《中考（數(shù)學(xué)）分類四 與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的探究題（含答案）-歷年真題?？?、重難點(diǎn)題型講練》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《中考（數(shù)學(xué)）分類四 與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的探究題（含答案）-歷年真題?？?、重難點(diǎn)題型講練（17頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、數(shù)學(xué)專題 精心整理初中數(shù)學(xué)中考備課必備類型四類型四 與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的探究題與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的探究題【典例 1】 如圖 1， 在ABC中，90 ,21AABAC ， 點(diǎn) D， E 分別在邊,AB AC上，且1ADAE，連接DE現(xiàn)將ADE繞點(diǎn) A 順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為0360，如圖 2，連接,CE BD CD（1）當(dāng)0180時(shí)，求證：CEBD；（2）如圖 3，當(dāng)90時(shí)，延長CE交BD于點(diǎn)F，求證：CF垂直平分BD；（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，求BCD的面積的最大值，并寫出此時(shí)旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)【答案【答案】 （1）證明見解析； （2）證明見解析； （3）BCD的面積的最大值為3 252，旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為135【解析】【

2、分析】（1）利用 “SAS”證得ACEABD 即可得到結(jié)論；（2）利用 “SAS”證得ACEABD，推出ACE=ABD，計(jì)算得出 AD=BC=22，利用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（3）觀察圖形，當(dāng)點(diǎn) D 在線段 BC 的垂直平分線上時(shí)，BCD的面積取得最大值，利用等腰直角三角形的性質(zhì)結(jié)合三角形面積公式即可求解【詳解】（1）根據(jù)題意：AB=AC，AD=AE，CAB=EAD=90，CAE+BAE =BAD+BAE =90，CAE=BAD，數(shù)學(xué)專題 精心整理初中數(shù)學(xué)中考備課必備在ACE 和ABD 中，ACABCAEBADAEAD ，ACEABD(SAS)，CE=BD；（2）根據(jù)題意：

3、AB=AC，AD=AE，CAB=EAD=90，在ACE 和ABD 中，ACABCAEBADAEAD ，ACEABD(SAS)，ACE=ABD，ACE+AEC=90，且AEC=FEB，ABD+FEB=90，EFB=90，CFBD，AB=AC=21，AD=AE=1，CAB=EAD=90，BC=2AB =22，CD= AC+ AD=22，BC= CD，CFBD，CF 是線段 BD 的垂直平分線；（3）BCD中，邊 BC 的長是定值，則 BC 邊上的高取最大值時(shí)BCD的面積有最大值，當(dāng)點(diǎn) D 在線段 BC 的垂直平分線上時(shí)，BCD的面積取得最大值，如圖：AB=AC=21，AD=AE=1，CAB=EAD

4、=90，DGBC 于 G，數(shù)學(xué)專題 精心整理初中數(shù)學(xué)中考備課必備AG=12BC=222，GAB=45，DG=AG+AD=2224122 ，DAB=180-45=135，BCD的面積的最大值為：11243 25222222BC DG，旋轉(zhuǎn)角135【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題【典例 2】如圖，在 RtABC中，ACB90，A30，點(diǎn)O為AB中點(diǎn)，點(diǎn)P為直線BC上的動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B、點(diǎn)C重合)，連接OC、OP，將線段OP繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60，得到線段PQ，連接BQ.(1)如

5、圖，當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，請直接寫出線段BQ與CP的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖，當(dāng)點(diǎn)P在CB延長線上時(shí)，(1)中結(jié)論是否成立？若成立，請加以證明；若不成立，請說明理由；(3)如圖，當(dāng)點(diǎn)P在BC延長線上時(shí)，若BPO45，AC 6，請直接寫出BQ的長【答案】解：(1)CPBQ;【解法提示】如解圖，連接OQ，數(shù)學(xué)專題 精心整理初中數(shù)學(xué)中考備課必備由旋轉(zhuǎn)可知，PQOP，OPQ60，POQ是等邊三角形，OPOQ，POQ60，在 RtABC中，O是AB中點(diǎn)，OCOAOB，BOC2A60POQ，COPBOQ，在COP和BOQ中，OCOBCOPBOQ，OPOQCOPBOQ(SAS)，CPBQ；(2)成立，理由如下：

6、如解圖，連接OQ，圖由旋轉(zhuǎn)知PQOP，OPQ60，POQ是等邊三角形，OPOQ，POQ60，在 RtABC中，O是AB中點(diǎn)，OCOAOB，BOC2A60POQ，COPBOQ，數(shù)學(xué)專題 精心整理初中數(shù)學(xué)中考備課必備在COP和BOQ中，OCOBCOPBOQ，OPOQCOPBOQ(SAS)，CPBQ；(3)BQ6 22.【解法提示】在 RtABC中，A30，AC 6，BCACtanA 2，如解圖，過點(diǎn)O作OHBC于點(diǎn)H，OHB90BCA，OHAC，O是AB中點(diǎn)，CH12BC22，OH12AC62，BPO45，OHP90，BPOPOH，PHOH62，CPPHCH62226 22，連接OQ，同(1)的方

7、法得，BQCP6 22.【典例 3】在 RtABC 中,BAC=90,B=30,線段 AD 是 BC 邊上的中線,如圖 1,將ADC沿直線 BC 平移,使點(diǎn) D 與點(diǎn) C 重合,得到FCE,如圖 2,再將FCE 繞點(diǎn) C 順時(shí)針旋轉(zhuǎn),設(shè)旋轉(zhuǎn)角為(090),連接 AF,DE(1)在旋轉(zhuǎn)過程中,當(dāng)ACE=150時(shí),求旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)；數(shù)學(xué)專題 精心整理初中數(shù)學(xué)中考備課必備(2)探究旋轉(zhuǎn)過程中四邊形 ADEF 能形成哪些特殊四邊形？請說明理由【解析【解析】(1)由題意分析可知此問需分兩種情況討論：點(diǎn) E 和點(diǎn) D 在直線 AC 兩側(cè)；點(diǎn) E和點(diǎn) D 在直線 AC 同側(cè)；(2)在旋轉(zhuǎn)過程中,總是存在 AC

8、=CE,DC=CE.由圖形的對稱性可知,將會(huì)出現(xiàn)兩種對角線相等的特殊四邊形：等腰梯形和矩形.抓住平移和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),較易證明【答案【答案】 ：(1)在圖 1 中,BAC=90,B=30,ACE=BAC+B=120如圖 2,當(dāng)點(diǎn)E 和點(diǎn) D 在直線AC 兩側(cè)時(shí),由于ACE=150,=150-120=30.當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn) D 在直線 AC 同側(cè)時(shí),由于ACB=180-BAC-B=60,DCE=ACE-ACB=150-60=90.=180-DCE=90.旋轉(zhuǎn)角為 30或 90;(2)四邊形 ADEF 能形成等腰梯形和矩形BAC=90,B=30,AC=21BC又AD 是 BC 邊上的中線,AD=DC=21B

9、C=AC.ADC 為正三角形當(dāng)=60時(shí),如圖 3,ACE=120+60=180.CA=CE=CD=CF,四邊形 ADEF 為矩形當(dāng)60時(shí),ACF120,DCE=360-60-60-ACF120顯然 DEAFAC=CF,CD=CE,2FAC+ACF=2CDE+DCE=180.ACF+DCE=360-60-60=240,FAC+CDE=60.DAF+ADE=120+60=180.AFDE又DEAF,AD=EF,四邊形 ADEF 為等腰梯形【典例 4】已知正方形 ABCD 中，E 為對角線 BD 上一點(diǎn)，過 E 點(diǎn)作 EFBD 交 BC 于 F，連接DF，G 為 DF 中點(diǎn)，連接 EG，CG（1）直

10、接寫出線段 EG 與 CG 的數(shù)量關(guān)系；（2）將圖 1 中BEF 繞 B 點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 45，如圖 2 所示，取 DF 中點(diǎn) G，連接 EG，CG你在（1）中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化？寫出你的猜想并加以證明（3）將圖 1 中BEF 繞 B 點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖 3 所示，再連接相應(yīng)的線段，問（1）中的數(shù)學(xué)專題 精心整理初中數(shù)學(xué)中考備課必備結(jié)論是否仍然成立？（不要求證明）【答案】解： （1）CG=EG（2） （1）中結(jié)論沒有發(fā)生變化，即 EG=CG證明：連接 AG，過 G 點(diǎn)作 MNAD 于 M，與 EF 的延長線交于 N 點(diǎn)在DAG 與DCG 中， AD=CD，ADG=CDG，DG=DG， DA

11、GDCG AG=CG在DMG 與FNG 中， DGM=FGN，F(xiàn)G=DG，MDG=NFG， DMGFNG MG=NG在矩形 AENM 中，AM=EN在 RtAMG 與 RtENG 中， AM=EN， MG=NG， AMGENG AG=EG EG=CG（3） （1）中的結(jié)論仍然成立【典例 5】如圖 1，已知ABC=90，ABE 是等邊三角形，點(diǎn) P 為射線 BC 上任意一點(diǎn)（點(diǎn)P 與點(diǎn) B 不重合） ，連結(jié) AP，將線段 AP 繞點(diǎn) A 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60得到線段 AQ，連結(jié)QE 并延長交射線 BC 于點(diǎn) F.（1）如圖 2，當(dāng) BP=BA 時(shí)，EBF=，猜想QFC=；（2）如圖 1，當(dāng)點(diǎn) P 為

12、射線 BC 上任意一點(diǎn)時(shí)，猜想QFC 的度數(shù)，并加以證明；FBADCEG圖 1FBADCEG圖 2FBACE圖 3DFBADCEGMNN圖 2FBADCE圖3G數(shù)學(xué)專題 精心整理初中數(shù)學(xué)中考備課必備（3）已知線段 AB=32，設(shè) BP=x，點(diǎn) Q 到射線 BC 的距離為 y，求 y 關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式【答案】解: （1）EBF30QFC=60（2）QFC=60不妨設(shè) BP3AB, 如圖 1 所示BAP=BAE+EAP=60+EAPEAQ=QAP+EAP=60+EAPBAP=EAQ在ABP 和AEQ 中AB=AE，BAP=EAQ， AP=AQABPAEQ（SAS） AEQ=ABP=90分BEF1

13、80180906030AEQAEB QFC=EBFBEF3030 60(事實(shí)上當(dāng) BP3AB時(shí)，如圖 2 情形，不失一般性結(jié)論仍然成立，不分類討論不扣分）(3)在圖 1 中，過點(diǎn) F 作 FGBE 于點(diǎn) GABE 是等邊三角形BE=AB=32，由（1）得EBF30在 RtBGF 中，32BEBG BF=2cos30BGEF=2ABPAEQQE=BP=xQF=QEEF2x過點(diǎn) Q 作 QHBC，垂足為 H在 RtQHF 中，3sin60(2)2yQHQFx（x0）即 y 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式是：332yx【典例 6】將正方形ABCD的邊AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AB，記旋轉(zhuǎn)角為，連接BB，圖 2A

14、BEQPFC圖1ACBEQFP數(shù)學(xué)專題 精心整理初中數(shù)學(xué)中考備課必備過點(diǎn)D作DE垂直于直線BB，垂足為點(diǎn)E，連接DB，CE（1）如圖 1，當(dāng)60時(shí)，DEB的形狀為，連接BD，可求出的值為；（2）當(dāng) 0360且90時(shí)，（1）中的兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請僅就圖 2 的情形進(jìn)行證明；如果不成立，請說明理由；當(dāng)以點(diǎn)B，E，C，D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，請直接寫出的值【分析】 （1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出ABAB，BAB60，證得ABB是等邊三角形，可得出DEB是等腰直角三角形證明BDBCDE，得出（2）得出EDBEBD45，則DEB是等腰直角三角形，得出，證明BDBEDC，由相似三角形的性質(zhì)

15、可得出分兩種情況畫出圖形，由平行四邊形的性質(zhì)可得出答案【解答】解： （1）AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AB，ABAB，BAB60，ABB是等邊三角形，BBA60，DABBADBAB906030，ABABAD，ABDADB，ABD75，DBE180607545，DEBE，BDE904545，數(shù)學(xué)專題 精心整理初中數(shù)學(xué)中考備課必備DEB是等腰直角三角形四邊形ABCD是正方形，BDC45，同理，BDB+BDC45，EDC+BDC45，BDBEDC，BDBCDE，故答案為：等腰直角三角形，（2）兩結(jié)論仍然成立證明：連接BD，ABAB，BAB，ABB90，BAD90，ADAB，ABD135，EBDABDABB

16、13545，DEBB，EDBEBD45，DEB是等腰直角三角形，數(shù)學(xué)專題 精心整理初中數(shù)學(xué)中考備課必備，四邊形ABCD是正方形，BDC45，EDBBDC，EDB+EDBBDC+EDB，即BDBEDC，BDBEDC，3 或 1若CD為平行四邊形的對角線，點(diǎn)B在以A為圓心，AB為半徑的圓上，取CD的中點(diǎn)連接BO交A于點(diǎn)B，過點(diǎn)D作DEBB交BB的延長線于點(diǎn)E，由（1）可知BED是等腰直角三角形，BDBE，由（2）可知BDBCDE，且BBCE+1+1+1+13若CD為平行四邊形的一邊，如圖 3，數(shù)學(xué)專題 精心整理初中數(shù)學(xué)中考備課必備點(diǎn)E與點(diǎn)A重合，1綜合以上可得3 或 1【點(diǎn)評】本題是四邊形綜合題，

17、考查了正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵【典例 7】如圖 1，已知ABCEBD，90ACBEDB，點(diǎn) D 在AB上，連接CD并延長交AE于點(diǎn) F（1）猜想：線段AF與EF的數(shù)量關(guān)系為_；（2）探究：若將圖 1 的EBD繞點(diǎn) B 順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)CBE小于180時(shí)，得到圖 2，連接CD并延長交AE于點(diǎn) F，則（1）中的結(jié)論是否還成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；（3）拓展：圖 1 中，過點(diǎn) E 作EGCB，垂足為點(diǎn) G當(dāng)ABC的大小發(fā)生變化，其它條件不變時(shí)，若EBGBA

18、E ，6BC ，直接寫出AB的長【答案】(1)AF=EF；(2)成立，理由見解析；(3)12【解析】數(shù)學(xué)專題 精心整理初中數(shù)學(xué)中考備課必備【分析】(1) 延長 DF 到 G 點(diǎn)，并使 FG=DC，連接 GE，證明ACFEDG，進(jìn)而得到GEF 為等腰三角形，即可證明 AF=GE=EF；(2)證明原理同(1)，延長 DF 到 G 點(diǎn)，并使 FG=DC，連接 GE，證明ACFEDG，進(jìn)而得到GEF 為等腰三角形，即可證明 AF=GE=EF；(3)補(bǔ)充完整圖后證明四邊形 AEGC 為矩形，進(jìn)而得到ABC=ABE=EBG=60即可求解【詳解】解：(1)延長 DF 到 G 點(diǎn)，并使 FG=DC，連接 GE

19、，如下圖所示ABCEBD，DE=AC，BD=BC，CDB=DCB，且CDB=ADF，ADF=DCB，ACB=90，ACD+DCB=90，EDB=90，ADF+FDE=90，ACD=FDE，又延長 DF 使得 FG=DC，F(xiàn)G+DF=DC+DF，DG=CF，數(shù)學(xué)專題 精心整理初中數(shù)學(xué)中考備課必備在ACF 和EDG 中，ACEDACFEDGCFDG ，ACFEDG(SAS)，GE=AF，G=AFC，又AFC=GFE，G=GFEGE=EFAF=EF，故 AF 與 EF 的數(shù)量關(guān)系為：AF=EF.故答案為：AF=EF；(2)仍舊成立，理由如下：延長 DF 到 G 點(diǎn)，并使 FG=DC，連接 GE，如下

20、圖所示設(shè) BD 延長線 DM 交 AE 于 M 點(diǎn)，ABCEBD，DE=AC，BD=BC，CDB=DCB，且CDB=MDF，MDF=DCB，數(shù)學(xué)專題 精心整理初中數(shù)學(xué)中考備課必備ACB=90，ACD+DCB=90，EDB=90，MDF+FDE=90，ACD=FDE，又延長 DF 使得 FG=DC，F(xiàn)G+DF=DC+DF，DG=CF，在ACF 和EDG 中，ACEDACFEDGCFDG ，ACFEDG(SAS)，GE=AF，G=AFC，又AFC=GFE，G=GFEGE=EF，AF=EF，故 AF 與 EF 的數(shù)量關(guān)系為：AF=EF.故答案為：AF=EF；(3)如下圖所示：數(shù)學(xué)專題 精心整理初中數(shù)

21、學(xué)中考備課必備BA=BE，BAE=BEA，BAE=EBG,BEA=EBG，AE/CG，AEG+G=180，AEG=90，ACG=G=AEG=90，四邊形 AEGC 為矩形，AC=EG，且 AB=BE，RtACBRtEGB(HL)，BG=BC=6，ABC=EBG，又ED=AC=EG，且 EB=EB，RtEDBRtEGB(HL)，DB=GB=6，EBG=ABE，ABC=ABE=EBG=60，BAC=30，在 RtABC 中由 30所對的直角邊等于斜邊的一半可知：212ABBC故答案為：12數(shù)學(xué)專題 精心整理初中數(shù)學(xué)中考備課必備【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形的綜合題，考查了三角形全等的性質(zhì)和判定，矩形的性質(zhì)和判定，本題的關(guān)鍵是延長 DF 到 G 點(diǎn)并使 FG=DC，進(jìn)而構(gòu)造全等，本題難度稍大，需要作出合適的輔助線