zhì) １、算術平方根

19、的概念及其性質(zhì) （１）一般地，如果一個正數(shù)的平方等于a，即2= a，那么這個正數(shù)叫做a的算術平方根，a的算術平方根記為，讀作“根號a”，a叫做被開方數(shù)?！? （２）一個正數(shù)的算術平方根是一個正數(shù)；0的算術平方根仍為0；負數(shù)沒有算術平方根，也就是說，當式子有意義時，a一定表示一個非負數(shù)。 ２、平方根的概念及其性質(zhì) （１） 如果一個數(shù)的平方等于a，那么這個數(shù)叫做a的平方根或二次方根，這就是說，如果x=a，那么叫做a的平方根。 正數(shù)a的正的平方根表示為“”或“”，其中a叫做被開放數(shù)；“”中的2叫做根指數(shù)（一般可省去不寫）；“”或“”讀作“二次根號a”或“根號a”；正數(shù)a的負的平方根表示為

20、“－”或“－”；正數(shù)a的平方根表示為，讀作“正、負根號a”。 （２） 一個正數(shù)的平方根有兩個且它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負數(shù)沒有平方根。 ３、開平方運算 求一個數(shù)a的平方根的運算，叫做開平方，其中a叫做被開方數(shù)。 注意：（１）被開方數(shù)a是非負數(shù)（非負數(shù)即指正數(shù)和零）； （２）平方運算與開平方運算是互為逆運算的關系。 ４、平方根（或算術平方根）的幾個公式 （１）式子有意義的條件為ａ≥０。 （２）ａ表示ａ的算術平方根，ａ是非負數(shù)，即?。帷荩?。 　　　　　　　　　　?。帷? ａ≥０ （３）?。幔溅颍幡颍?０　?。幔剑? 　　　　　　　　　　?。帷。幔迹? （４

21、）√（　ａ）＝ａ（ａ≥０），（－　ａ）＝ａ（ａ≥０）。 二、立方根的概念及其性質(zhì) １、如果一個數(shù)ｘ的立方等于ａ，即ｘ＝ａ，那么就稱這個數(shù)ｘ為ａ的立方根（或三次方根）。 ａ的立方根（或三次方根）表示為?。?，其中ａ為被開方數(shù)，“　”符號中的３為根指數(shù)（這個數(shù)不能省略）；　ａ讀作“三次根號ａ”或“ａ的立方根”。 ２、任意數(shù)都有立方根，正數(shù)有一個正的立方根；負數(shù)有一個負的立方根；零的立方根仍為零。 ３、有關立方根的補充說明和兩個公式 （１）在?。嶂?，被開方數(shù)ａ可為正數(shù)、零，也可為負數(shù)。即?。岬恼撆cａ一致。 （２）?。?－　ａ （３）(　a) =　a＝ａ ４、開立方

22、運算 求一個數(shù)ａ的立方根的運算叫做開立方運算。開立方運算與立方運算是互為逆運算的關系。 三、實數(shù)的有關性質(zhì) （１）實數(shù)ａ的相反數(shù)為－ａ，零的相反數(shù)是其本身，若ａ與ｂ互為相反數(shù)，則ａ＋ｂ＝０；反之亦然。 （２）實數(shù)ａ的倒數(shù)為１/ａ（ａ≠０）。若ａ與ｂ互為倒數(shù)，則ａｂ＝１；反之亦然。 （３）實數(shù)ａ的絕對值表示為︱ａ︱，正實數(shù)的絕對值是它本身，零的絕對值是零，負實數(shù)的絕對值是 它的相反數(shù)。 　　　　　 　?。帷? ａ≥０ 即︱ａ︱＝　?。啊　。幔剑? 　　　　　 　?。帷。幔迹? （４）實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應的關系，數(shù)軸上每一個點都表示一個實

23、數(shù)；反過來，每一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點來表示。 已知實數(shù)ａ、ｂ在數(shù)軸上對應的點分別為Ａ、Ｂ，則有︱ａ︱、︱ｂ︱分別表示點Ａ、點Ｂ到原點的距離；︱ａ－ｂ︱表示點Ａ到點Ｂ的距離，這正是絕對值的幾何意義。 在數(shù)軸上，右邊點對應的實數(shù)比左邊點對應的實數(shù)大；正實數(shù)大于一切負實數(shù)，０大于一切負實數(shù)，正實數(shù)都大于０；兩個負數(shù)比較大小，絕對值大的反而小，即對于負數(shù)ａ、ｂ，有 ︱ａ︱＜︱ｂ︱＝ａ＞ｂ。 四、實數(shù)的概念及其分類 實數(shù)是有理數(shù)和無理數(shù)的統(tǒng)稱，有如下分類： （１）按定義分類 　　　　　　　　　整數(shù)　　 實數(shù)　　有理數(shù)　　分數(shù)　　有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù) 　　　　無理數(shù)：即

24、無限不循環(huán)小數(shù) （２）按正負分類 　　　　　　　　　　　　　　 正整數(shù) 　　　　 　　正有理數(shù)　正分數(shù) 正實數(shù) 　　　　　　　　　 正無理數(shù) 實數(shù)　　 零 　　　　　　　　　　　　　　　負整數(shù) 　　　　負實數(shù)　　負有理數(shù)　　負分數(shù) 　　　　　　　　　負無理數(shù) 五、實數(shù)的運算 　　 在實數(shù)范圍內(nèi)，可進行加、減、乘、除、乘方、開方運算和它們之間的混合運算；有理數(shù)范圍內(nèi)的運算律、運算法則在實數(shù)范圍內(nèi)仍適用，且滿足運算律。 　 　交換律：ａ＋ｂ＝ｂ＋ａ，ａｂ＝ｂａ 　 　結合律：（ａ＋ｂ）＋ｃ＝ａ＋（ｂ＋ｃ），（ａｂ）ｃ＝ａ

25、（ｂｃ） 　　 分配率：ａ（ｂ＋ｃ）＝ａｂ＋ａｃ 六、實數(shù)的大小比較 　?、贁?shù)軸比較法； 　?、诖鷶?shù)比較法； ③差值比較法； ④商值比較法； ⑤倒數(shù)比較法：若1/a＞1/b,a＞0,b＞0,則a＜b； ⑥平方比較法：ａ＞０，ｂ＞０，ａ＞ｂ，則ａ＞ｂ； ⑦開方比較法：若a＞0，b＞0，?。幔尽。?，則ａ＞ｂ； 七、非負數(shù)的性質(zhì) ｎ （１）已知實數(shù)ａ，則ａ≥0，︱ａ︱≥0，ａ　≥0（ｎ為正整數(shù)）。 ｎ （２）任意非負數(shù)的算術平方根和偶次方根還是非負數(shù)，即　ａ≥0，　?。帷?（ｎ為正整數(shù)）。 （３）若兩個非負數(shù)的和為０，那么這兩個數(shù)一定都為０，常見以下幾種形式：

26、 　　　　　　　　　　　ａ＝０， 若ａ＋ｂ＝０，則　ｂ＝０，反之亦然。 　　　　　　　　　　　　　　ａ＝０， 若︱ａ︱＋︱ｂ︱＝０，則?。猓剑?，反之亦然。 　　　　　　　　　　　　ａ＝０， 若　ａ＋?。猓剑?，則　ｂ＝０，反之亦然。 ａ＝０， ｎ ｎ 若?。幔。猓剑埃瑒t?。猓剑埃粗嗳?。 可推廣位：ｎ個非負實數(shù)之和為０，則這ｎ個非負實數(shù)一定都為零。 第十四章　一次函數(shù)　小結 一、函數(shù)的有關概念 （１）變量與常量 　 　在某一變化過程中，可以取不同的量叫做常量，保持不變的量叫做常量。 注意：變量和常量往往是相對而言的，在

27、不同研究過程中，常量和變量的身份是可以相互轉換的。 　?。ǎ玻┖瘮?shù)與自變量 　 　一般地，如果在一個變化過程中，有兩個變量，例如ｘ和ｙ，對于ｘ的每一個值，ｙ都有唯一的值與之對應，我們就說ｘ是自變量，ｙ是因變量，此時也稱ｙ是ｘ的函數(shù)。 　　注意：函數(shù)體現(xiàn)的是一個變化的過程，在這一變化過程中，要著重把握以下三點： 　?。ǎ保┲荒苡袃蓚€變量。 　?。ǎ玻┮粋€變量的數(shù)值隨著另一個變量的數(shù)值變化而變化。 （３）對于自變量的每一個確定的值，函數(shù)都有唯一的值與之對應。 二、函數(shù)的表示方法 函數(shù)的表示方法有三種：解析法、列表法和圖像法。 （１）解析法：

28、 兩個變量之間的關系，有時可以用一個含有這兩個變量的等式表示，這種表示方法叫做解析式。用解析式表示一個函數(shù)關系時，因變量ｙ放在等式的左邊，自變量ｘ的代數(shù)式放在右邊，其實質(zhì)是用ｘ的代數(shù)式表示ｙ。 注意：解析法簡單明了，能準確地反應整個變化過程中自變量與因變量的關系，但不直觀，且有的函數(shù)關系不一定能用解析法表示出來。 （２）列表法： 把自變量ｘ的一系列值和函數(shù)ｙ的對應值列成一個表來表示函數(shù)關系的方法叫做列表法。 注意：列表法優(yōu)點是一目了然，使用方便，但其列出的對應值是有限的而且從表中不易看出自變量和函數(shù)之間的對應規(guī)律。 （３）圖像法： 用圖像表示函數(shù)關系的方法叫做圖像法。 注

29、意：圖像法形象直觀，是研究函數(shù)的一種很重要的方法。 　　　在解決問題時，我們常常綜合運用三種方法來表示函數(shù)。 三、函數(shù)自變量取值范圍及函數(shù)值 　 　函數(shù)自變量的取值范圍是指函數(shù)有意義的自變量的取值的全體。求自變量的取值范圍通常從兩個方面考慮：一是要使函數(shù)的解析式有意義；二是符合客觀實際。下面給出一些簡單函數(shù)解析式中自變 量范圍的確定方法。 　?。ǎ保┊敽瘮?shù)的解析式是整式時，自變量取任意實數(shù)（即全體實數(shù)）。 　　（２）當函數(shù)的解析式是分式時，自變量取值是使分母不為零的任意實數(shù)。 　?。ǎ常┊敽瘮?shù)的解析式是開平方的無理式時，自變量值是使被開放的式子為非負的實數(shù)。 　　（

30、４）當函數(shù)解析式中自變量出現(xiàn)在零次冪或負整數(shù)次冪的底數(shù)中時，自變量值取值是使底數(shù)不為零的實數(shù)。 　　 對于自變量在取值范圍內(nèi)的一個值，如當ｘ＝ａ時，函數(shù)有唯一確定的對應值，這個值就是當 ｘ＝ａ時的函數(shù)值。 　　注意：若已知函數(shù)解析式及自變量的值求函數(shù)值，其實質(zhì)就是求關于自變量ｘ的代數(shù)式的值。 　　　　　若已知函數(shù)解析式及函數(shù)值求自變量的值，其實質(zhì)就是解關于自變量ｘ的方程。 四、函數(shù)的圖像 （１）函數(shù)圖像的意義 　一般來說，函數(shù)的圖像是由直角坐標系中的一系列點組成。圖像上每一點的坐標（ｘ，ｙ）代表了函數(shù)的一對對應值，他的橫坐標ｘ表示自變量的某一個值，縱坐標ｙ表示與它對應的

31、函數(shù)值。 （２）函數(shù)圖像的畫法 　 　在直角坐標系中，如果描出以自變量的值為橫坐標、相應函數(shù)值為縱坐標的點，那么所有這樣的點組成的圖形叫做這個函數(shù)的圖像。 　　 知道了函數(shù)解析式要畫出函數(shù)的圖像，一般經(jīng)歷以下三步： 　　①列表： 取自變量的一些值，計算出對應的函數(shù)值，由這一系列的對應值得到一系列的有序實數(shù)對。 ②描點： 在直角坐標系中，描出這些有序實數(shù)對的對應點。 ③連線： 用平滑的曲線依次把這些點連起來，即可得到這個函數(shù)的圖像。 五、數(shù)學思想方法 （１）數(shù)形結合思想 本章中比較廣泛地應用數(shù)形結合的思想來研究問題。數(shù)形結合，直觀形象，由數(shù)思形

32、，由形思數(shù)，兩者巧妙結合，為分析問題和解決問題創(chuàng)造了有利條件，幫助我們?nèi)シ治龊徒鉀Q問題。 （２）函數(shù)思想 研究一個實際問題時，首先從問題中抽象出特定的函數(shù)關系，然后利用函數(shù)的性質(zhì)得出結論，最后把結論應用到實際問題中去，從而得到實際問題的研究結果。將實際問題數(shù)學化，通過建立函數(shù)模型，利用函數(shù)性質(zhì)解決實際問題。 （３）轉化思想 將復雜問題轉化為簡單問題，將未知轉化為已知，將抽象轉化為具體，這是數(shù)學中常用的思想方法。 六、一次函數(shù)（正比例函數(shù)）的概念 解析式是用自變量的一次整式表示的函數(shù)，我們稱之為一次函數(shù)。一次函數(shù)的一般形式為 ｙ＝ｋｘ＋ｂ，其中ｋ、ｂ為常數(shù)，ｋ≠０，

33、特別地，當ｋ＝０時，一次函數(shù)ｙ＝ｋｘ（常數(shù) ｋ≠０）也叫做正比例函數(shù)。 注意： （１）如果一個函數(shù)是一次函數(shù)，則含有自變量ｘ的式子是一次的，系數(shù)ｋ不等于０，而ｂ可以為任意實數(shù)。 （２）自變量ｘ的取值范圍是任意實數(shù)。 （３）ｋ≠０這個條件不可忽略。 （４）正比例函數(shù)與一次函數(shù)之間的關系： ① 正比例函數(shù)是特殊的一次函數(shù)，即一次函數(shù)包含正比例函數(shù)。 ② 一次函數(shù)不一定是正比例函數(shù)，在一次函數(shù)ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）中，當ｂ＝０時， ｙ是ｘ的正比例函數(shù)；當ｂ≠０時ｙ不是ｘ的正比例函數(shù)。 七、一次函數(shù)的圖像 （１）一次函數(shù)ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）的圖像是一條直線，通常也稱為直

34、線ｙ＝ｋｘ＋ｂ，一方面，一次函數(shù)ｙ＝ｋｘ＋ｂ的圖像可以用描點法畫出；另一方面，由于兩點確定一條直線，故畫一次函數(shù)的圖像時，只要先描出兩點，再連成直線就可以了，為了方便，常用圖像與坐標軸的兩個交點（０，ｂ）和（－　　，０） （２）正比例函數(shù)ｙ＝ｋｘ（ｋ≠０）的圖像是經(jīng)過原點（０，０）的一條直線，通常畫正比例函數(shù) ｙ＝ｋｘ（ｋ≠０）的圖像只需取一點（１，ｋ），然后過原點和這一點畫直線。 八、對一次函數(shù)的ｙ＝ｋｘ＋ｂ中的系數(shù)ｋ、ｂ的理解 （１）直線ｙ＝ｋｘ＋ｂ中ｋ表示直線向上的方向與ｘ軸正方向夾角的大小程度，即直線的傾斜程度；ｂ是直線與ｙ軸交點的縱坐標，ｂ＞０時，直線與ｙ軸交于正

35、半軸上；ｂ＝０時，直線過原點，是正比例函數(shù)；ｂ＜０時，直線與ｙ軸交于正半軸上；ｂ＝０時，直線過原點，是正比例函數(shù)；ｂ＜０時，直線與ｙ軸交于負半軸上。 （２）兩直線ｙ＝ｋ１ｘ＋ｂ１（ｋ１≠０）與ｙ＝ｋ２ｘ＋ｂ２（ｋ２≠０）的位置關系。 　　?、佼敚耄保剑耄?，ｂ１≠ｂ２時，兩直線平行。 　　　②當ｋ１＝ｋ２，ｂ１＝ｂ２時，兩直線重合。 注意： （１）當ｋ＞０時，直線必經(jīng)過一、三象限；ｋ＜０時，直線必經(jīng)過二、四象限。當ｂ＞０時，直線與ｙ軸正半軸相交，故必過一、二象限；ｂ＝０時，直線過原點；ｂ＜０時，直線與ｙ軸負半軸相交，故直線過三、四象限。 （２）ｙ隨ｘ的增大而增大，還是ｙ隨ｘ的增大

36、而減小，只取決于ｋ的符號，與ｂ無關。 九、一次函數(shù)解析式的確定 （１）根據(jù)數(shù)學規(guī)律、關系確定函數(shù)解析式 ① 對于探索一系數(shù)、圖形個數(shù)等規(guī)律時，其關鍵是找出問題的兩個變量之間存在的數(shù)量關系。 ② 對于幾何圖形中的兩個量的關系，要能夠結合幾何圖形的性質(zhì)確定兩個變量的關系。 ③ 對于實際問題中的兩個量之間的關系，要分析出各個量之間存在的數(shù)量關系，并能正確用含一個量的代數(shù)式表示另一個量，同時注意自變量的取值范圍。 （２）待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式 先設出函數(shù)解析式，再根據(jù)已知條件確定解析式中未知的系數(shù)，從而具體寫出函數(shù)解析式的方法，叫做待定系數(shù)法，待定系數(shù)法是求函數(shù)解析式最常用的方

37、法，其一般步驟是： ①設一次函數(shù)解析式為ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）。 ②將函數(shù)圖像所經(jīng)過的任意兩點的坐標帶入ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）。 ③解此二元一次方程組，得待定系數(shù)k、b的值。 ④確定函數(shù)解析式。 注意： （１）在正比例函數(shù)ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０，且為常數(shù)）中，只有一個待定系數(shù)ｋ，確定正比例函數(shù)關系式只需一個條件。 　?。ǎ玻┰谝淮魏瘮?shù)ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ、ｂ為常數(shù)，且ｋ≠０）中，有兩個待定系數(shù)ｋ和ｂ，因此確定一次函數(shù)關系式需要兩個條件。 十、一次函數(shù)與方程（組）及不等式之間的關系 （１）一次函數(shù)與一元一次方程 　 　 直線ｙ＝ｋｘ＋ｂ與ｘ軸交點的橫坐標，就是一元一次方程ｋｘ＋

38、ｂ＝０的解。 求直線ｙ＝ｋｘ＋ｂ與ｘ軸的交點，可令ｙ＝０得方程ｋｘ＋ｂ＝０，解方程得ｘ＝－　　，－　　是直線ｙ＝ｋｘ＋ｂ與ｘ軸交點的橫坐標。反之，由函數(shù)的圖像也能求出對應的一元一次方程的解。 （２）一次函數(shù)與二元一次方程（組） 　　 一次函數(shù)ｙ＝ｋｘ＋ｂ圖像上任意一點的坐標都是二元一次方程ｋｘ－ｙ＋ｂ＝０的解；以二元一次方程ｋｘ－ｙ＋ｂ＝０的解為坐標的點都在一次函數(shù)ｙ＝ｋｘ＋ｂ的圖像上。 兩條直線ｌ１：ｙ＝ｋ１ｘ＋ｂ１（ｋ１≠０）與ｌ２：ｙ＝ｋ２ｘ＋ｂ２（ｋ２≠０）的交點的橫、縱坐標就是方程組　?。剑耄保猓? 　　　　　　　　　　 ｙ＝ｋ２ｘ＋ｂ２ 注意：若ｋ１＝ｋ

39、２，ｂ１≠ｂ２，則兩直線平行，無交點，所以方程組無解；若ｋ１＝ｋ２，ｂ１＝ｂ２，則兩直線重合，通常不研究此類情況。 （３）二元一次方程組的圖像解法 畫出方程組對應的兩個一次函數(shù)的圖像，找出它們的交點，這個交點的坐標就是二元一次方程組的解，這種解方程組的方法叫做二元一次方程組的圖像解法。 （４）一次函數(shù)與一元一次不等式 使一次函數(shù)ｙ＝ｋｘ＋ｂ的函數(shù)值ｙ大于０的自變量的所有值，就是一元一次不等式ｋｘ＋ｂ＞０的解集，同樣使一次函數(shù)ｙ＝ｋｘ＋ｂ的函數(shù)值ｙ小于０的自變量的所有值，就是一元一次不等式 ｋｘ＋ｂ＜０的解集。 第十五章　整式的乘除與因式分解　小結 一、同底數(shù)冪的乘法：

40、同底數(shù)冪的乘法法則： 同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加，即ａ　ａ?。剑帷。ǎ?、ｎ都是正整數(shù)）。 注意：（１）這一運算性質(zhì)可推廣到三個或三個以上同底數(shù)冪相乘，即ａａａ＝ａ（ｍ、ｎ、ｐ都是正整數(shù)）。 　　?。ǎ玻┻\算性質(zhì)可以逆運用，即ａ?。剑帷。帷?。 　　?。ǎ常﹥绲牡讛?shù)ａ可以是單項式，也可以是多項式。 二、冪的乘方與積的乘方： １、冪的乘方法則： 冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘，即（ａ?。。剑帷。ǎ?、ｎ都是正整數(shù)）。 注意：（１）不要把冪的乘方性質(zhì)與同底數(shù)冪的乘法性質(zhì)混淆。冪的乘方運算，是轉化為指數(shù)的乘法運算（底數(shù)不變）；同底數(shù)冪的乘法，是轉化為指數(shù)的加法運算（底數(shù)不變）。

41、 （２）此性質(zhì)可以逆運用，即ａ?。剑ǎ帷。。剑ǎ帷。?。 ２、積的乘方法則： 　 　積的乘方，等于各因數(shù)乘方的積，即（ａｂ）?。剑帷。狻。ǎ顬檎麛?shù)）。 注意：（１）這一運算性質(zhì)可推廣到三個或三個以上的因數(shù)的積的乘方，即（ａｂｃ）?。剑幔猓恪。ǎ顬檎麛?shù)）。 　　?。ǎ玻┐诵再|(zhì)可以逆運用，即ａ?。狻。剑ǎ幔猓　? 三、同底數(shù)冪的除法： 同底數(shù)冪的除法法則： 同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減，即ａａ＝ａ（ａ≠0，ｍ、ｎ為正整數(shù)，且ｍ＞ｎ）。 注意：此性質(zhì)可以逆運用，即ａ＝ａａ　。 四、零指數(shù)冪與負整數(shù)指數(shù)冪： 　 　 在ａ　ａ?。剑帷≈?，當ｍ＝ｎ時，

42、規(guī)定ａ?。帷。剑帷。剑保ǎ帷伲埃? 　　 當ｍ＜ｎ時，規(guī)定ａ?。帷。剑帷　。健　?。 （１）零指數(shù)冪的意義： 　　 任何不等于零的數(shù)的零次冪都等于１，即ａ?。剑保ǎ帷伲埃?。 （２）負整數(shù)指數(shù)冪的意義： 　 　任何不等于零的數(shù)的－ｎ（ｎ為正整數(shù)）次冪，等于這個數(shù)的ｎ次冪的倒數(shù)，即 ａ＝（ａ≠0，ｎ為正整數(shù)）。 注意：（１）在這兩個冪的意義中，強調(diào)底數(shù)ａ都不等于零，否則無意義。 　　 （２）學習零指數(shù)冪與負整數(shù)指數(shù)冪后，正整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)推廣到整數(shù)指的冪。 五、科學計數(shù)法： 　　 利用科學計數(shù)法表示絕對值較大的數(shù)，即表示成ａ１０　的形式，ｎ為

43、正整數(shù)，１≤｜ａ｜＜１０。對于一些絕對值較小的數(shù)，我們可以仿照絕對值較大數(shù)的計法，用１０的負整數(shù)次冪表示，而將原式寫成ａ１０　的形式，其中ｎ為正整數(shù)，１≤｜ａ｜＜１０，這也稱為科學計數(shù)法。 六、單項式與單項式相乘： 單項式與單項式相乘的法則： 　　 單項式與單項式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式。 七、單項式與多項式相乘： 單項式與多項式相乘的法則： 　　 單項式與多項式相乘，就是根據(jù)分配率用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加，即。 注意：單項式乘多項式實際上是用分配率向單項

44、式相乘轉化。 八、多項式與多項式相乘： 多項式與多項式相乘的法則： 　　 多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加，即（ａ＋ｂ）（ｍ＋ｎ）＝ａｍ＋ｂｍ＋ａｎ＋ｂｎ。 九、平方差公式： （１）內(nèi)容： （ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）＝ａ－ｂ （２）意義： 　 　兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差。 （３）特征： 　?、?左邊是兩個二項式相乘，這兩項中有一項相同，另一項互為相反數(shù)； ② 右邊是乘式中兩項的平方差； ③ 公式中的ａ和ｂ可以使有理數(shù)，也可以是單項式或多項式。 （４）幾何意義：

45、 　　 平方差公式的幾何意義也就是圖形變換過程中面積相等的表達式。 （５）拓展： ① 立方和公式： （ａ＋ｂ）（ａ－ａｂ＋ｂ）＝ａ＋ｂ； ② 立方差公式： （ａ－ｂ）（ａ＋ａｂ＋ｂ）＝ａ－ｂ。 ③（ａ－ｂ）（ａ?。帷。猓帷。猓幔狻。幔狻。狻。剑帷。狻?。 十、完全平方公式： （１）內(nèi)容： 　　 （ａ＋ｂ）＝ａ＋ｂ＋２ａｂ； 　　 （ａ－ｂ）＝ａ＋ｂ－２ａｂ。 （２）意義： 　　兩數(shù)和的平方，等于它們的平方和，加上它們積的２倍。 兩數(shù)差的平方，等于它們的平方和，減去它們積的２倍。 （３）特征： 　?、?左邊是一個二

46、項式的完全平方，右邊是一個二次三項式，其中有兩項是公式左邊二項式中每一項的平方，另一項是左邊二項式中兩項乘積的２倍，可簡記為“首平方，尾平方，積的２倍在中央?！? ② 公式中的ａ、ｂ可以是單項式，也可以是多項式。 （４）幾何意義： （５）推廣： 　?、伲ǎ幔猓悖剑幔猓悖玻幔猓玻猓悖玻悖幔? 　?、冢ǎ幔猓剑幔猓常幔猓常幔?； ③（ａ－ｂ）＝ａ－ｂ－３ａｂ＋３ａｂ。 十一、單項式與單項式相除： 單項式與單項式相除的法則： 單項式與單項式相除，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除，作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式。

47、 注意：（１）兩個單項式相除，只要將系數(shù)及同底數(shù)冪分別相除即可。 （２）只在被除式里含有的字母不不要漏掉。 十二、多項式與單項式相除： 多項式與單項式相除的法則： 　　 一般地，多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加，即（ｍａ＋ｍｂ＋ｍｃ＋ｄｍ）ｍ＝ａｍｍ＋ｂｍｍ＋ｃｍｍ＋ｄｍｍ。 　注意：這個法則的使用范圍必須是多項式除以單項式，反之，單項式除以多項式是不能這樣計算的。 十三、整式的混合運算： 　　 關鍵是注意運算順序，先乘方，在乘除，后加減，有括號時，先去小括號，再去中括號，最后去大括號，先做括號里的。

48、十四、因式分解的意義： 　　 把一個多項式化為幾個整式積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解，也叫做把這個多項式分解因式，即多項式化為幾個整式的積。 注意：（１）因式分解的要求： 　 ①結果一定是積的形式，分解的對象是多項式； 　 ②每個因式必須是整式； 　 ③各因式要分解到不能分解為止。 （２）因式分解與整式乘法的關系： 　　 是兩種不同的變形過程，即互逆關系。 十五、因式分解的方法： １、提公因式法分解因式： ｍａ＋ｍｂ＋ｍｃ＝ｍ（ａ＋ｂ＋ｃ），這個變形就是提公因式法分解因式。 這里的ｍ可以代表單項式，也可以代表多項式，ｍ稱為公

49、因式。 確定公因式方法： 系數(shù)：取多項式各項系數(shù)的最大公約數(shù)。 字母（或多項式因式）：取各項都含有的字母（或多項式因式）的最低次冪。 ２、利用公式法分解因式： ① 平方差公式：ａ－ｂ＝（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）。 ② 完全平方公式：ａ＋ｂ＋２ａｂ＝（ａ＋ｂ）； 　　　　　　　　　 ?。幔猓玻幔猓剑ǎ幔猓?。 ③ 立方和與立方差公式：ａ＋ｂ＝（ａ＋ｂ）（ａ－ａｂ＋ｂ）； 　　　　　　　　　　　　　 ａ－ｂ＝（ａ－ｂ）（ａ＋ａｂ＋ｂ）。 注意：（１）公式中的字母ａ、ｂ可代表一個數(shù)、一個單項式或一個多項式。 （２）選擇使用公式的方法：主要從項數(shù)上看，若多項式是二項式應考慮平方

50、差或立方和、立方差公式；若多項式是三項式，可考慮用完全平方公式。 ３、分組分解法： ①將多項式的項適當?shù)姆纸M后，組與組之間能提公因式或運用公式分解。 ②適用范圍：適合四項以上的多項式的分解。 分組的標準為：分組后能提公因式或分組后能運用公式。 ４、其他方法： ①十字相乘法：ｘ＋（ａ＋ｂ）ｘ＋ａｂ＝（ｘ＋ａ）（ｘ＋ｂ）。 ②求根公式法：若ａｘ＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０）的兩根是ｘ１、ｘ２，ａｘ＋ｂｘ＋ｃ＝ａ （ｘ－ｘ１）（ｘ－ｘ２）。 十六、因式分解的一般步驟及注意問題： １、對多項式各項有公因式時，應先提供因式。 ２、多項式各項沒有公因式時，如果是二項式就考慮是否符合平方差公式；如果是三項式就考慮是否符合完全平方公式或二次三項式的因式分解；如果是四項或四項以上的多項式，通常采用分組分解法。 分解因式，必須進行到每一個多項式都不能再分解為止。 十七、添括號法則： 　　 添括號時，如果括號前面是正號，括到括號里的各項都不變符號；如果括號前面是負號，括到括號里的各項都改變符號。 京翰教育1對1家教