《中考（數(shù)學）分類一 非動態(tài)探究題（含答案）-歷年真題常考、重難點題型講練》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《中考（數(shù)學）分類一 非動態(tài)探究題（含答案）-歷年真題常考、重難點題型講練（17頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、數(shù)學專題 精心整理 類型一 非動態(tài)探究題 【典例1】綜合與實踐 問題情境： 如圖①，點為正方形內一點，，將繞點按順時針方向旋轉，得到（點的對應點為點），延長交于點，連接． 猜想證明： （1）試判斷四邊形的形狀，并說明理由； （2）如圖②，若，請猜想線段與的數(shù)量關系并加以證明； 解決問題： （3）如圖①，若，，請直接寫出的長． 【答案】（1）四邊形是正方形，理由詳見解析；（2），證明詳見解析；（3）． 【解析】 【分析】 （1）由旋轉可知：，,再說明可得四邊形是矩形，再結合即可證明； （2）過點作，垂足為，先根據等腰三角形的性質得到，再證可得，再結合、即可解答；

2、 （3）過E作EG⊥AD，先說明∠1=∠2，再設EF=x、則BE=FE＇=EF=BE＇=x、CE＇=AE=3+x，再在Rt△AEB中運用勾股定理求得x，進一步求得BE和AE的長，然后運用三角函數(shù)和線段的和差求得DG和EG的長，最后在Rt△DEG中運用勾股定理解答即可． 【詳解】 解：（1）四邊形是正方形 理由：由旋轉可知：，， 又， 四邊形是矩形． ∵． 四邊形是正方形； （2）． 證明：如圖，過點作，垂足為， 則， ． 四邊形是正方形， ，． ， ． ． ∵， ； 【典例2】數(shù)學課上，李老師出示了這樣一道題目：如圖，正方形的邊

3、長為，P為邊延長線上的一點，E為DP的中點，DP的垂直平分線交邊DC于M，交邊AB的延長線于N.當CP=6時，EM與EN的比值是多少？ 經過思考，小明展示了一種正確的解題思路：過E作直線平行于BC交DC，分別于F，G，如圖，則可得：，因為，所以.可求出和的值，進而可求得EM與EN的比值. (1) 請按照小明的思路寫出求解過程. (2) 小東又對此題作了進一步探究，得出了的結論.你認為小東的這個結論正確嗎？如果正確，請給予證明；如果不正確，請說明理由. 【答案】 （1）解：過作直線平行于交，分別于點，， 則，，. ∵，∴. ∴，. ∴. （2）證明

4、：作∥交于點， 則，. ∵， ∴. ∵，， ∴.∴. ∴. 【典例3】已知：在△AOB與△COD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=90°． （1）如圖1，點C、D分別在邊OA、OB上，連結AD、BC，點M為線段BC的中點，連結OM，則線段AD與OM之間的數(shù)量關系是　 　，位置關系是　 ?。? （2）如圖2，將圖1中的△COD繞點O逆時針旋轉，旋轉角為α（0°＜α＜90°）．連結AD、BC，點M為線段BC的中點，連結OM．請你判斷（1）中的兩個結論是否仍然

5、成立．若成立，請證明；若不成立，請說明理由； （3）如圖3，將圖1中的△COD繞點O逆時針旋轉到使△COD的一邊OD恰好與△AOB的邊OA在同一條直線上時，點C落在OB上，點M為線段BC的中點．請你判斷（1）中線段AD與OM之間的數(shù)量關系是否發(fā)生變化，寫出你的猜想，并加以證明． 【思路點撥】 （1）AD與OM之間的數(shù)量關系為AD=2OM，位置關系是AD⊥OM； （2）（1）中的兩個結論仍然成立，利用中位線定理得到FC=2OM，利用SAS得到三角形AOD與三角形FOC全等，利用全等三角形的對應邊相等得到FC=AD，等量代換得到AD=2OM；由OM為三角形BCF的中位線，利用中位線定理得到

6、OM與CF平行，利用兩直線平行同位角相等得到∠BOM=∠F，由全等三角形的對應角相等得到∠F=∠OAD，等量代換得到∠BOM=∠OAD，根據∠BOM與∠AOM互余，得到∠OAD與∠AOM互余，即可確定出OM與AD垂直，得證； （3）（1）中線段AD與OM之間的數(shù)量關系沒有發(fā)生變化，理由為：如圖3所示，延長DC交AB于E，連結ME，過點E作EN⊥AD于N，由三角形COD與三角形AOB都為等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性質得到四個角為45度，進而得到三角形MCE與三角形AED為等腰直角三角形，根據EN為直角三角形ADE斜邊上的中線得到AD=2EN，再利用三個角為直角的四邊形為矩形得到四邊形

7、OMEN為矩形，可得出EN=OM，等量代換得到AD=2OM． 【答案與解析】 解：（1）線段AD與OM之間的數(shù)量關系是AD=2OM，位置關系是AD⊥OM； （2）（1）的兩個結論仍然成立，理由為： 證明：如圖2，延長BO到F，使FO=BO，連結CF， ∵M為BC中點，O為BF中點， ∴MO為△BCF的中位線， ∴FC=2OM， ∵∠AOB=∠AOF=∠COD=90°， ∴∠AOB+∠BOD=∠AOF+∠AOC，即∠AOD=∠FOC， 在△AOD和△FOC中， ， ∴△AOD≌△FOC（SAS）， ∴FC=AD， ∴AD=2O

8、M， ∵MO為△BCF的中位線， ∴MO∥CF， ∴∠MOB=∠F， 又∵△AOD≌△FOC， ∴∠DAO=∠F， ∵∠MOB+∠AOM=90°， ∴∠DAO+∠AOM=90°，即AD⊥OM； （3）（1）中線段AD與OM之間的數(shù)量關系沒有發(fā)生變化，理由為： 證明：如圖3，延長DC交AB于E，連結ME，過點E作EN⊥AD于N， ∵OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=90°， ∴∠A=∠D=∠B=∠BCE=∠DCO=45°， ∴AE=DE，BE=CE，∠AED=90°， ∴DN=AN， ∴AD=2NE， ∵M

9、為BC的中點， ∴EM⊥BC， ∴四邊形ONEM是矩形． ∴NE=OM， ∴AD=2OM． 故答案為：AD=2OM；AD⊥OM． （3）如圖：過E作EG⊥AD ∴GE//AB ∴∠1=∠2 設EF=x，則BE=FE＇=EF=BE＇=x，CE＇=AE=3+x 在Rt△AEB中，BE=x，AE=x+3，AB=15 ∴AB2=BE2+AE2，即152=x2+（x+3）2，解得x=-12（舍），x=9 ∴BE=9,AE=12 ∴sin∠1= ,cos∠1= ∴sin∠2= ,cos∠2= ∴AG=7.2,GE=9.6 ∴DG=15-7.2=7.8 ∴DE=．

10、 【點睛】 本題考查了正方形的性質、旋轉變換、勾股定理、解三角形等知識，綜合應用所學知識是解答本題的關鍵． 【典例4】正方形ABCD中，將一個直角三角板的直角頂點與點A重合，一條直角邊與邊BC交于點E（點E不與點B和點C重合），另一條直角邊與邊CD的延長線交于點F． （1）如圖①，求證：AE=AF； （2）如圖②，此直角三角板有一個角是45°，它的斜邊MN與邊CD交于G，且點G是斜邊MN的中點，連接EG，求證：EG=BE+DG； （3）在（2）的條件下，如果=，那么點G是否一定是邊CD的中點？請說明你的理由． 【答案與解析】 解：（1）如圖①，∵四邊形AB

11、CD是正方形， ∴∠B=∠BAD=∠ADC=∠C=90°，AB=AD． ∵∠EAF=90°， ∴∠EAF=∠BAD， ∴∠EAF﹣∠EAD=∠BAD﹣∠EAD， ∴∠BAE=∠DAF． 在△ABE和△ADF中 ， ∴△ABE≌△ADF（ASA） ∴AE=AF； （2）如圖②，連接AG， ∵∠MAN=90°，∠M=45°， ∴∠N=∠M=45°， ∴AM=AN． ∵點G是斜邊MN的中點， ∴∠EAG=∠NAG=45°． ∴∠EAB+∠DAG=45°． ∵△ABE≌△ADF， ∴∠BAE=∠D

12、AF，AE=AF， ∴∠DAF+∠DAG=45°， 即∠GAF=45°， ∴∠EAG=∠FAG． 在△AGE和AGF中， ， ∴△AGE≌AGF（SAS）， ∴EG=GF． ∵GF=GD+DF， ∴GF=GD+BE， ∴EG=BE+DG； （3）G不一定是邊CD的中點． 理由：設AB=6k，GF=5k，BE=x， ∴CE=6k﹣x，EG=5k，CF=CD+DF=6k+x， ∴CG=CF﹣GF=k+x， 在Rt△ECG中，由勾股定理，得 （6k﹣x）2+（k+x）2=（5k）2， 解得：x1=2k，x2=3k， ∴CG=4k或3k． ∴點

13、G不一定是邊CD的中點． 【典例4】已知，點D為直線BC上一動點（點D不與點B、C重合），∠BAC=90°，AB=AC，∠DAE=90°，AD=AE，連接CE． （l）如圖1，當點D在線段BC上時，求證：①BD⊥CE，②CE=BC﹣CD； （2）如圖2，當點D在線段BC的延長線上時，其他條件不變，請直接寫出CE、BC、CD三條線段之間的關系； （3）如圖3，當點O在線段BC的反向延長線上時，且點A、E分別在直線BC的兩側，點F是DE的中點，連接AF、CF，其他條件不變，請判斷△ACF的形狀，并說明理由． 【答案與解析】 （1）證明：如圖1中，∵∠BAC=∠D

14、AE=90°， ∴∠BAD=∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE， ∴∠ABD=∠ACE=45°，BD=CE， ∴∠ACB+∠ACE=90° ∴∠ECB=90°， ∴BD⊥CE，CE=BC﹣CD． （2）如圖2中，結論：CE=BC+CD，理由如下： ∵∠BAC=∠DAE=90°， ∴∠BAD=∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE， ∴BD=CE， ∴CE=BC+CD． （3）如圖3中，結論：△ACF是等腰三角形．理由如下： ∵∠BAC=∠DAE=90

15、6;， ∴∠BAD=∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ∴△ABD≌△ACE， ∴∠ABD=∠ACE， ∵∠ABC=∠ACB=45°， ∴∠ACE=∠ABD=135°， ∴∠DCE=90°， 又∵點F是DE中點， ∴AF=CF=DE， ∴△ACF是等腰三角形． 【典例5】如圖(a)、(b)、(c)，在△ABC中，分別以AB，AC為邊，向△ABC外作正三角形、正四邊形、正五邊形，BE，CD相交于點O． (1)①如圖(a)，求證：△ADC≌△ABE； ②探究： 圖(a)中，∠BOC＝________； 圖(b)中，∠

16、BOC＝________； 圖(c)中，∠BOC＝________； (2)如圖(d)，已知：AB，AD是以AB為邊向△ABC外所作正n邊形的一組鄰邊；AC，AE是以AC為邊向△ABC外所作正n邊形的一組鄰邊．BE，CD的延長相交于點O． ①猜想：圖(d)中，∠BOC＝________________；(用含n的式子表示) ②根據圖(d)證明你的猜想． 【答案與解析】 (1)證法一： ∵△ABD與△ACE均為等邊三角形， ∴AD＝AB，AC＝AE，且∠BAD＝∠CAE＝60°． ∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC， 即∠DAC＝∠BAE． ∴△ADC

17、≌△ABE． 證法二：∵△ABD與△ACE均為等邊三角形， ∴AD＝AB，AC＝AE， 且∠BAD＝∠CAE＝60°． ∴△ADC可由△ABE繞著點A按順時針方向旋轉60°得到． ∴△ABE≌△ADC． ②120°，90°，72°． (2)①． ②證法一：依題意，知∠BAD和∠CAE都是正n邊形的內角，AB＝AD，AE＝AC， ∴∠BAD＝∠CAE＝． ∴∠BAD－∠DAE＝∠CAE－∠DAE， 即∠BAE＝∠DAC． ∴△ABE≌△ADC． ∴∠ABE＝∠ADC． ∵∠ADC+∠ODA＝180°，

18、∴∠ABO+∠ODA＝180°． ∴∠ABO+∠ODA+∠DAB+∠BOC＝360°． ∴∠BOC+∠DAB＝180°． ∴∠BOC＝180°－∠DAB＝． 證法二：延長BA交CO于F，證∠BOC＝∠DAF＝180°-∠BAD． 證法三：連接CE．證∠BOC＝180°－∠CAE． 【典例6】如圖(a)，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°， AD＝9，BC＝12，AB＝a，在線段BC上任取一點P(P不與B，C重合)，連接DP，作射線．PE⊥DP，PE與直線AB交于點E． (1)試確定CP＝3

19、時，點E的位置； (2)若設CP＝x(x＞0)，BE＝y(tǒng)(y＞0)，試寫出y關于自變量x的函數(shù)關系式； (3)若在線段BC上能找到不同的兩點P1，P2，使按上述作法得到的點E都與點A重合，試求出此時a的取值范圍． 【答案與解析】 解：(1)作DF⊥BC，F(xiàn)為垂足． 當CP＝3時，四邊形ADFB是矩形，則CF＝3． ∴點P與點F重合． 又∵BF⊥FD， ∴此時點E與點B重合． (2)(i)當點P在BF上(不與B，F(xiàn)重合)時，(見圖(a)) ∵∠EPB+∠DPF＝90°，∠EPB+∠PEB＝90°， ∴∠DPF＝∠

20、PEB． ∴Rt△PEB∽△ARt△DPF． ∴． ① 又∵ BE＝y(tǒng)，BP＝12-x，F(xiàn)P＝x-3，F(xiàn)D＝a，代入①式，得 ∴，整理， 得 ② (ii)當點P在CF上（不與C，F(xiàn)重合）時，（見上圖(b))同理可求得． 由FP＝3-x得． ∴ (3)解法一：當點E與A重合時，y＝EB＝a，此時點P在線段BF上． 由②式得． 整理得． ③ ∵在線段BC上能找到兩個不同的點P1與P2滿足條件， ∴方程③有兩個不相等的正實根． ∴△＝(-15)2－4×(36+a2)＞0． 解得． 又∵a＞0， ∴．

21、 解法二：當點E與A重合時， ∵∠APD＝90°， ∴點P在以AD為直徑的圓上．設圓心為M，則M為AD的中點． ∵在線段BC上能找到兩個不同的點P1與P2滿足條件， ∴線段BC與⊙M相交．即圓心M到BC的距離d滿足． ④ 又∵AD∥BC， ∴d＝a． ∴由④式得． 【典例7】點A，B分別是兩條平行線m，n上任意兩點，在直線n上找一點C，使BC＝k·AB．連接AC，在直線AC上任取一點E，作∠BEF＝∠ABC，EF交直線m于點F． (1)如圖(a)，當k＝1時，探究線段EF與EB的關系，并加以說明； 說明： ①如果你經過反復探索沒

22、有解決問題，請寫出探索過程(要求至少寫三步)； ②在完成①之后，可以自己添加條件(添加的條件限定為∠ABC為特殊角)，在圖(b)中補全圖形，完成證明． (2)如圖(c)，若∠ABC＝90°，k≠l，探究線段EF與EB的關系，并說明理由． 【答案與解析】 解：(1)EF＝EB． 證明：如圖(d)，以E為圓心，EA為半徑畫弧交直線m于點M，連接EM． ∴EM＝EA，∴∠EMA＝∠EAM． ∵BC＝k·AB，k＝1， ∴BC＝AB． ∴∠CAB＝∠ACB． ∵m∥n，∴∠MAC＝∠ACB，∠FAB＝∠ABC． ∴∠MAC＝∠CAB． ∴

23、∠CAB＝∠EMA． ∵∠BEF＝∠ABC， ∴∠BEF＝∠FAB． ∵∠AHF＝∠EHB， ∴∠AFE＝∠ABE． ∴△AEB≌△MEF． ∴EF＝EB． 探索思路：如上圖(a)，∵BC＝k·AB，k＝1， ∴BC＝AB． ∴∠CAB＝∠ACB． ∵m∥n，∴∠MAC＝∠ACB． 添加條件：∠ABC＝90°． 證明：如圖(e)，在直線m上截取AM＝AB，連接ME． ∵ BC＝k·AB，k＝1， ∴ BC＝AB． ∵ ∠ABC＝90°， ∴ ∠CAB＝∠ACB＝45°． ∵ m∥n

24、， ∴ ∠MAE＝∠ACB＝∠CAB＝45°，∠FAB＝90°． ∵ AE＝AE，∴△MAE∽△BAE． ∴ EM＝EB，∠AME＝∠ABE． ∵ ∠BEF＝∠ABC＝90°， ∴ ∠FAB+∠BEF＝180°． 又∵ ∠ABE+∠EFA＝180°， ∴ ∠EMF＝∠EFA． ∴ EM＝EF． ∴ EF＝EB． (2)EF＝EB． 說明：如圖(f)，過點E作EM⊥m，EN⊥AB，垂足為M，N． ∴ ∠EMF＝∠ENA＝∠ENB＝90°． ∵ m∥n，∠ABC＝90°， ∴ ∠MAB＝90°． ∴ 四邊形MENA為矩形． ∴ ME＝NA，∠MEN＝90°． ∵∠BEF＝∠ABC＝90°． ∴∠MEF＝∠NEB． ∴△MEF∽△NEB． ∴， ∴ 在Rt△ANE和Rt△ABC中， ， ∴． 初中數(shù)學中考備課必備