《中考（數(shù)學(xué)）分類十一 二次函數(shù)與正方形有關(guān)的問題（含答案）-歷年真題?？?、重難點題型講練》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《中考（數(shù)學(xué)）分類十一 二次函數(shù)與正方形有關(guān)的問題（含答案）-歷年真題?？肌⒅仉y點題型講練（13頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、數(shù)學(xué)專題 精心整理 類型十一 二次函數(shù)與正方形有關(guān)的問題 【典例1】如圖1．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸相交于兩點，頂點為，設(shè)點是軸的正半軸上一點，將拋物線繞點旋轉(zhuǎn)，得到新的拋物線． 求拋物線的函數(shù)表達(dá)式: 若拋物線與拋物線在軸的右側(cè)有兩個不同的公共點，求的取值范圍． 如圖2，是第一象限內(nèi)拋物線上一點，它到兩坐標(biāo)軸的距離相等，點在拋物線上的對應(yīng)點，設(shè)是上的動點，是上的動點，試探究四邊形能否成為正方形？若能，求出的值；若不能，請說明理由． 【答案】；；四邊形可以為正方形， 【解析】 解： 將三點代入得 解得 ； 如圖． 關(guān)于對稱的拋物

2、線為 當(dāng)過點時有 解得: 當(dāng)過點時有 解得: ； 四邊形可以為正方形 由題意設(shè)， 是拋物線第一象限上的點 解得:(舍去)即 如圖作，于， 于 四邊形為正方形 易證 為 將代入得 解得:(舍去) 當(dāng)時四邊形為正方形. 【典例2】如圖，已知拋物線y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過點A（l，0），B（﹣3，0），與y軸交于點C，拋物線的頂點為D，對稱軸與x軸相交于點E，連接BD． （1）求拋物線的解析式． （2）若點P在直線BD上，當(dāng)PE=PC時，求點P的坐標(biāo)． （3）在（2）的條件下，作PF⊥x軸于F，點M為x軸上一動點，N為直線PF上

3、一動點，G為拋物線上一動點，當(dāng)以點F，N，G，M四點為頂點的四邊形為正方形時，求點M的坐標(biāo)． 【解答】解：（1）∵拋物線y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過點A（1，0），B（﹣3，0）， ∴，∴，∴拋物線的解析式為y=x2+2x﹣3； （2）由（1）知，拋物線的解析式為y=x2+2x﹣3； ∴C（0，﹣3），拋物線的頂點D（﹣1，﹣4）， ∴E（﹣1，0）， 設(shè)直線BD的解析式為y=mx+n， ∴，∴，∴直線BD的解析式為y=﹣2x﹣6， 設(shè)點P（a，﹣2a﹣6）， ∵C（0，﹣3），E（﹣1，0）， 根據(jù)勾股定理得，PE2=（a+1）2+（﹣2a﹣6）2， PC2=a2+

4、（﹣2a﹣6+3）2， ∵PC=PE， ∴（a+1）2+（﹣2a﹣6）2=a2+（﹣2a﹣6+3）2， ∴a=﹣2，∴y=﹣2（﹣2）﹣6=﹣2， ∴P（﹣2，﹣2）， （3）如圖，作PF⊥x軸于F， ∴F（﹣2，0）， 設(shè)M（d，0）， ∴G（d，d2+2d﹣3），N（﹣2，d2+2d﹣3）， ∵以點F，N，G，M四點為頂點的四邊形為正方形，必有FM=MG， ∴|d+2|=|d2+2d﹣3|， ∴d=或d=， ∴點M的坐標(biāo)為（，0），（，0），（，0），（，0）． 【典例3】如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于點A和點B，與y軸交于點C，點B坐標(biāo)為（6，0），

5、點C坐標(biāo)為（0，6），點D是拋物線的頂點，過點D作x軸的垂線，垂足為E，連接BD． （1）求拋物線的解析式及點D的坐標(biāo)；（2）點F是拋物線上的動點，當(dāng)∠FBA=∠BDE時，求點F的坐標(biāo)；（3）若點M是拋物線上的動點，過點M作MN∥x軸與拋物線交于點N，點P在x軸上，點Q在坐標(biāo)平面內(nèi)，以線段MN為對角線作正方形MPNQ，請寫出點Q的坐標(biāo)． 【解答】解：（1）把B、C兩點坐標(biāo)代入拋物線解析式可得，解得， ∴拋物線解析式為y=﹣x2+2x+6， ∵y=﹣x2+2x+6=﹣（x﹣2）2+8，∴D（2，8）； （2）如圖1，過F作FG⊥x軸于點G， 設(shè)F（x，﹣x2+2x+6），則FG=

6、|﹣x2+2x+6|， ∵∠FBA=∠BDE，∠FGB=∠BED=90， ∴△FBG∽△BDE，∴=，∵B（6，0），D（2，8）， ∴E（2，0），BE=4，DE=8，OB=6，∴BG=6﹣x，∴=， 當(dāng)點F在x軸上方時，有=，解得x=﹣1或x=6（舍去），此時F點的坐標(biāo)為（﹣1，）； 當(dāng)點F在x軸下方時，有=﹣，解得x=﹣3或x=6（舍去），此時F點坐標(biāo)為（﹣3，﹣）； 綜上可知F點的坐標(biāo)為（﹣1，）或（﹣3，﹣）； （3）如圖2，設(shè)對角線MN、PQ交于點O′， ∵點M、N關(guān)于拋物線對稱軸對稱，且四邊形MPNQ為正方形， ∴點P為拋物線對稱軸與x軸的交點，點Q在拋物線的對

7、稱軸上， 設(shè)Q（2，2n），則M坐標(biāo)為（2﹣n，n）， ∵點M在拋物線y=﹣x2+2x+6的圖象上， ∴n=﹣（2﹣n）2+2（2﹣n）+6，解得n=﹣1+或n=﹣1﹣， ∴滿足條件的點Q有兩個，其坐標(biāo)分別為（2，﹣2+2）或（2，﹣2﹣2）． 【典例4】如圖，已知拋物線y=ax2+bx﹣3過點A（﹣1，0），B（3，0），點M、N為拋物線上的動點，過點M作MD∥y軸，交直線BC于點D，交x軸于點E．過點N作NF⊥x軸，垂足為點F （1）求二次函數(shù)y=ax2+bx﹣3的表達(dá)式； （2）若M點是拋物線上對稱軸右側(cè)的點，且四邊形MNFE為正方形，求該正方形的面積； （3）若M點是拋

8、物線上對稱軸左側(cè)的點，且∠DMN=90，MD=MN，請直接寫出點M的橫坐標(biāo)． 【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx﹣3， 得：，解得，故該拋物線解析式為：y=x2﹣2x﹣3； （2）由（1）知，拋物線解析式為：y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4， ∴該拋物線的對稱軸是x=1，頂點坐標(biāo)為（1，﹣4）． 如圖，設(shè)點M坐標(biāo)為（m，m2﹣2m﹣3），其中m＞1， ∴ME=|﹣m2+2m+3|， ∵M(jìn)、N關(guān)于x=1對稱，且點M在對稱軸右側(cè)， ∴點N的橫坐標(biāo)為2﹣m， ∴MN=2m﹣2， ∵四邊形MNFE為正方形， ∴ME=MN， ∴|﹣m2+

9、2m+3|=2m﹣2， 分兩種情況： ①當(dāng)﹣m2+2m+3=2m﹣2時，解得：m1=、m2=﹣（不符合題意，舍去）， 當(dāng)m=時，正方形的面積為（2﹣2）2=24﹣8； ②當(dāng)﹣m2+2m+3=2﹣2m時，解得：m3=2+，m4=2﹣（不符合題意，舍去）， 當(dāng)m=2+時，正方形的面積為[2（2+）﹣2]2=24+8； 綜上所述，正方形的面積為24+8或24﹣8． （3）設(shè)BC所在直線解析式為y=px+q， 把點B（3，0）、C（0，﹣3）代入表達(dá)式， 得：，解得：， ∴直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y=x﹣3， 設(shè)點M的坐標(biāo)為（t，t2﹣2t﹣3），其中t＜1， 則點N（2﹣t，t

10、2﹣2t﹣3），點D（t，t﹣3）， ∴MN=2﹣t﹣t=2﹣2t，MD=|t2﹣2t﹣3﹣t+3|=|t2﹣3t|． ∵M(jìn)D=MN，∴|t2﹣3t|=2﹣2t， 分兩種情況： ①當(dāng)t2﹣3t=2﹣2t時，解得t1=﹣1，t2=2（不符合題意，舍去）． ②當(dāng)3t﹣t2=2﹣2t時，解得t3=，t2=（不符合題意，舍去）． 綜上所述，點M的橫坐標(biāo)為﹣1或． 【典例5】 如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，頂點M關(guān)于x軸的對稱點是M′． （1）求拋物線的解析式； （2）若直線AM′與此拋物線的另一個交點為C，求△CAB的面積； （3）是否存

11、在過A，B兩點的拋物線，其頂點P關(guān)于x軸的對稱點為Q，使得四邊形APBQ為正方形？若存在，求出此拋物線的解析式；若不存在，請說明理由． 【分析】： （1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式； （2）根據(jù)軸對稱，可得M′的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得AM′的解析式，根據(jù)解方程組，可得B點坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式，可得答案； （3）根據(jù)正方形的性質(zhì)，可得P、Q點坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式． 【解答】：解：（1）將A、B點坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得，解得， 拋物線的解析式y(tǒng)=x2﹣2x﹣3； （2）將拋物線的解析式化為頂點式，得y=（x﹣1）2﹣4， M點的坐標(biāo)為（1，﹣4），M

12、′點的坐標(biāo)為（1，4）， 設(shè)AM′的解析式為y=kx+b， 將A、M′點的坐標(biāo)代入，得，解得，AM′的解析式為y=2x+2， 聯(lián)立AM′與拋物線，得 ，解得， C點坐標(biāo)為（5，12）．S△ABC=412=24； （3）存在過A，B兩點的拋物線，其頂點P關(guān)于x軸的對稱點為Q，使得四邊形APBQ為正方形， 由ABPQ是正方形，A（﹣1，0）B（3，0），得 P（1，﹣2），Q（1，2），或P（1，2），Q（1，﹣2）， ①當(dāng)頂點P（1，﹣2）時，設(shè)拋物線的解析式為y=a（x﹣1）2﹣2， 將A點坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得a（﹣1﹣1）2﹣2=0，解得a=， 拋物線的解析式為y=（

13、x﹣1）2﹣2， ②當(dāng)P（1，2）時，設(shè)拋物線的解析式為y=a（x﹣1）2+2，將 A點坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得a（﹣1﹣1）2+2=0， 解得a=﹣，拋物線的解析式為y=﹣（x﹣1）2+2， 綜上所述：y=（x﹣1）2﹣2或y=﹣（x﹣1）2+2，使得四邊形APBQ為正方形． 【典例6】如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于點A，點B，與y軸交于點C，點B坐標(biāo)為（6，0），點C坐標(biāo)為（0，6），點D是拋物線的頂點，過點D作x軸的垂線，垂足為E，連接BD． （1）求拋物線的解析式及點D的坐標(biāo)； （2）點F是拋物線上的動點，當(dāng)∠FBA=∠BDE時，求點F的坐標(biāo)； （3）若點M是

14、拋物線上的動點，過點M作MN∥x軸與拋物線交于點N，點P在x軸上，點Q在平面內(nèi)，以線段MN為對角線作正方形MPNQ，請直接寫出點Q的坐標(biāo)． 　【分析】（1）由點B、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式，再利用配方法將拋物線解析式變形成頂點式即可得出結(jié)論； （2）設(shè)線段BF與y軸交點為點F′，設(shè)點F′的坐標(biāo)為（0，m），由相似三角形的判定及性質(zhì)可得出點F′的坐標(biāo)，根據(jù)點B、F′的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求出直線BF的解析式，聯(lián)立直線BF和拋物線的解析式成方程組，解方程組即可求出點F的坐標(biāo)； （3）設(shè)對角線MN、PQ交于點O′，如圖2所示．根據(jù)拋物線的對稱性結(jié)合正方形的性質(zhì)可得出點P

15、、Q的位置，設(shè)出點Q的坐標(biāo)為（2，2n），由正方形的性質(zhì)可得出點M的坐標(biāo)為（2﹣n，n）．由點M在拋物線圖象上，即可得出關(guān)于n的一元二次方程，解方程可求出n值，代入點Q的坐標(biāo)即可得出結(jié)論． 【解答】解：（1）將點B（6，0）、C（0，6）代入y=﹣x2+bx+c中， 得：，解得：，∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+6． ∵y=﹣x2+2x+6=﹣（x﹣2）2+8， ∴點D的坐標(biāo)為（2，8）． （2）設(shè)線段BF與y軸交點為點F′，設(shè)點F′的坐標(biāo)為（0，m），如圖1所示． ∵∠F′BO=∠FBA=∠BDE，∠F′OB=∠BED=90， ∴△F′BO∽△BDE，∴． ∵點B（6，0

16、），點D（2，8）， ∴點E（2，0），BE=6﹣4=4，DE=8﹣0=8，OB=6，∴OF′=?OB=3，∴點F′（0，3）或（0，﹣3）． 設(shè)直線BF的解析式為y=kx3，則有0=6k+3或0=6k﹣3，解得：k=﹣或k=， ∴直線BF的解析式為y=﹣x+3或y=x﹣3． 聯(lián)立直線BF與拋物線的解析式得：①或②， 解方程組①得：或（舍去），∴點F的坐標(biāo)為（﹣1，）； 解方程組②得：或（舍去），∴點F的坐標(biāo)為（﹣3，﹣）． 綜上可知：點F的坐標(biāo)為（﹣1，）或（﹣3，﹣）． （3）設(shè)對角線MN、PQ交于點O′，如圖2所示． ∵點M、N關(guān)于拋物線對稱軸對稱，且四邊形MPNQ為正

17、方形， ∴點P為拋物線對稱軸與x軸的交點，點Q在拋物線對稱軸上， 設(shè)點Q的坐標(biāo)為（2，2n），則點M的坐標(biāo)為（2﹣n，n）． ∵點M在拋物線y=﹣x2+2x+6的圖象上， ∴n=﹣+2（2﹣n）+6，即n2+2n﹣16=0， 解得：n1=﹣1，n2=﹣﹣1． ∴點Q的坐標(biāo)為（2，﹣1）或（2，﹣﹣1）． 【典例7】如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過A（﹣1，0），B（3，0）兩點，且與y軸交于點C，點D是拋物線的頂點，拋物線的對稱軸DE交x軸于點E，連接BD． （1）求經(jīng)過A，B，C三點的拋物線的函數(shù)表達(dá)式； （2）點P是線段BD上一點，當(dāng)PE=PC時，求點P的坐標(biāo)； （

18、3）在（2）的條件下，過點P作PF⊥x軸于點F，G為拋物線上一動點，M為x軸上一動點，N為直線PF上一動點，當(dāng)以F、M、G為頂點的四邊形是正方形時，請求出點M的坐標(biāo)． 【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出過A，B，C三點的拋物線的函數(shù)表達(dá)式； （2）連接PC、PE，利用公式求出頂點D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式，設(shè)出點P的坐標(biāo)為（x，﹣2x+6），利用勾股定理表示出PC2和PE2，根據(jù)題意列出方程，解方程求出x的值，計算求出點P的坐標(biāo)； （3）設(shè)點M的坐標(biāo)為（a，0），表示出點G的坐標(biāo)，根據(jù)正方形的性質(zhì)列出方程，解方程即可． 【解答】解：（1）∵拋物線y=﹣x2+bx+c

19、經(jīng)過A（﹣1，0），B（3，0）兩點， ∴，解得，，∴經(jīng)過A，B，C三點的拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=﹣x2+2x+3； （2）如圖1，連接PC、PE，x=﹣=﹣=1， 當(dāng)x=1時，y=4，∴點D的坐標(biāo)為（1，4）， 設(shè)直線BD的解析式為：y=mx+n， 則，解得，，∴直線BD的解析式為y=﹣2x+6， 設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，﹣2x+6）， 則PC2=x2+（3+2x﹣6）2，PE2=（x﹣1）2+（﹣2x+6）2， ∵PC=PE，∴x2+（3+2x﹣6）2=（x﹣1）2+（﹣2x+6）2， 解得，x=2，則y=﹣22+6=2， ∴點P的坐標(biāo)為（2，2）； （3）設(shè)點M的坐標(biāo)為（a，0），則點G的坐標(biāo)為（a，﹣a2+2a+3）， ∵以F、M、G為頂點的四邊形是正方形， ∴FM=MG，即|2﹣a|=|﹣a2+2a+3|， 當(dāng)2﹣a=﹣a2+2a+3時，整理得，a2﹣3a﹣1=0，解得，a=， 當(dāng)2﹣a=﹣（﹣a2+2a+3）時， 整理得，a2﹣a﹣5=0， 解得，a=， ∴當(dāng)以F、M、G為頂點的四邊形是正方形時，點M的坐標(biāo)為（，0），（，0），（，0），（，0）． 　 初中數(shù)學(xué)中考備課必備