《中考（數(shù)學）分類四 二次函數(shù)與角度有關(guān)的問題（含答案）-歷年真題常考、重難點題型講練》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《中考（數(shù)學）分類四 二次函數(shù)與角度有關(guān)的問題（含答案）-歷年真題?？?、重難點題型講練（20頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、數(shù)學專題 精心整理 類型二二次函數(shù)與角度問題 【典例1】已知拋物線過點和，與x軸交于另一點B，頂點為D． （1）求拋物線的解析式，并寫出D點的坐標； （2）如圖1，E為線段上方的拋物線上一點，，垂足為F，軸，垂足為M，交于點G．當時，求的面積； （3）如圖2，與的延長線交于點H，在x軸上方的拋物線上是否存在點P，使？若存在，求出點P的坐標：若不存在，請說明理由． 【答案】（1），；（2）；（3）存在，, 【解析】 【分析】 （1）利用待定系數(shù)法求出a的值即可得到解析式，進而得到頂點D坐標； （2）先求出BC的解析式，再設(shè)直線EF的解析式為,設(shè)點E的坐標為，聯(lián)立方

2、程求出點F，G的坐標，根據(jù)列出關(guān)于m的方程并求解，然后求得G的坐標，再利用三角形面積公式求解即可； （3）過點A作AN⊥HB，先求得直線BD，AN的解析式，得到H，N的坐標，進而得到，設(shè)點，過點P作PRx軸于點R，在x軸上作點S使得RS=PR，證明，根據(jù)相似三角形對應邊成比例得到關(guān)于n的方程，求得后即可得到點P的坐標． 【詳解】 （1）把點A（-1，0），C（0，3）代入中， ， 解得， ， 當時，y=4， （2） 令或x=3 設(shè)BC的解析式為 將點代入，得 ， 解得， 設(shè)直線EF的解析式為,設(shè)點E的坐標為， 將點E坐標代入中，得，

3、 把x=m代入 即 解得m=2或m=-3 ∵點E是BC上方拋物線上的點 ∴m=-3舍去 ∴點 （3）過點A作AN⊥HB， ∵點 ∵點，點 設(shè)，把（-1，0）代入，得b= 設(shè)點 過點P作PR⊥x軸于點R，在x軸上作點S使得RS=PR 且點S的坐標為 若 在和中， 或 【點睛】 本題考查的是二次函數(shù)的綜合，涉及到的知識點較多，運算較復雜，第3問的解題關(guān)鍵在于添加適當?shù)妮o助線，利用數(shù)形結(jié)合的思想列出方程求解． 【典例2】在平面直角坐標系中，拋物線

4、的頂點為N． （1）若此拋物線過點，求拋物線的解析式； （2）在（1）的條件下，若拋物線與y軸交于點B，連接，C為拋物線上一點，且位于線段的上方，過C作垂直x軸于點D，交于點E，若，求點C坐標； （3）已知點，且無論k取何值，拋物線都經(jīng)過定點H，當時，求拋物線的解析式． 【答案】（1）（2）C（-2,4）（3）． 【解析】 【分析】 （1）把代入即可求解； （2）根據(jù)題意作圖，求出直線AB的解析式，再表示出E點坐標，代入直線即可求解； （3）先求出定點H，過H點做HI⊥x軸，根據(jù)題意求出∠MHI=30，再根據(jù)題意分情況即可求解． 【詳解】 （1）把代入 得-

5、9-3k-2k=1 解得k=-2 ∴拋物線的解析式為； （2）設(shè)C（t, ）,則E（t, ）, 設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，把A（-3，1），（0,4）代入得 解得 ∴直線AB的解析式為y=x+4 ∵E（t, ）在直線AB上 ∴=t+4 解得t=-2（舍去正值）， ∴C（-2,4）； （3）由=k（x-2）-x2, 當x-2=0即x=2時，y=-4 故無論k取何值，拋物線都經(jīng)過定點H（2，-4） 二次函數(shù)的頂點為N（） 1如圖，過H點做HI⊥x軸，若＞2時，則k＞4 ∵，H（2，-4） ∴MI=， ∵HI=4 ∴tan∠MHI= ∴∠MH

6、I=30 ∵ ∴∠NHI=30 即∠GNH=30 由圖可知tan∠GNH= 解得k=4+2，或k=4（舍） 2如圖，若＜2，則k＜4 同理可得∠MHI=30 ∵ ∴HN⊥IH，即 解得k=4不符合題意； 3若=2，N、H重合，舍去． ∴k=4+2 ∴拋物線的解析式為． 【典例3】已知拋物線的圖象與軸交于、兩點（點在點的左邊），與軸交于點，，過點作軸的平行線與拋物線交于點，拋物線的頂點為，直線經(jīng)過、兩點. （1） 求此拋物線的解析式； （2）連接、、，試比較和的大小，并說明你的理由. 【答案】解：（1）∵CD∥x軸且點C（0，3）， ∴設(shè)點D的坐

7、標為(x，3) ． ∵直線y= x+5經(jīng)過D點， ∴3= x+5．∴x=－2． 即點D(－2，3) ． 根據(jù)拋物線的對稱性，設(shè)頂點的坐標為M（－1，y）， 又∵直線y= x+5經(jīng)過M點， ∴y =－1+5，y =4．即M（－1，4）． ∴設(shè)拋物線的解析式為． ∵點C（0，3）在拋物線上，∴a=－1． 即拋物線的解析式為． （2）作BP⊥AC于點P，MN⊥AB于點N． 由（1）中拋物線可得 點A（－3，0），B（1，0）， ∴AB=4，AO=CO=3，AC=． ∴∠PAB＝45． ∵∠ABP=45，∴PA=PB=． ∴PC=AC－PA=． 在Rt△BPC中，ta

8、n∠BCP==2． 在Rt△ANM中，∵M（-1，4），∴MN=4．∴AN=2． tan∠NAM==2． ∴∠BCP＝∠NAM． 即∠ACB＝∠MAB． 【典例4】在平面直角坐標系xOy中，拋物線經(jīng)過點N（2,－5），過點N作x軸的平行線交此拋物線左側(cè)于點M，MN=6. （1）求此拋物線的解析式； （2）點P（x,y）為此拋物線上一動點，連接MP交此拋物線的對稱軸于點D，當△DMN為直角三角形時，求點P的坐標； （3）設(shè)此拋物線與y軸交于點C，在此拋物線上是否存在點Q，使∠QMN=∠CNM ？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，說明理由. 【答案】解：（1）∵過點M、N（2

9、，－5），， 由題意，得M（，）. ∴ 解得 ∴此拋物線的解析式為. （2）設(shè)拋物線的對稱軸交MN于點G， 若△DMN為直角三角形，則. ∴D1（，），（，）. 直線MD1為，直線為. 將P（x，）分別代入直線MD1， 的解析式， 得①，②. 解①得 ，（舍）， ∴（1,0）. 解②得 ，（舍）， ∴（3,－12）. （3）設(shè)存在點Q（x，）， 使得∠QMN=∠CNM. ① 若點Q在MN上方，過點Q作QH⊥MN， 交MN于點H，則. 即. 解得，（舍）. ∴（，3）. ② 若點Q在MN下方， 同理可得（6，）. 【典例5

10、】平面直角坐標系xOy中，拋物線與x軸交于點A、點B，與y軸的正半軸交于點C，點 A的坐標為(1, 0)，OB=OC，拋物線的頂點為D． (1) 求此拋物線的解析式； (2) 若此拋物線的對稱軸上的點P滿足∠APB=∠ACB，求點P的坐標； (3) Q為線段BD上一點，點A關(guān)于∠AQB的平分線的對稱點為，若，求點Q的坐標和此時△的面積． 【答案】圖9 （1）∵ ， ∴ 拋物線的對稱軸為直線． ∵ 拋物線與x軸交于 點A、點B，點A的坐標為， ∴ 點B的坐標為，OB＝3． 可得該拋物線的解析式為． ∵ OB=

11、OC，拋物線與y軸的正半軸交于點C， ∴ OC=3，點C的坐標為． 將點C的坐標代入該解析式，解得a=1． ∴ 此拋物線的解析式為．（如圖9） （2）作△ABC的外接圓☉E，設(shè)拋物線的對稱軸與x軸的交點為點F，設(shè)☉E與拋物線的對稱軸位于x軸上方的部分的交點為點，點關(guān)于x軸的對稱點為點，點、點均為所求點.（如圖10） 可知圓心E必在AB邊的垂直平分線即拋物線的對稱軸直線上． ∵ 、都是弧AB所對的圓周角， ∴ ，且射線FE上的其它點P都不滿足． 由（1）可知 ∠OBC=45，AB=2，OF=2． 可得圓心E也在BC邊的垂直平分線即直線上．

12、 ∴ 點E的坐標為． ∴ 由勾股定理得 ． ∴ ． ∴ 點的坐標為． 由對稱性得點的坐標為． ∴符合題意的點P的坐標為、. （3）∵ 點B、D的坐標分別為、， 可得直線BD的解析式為，直線BD與x軸所夾的銳角為45． ∵ 點A關(guān)于∠AQB的平分線的對稱點為，（如圖11） 若設(shè)與∠AQB的平分線的交點為M， 則有 ，，，Q，B，三點在一條直線上． ∵ ， ∴ 作⊥x軸于點N． ∵ 點Q在線段BD上， Q，B，三點在一條直線上， ∴ ，． ∴ 點的坐標為． ∵ 點Q在線段BD上， ∴ 設(shè)點Q的坐標為，其中． ∵ ， ∴ 由勾股

13、定理得 ． 解得． 經(jīng)檢驗，在的范圍內(nèi)． ∴ 點Q的坐標為． 此時． 【典例6】已知，拋物線與x軸交于點A（－2,0）、B（8,0），與y軸交于點C（0，－4）。直線y=x+m與拋物線交于點D、E（D在E的左側(cè)），與拋物線的對稱點交于點F。 （1）求拋物線的解析式； （2）當m=2時，求∠DCF的大?。? （3）若在直線y=x+m下方的拋物線上存在點P，使∠DPF＝450，且滿足條件的點P只有兩個，則m的值為___________________.（第（3）問不要求寫解答過程） 【答案】解：（1）依題意，設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+2）（x-8）， ∵拋物線與y軸交于點C

14、（0，-4）， ∴-4=a（0+2）（0-8）． 解得a=． ∴拋物線的解析式為y=(x+2)(x-8)，即y=x2-x-4； （2）由（1）可得拋物線的對稱軸為x=3， ∵m=2， ∴直線的解析式為y=x+2， ∵直線y=x+2與拋物線交于點D、E，與拋物線的對稱軸交于點F， ∴F、D兩點的坐標分別為F（3，5），D（-2，0）． 設(shè)拋物線的對稱軸與x軸的交點為M， 可得CM=FM=MD=5， ∴F、D、C三點在以M為圓心，半徑為5的圓上． ∴∠DCF=∠DMF=45． （3）由拋物線解析式可知，拋物線頂點坐標為G（3，-） 設(shè)F（3，3+m），則FG=m+3+，

15、設(shè)D關(guān)于對稱軸的對稱點為D1， 當四邊形DGD1F為正方形時，滿足題意，此時P點與頂點G重合，或者與D1重合， 故DD1=F′G，D點橫坐標為：x=-（F′G-3）=-，縱坐標為-（F′G-3-m）=， 將D點坐標拋物線解析式，解得m=-． 【典例7】如圖，拋物線，與軸交于點，且． （I）求拋物線的解析式； （II）探究坐標軸上是否存在點，使得以點為頂點的三角形為直角三角形？ 若存在，求出點坐標，若不存在，請說明理由； （III）直線交軸于點，為拋物線頂點．若， 的值． 【答案】解：（I），且． ． 代入，得 （II）①當可證∽ ． ②同理

16、: 如圖當 ③當 綜上，坐標軸上存在三個點，使得以點為頂點的三角形為直角三角形，分別是，． （III）．． ∴． ． ． 又．． ． 【典例8】如圖⑴，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，拋物線y=ax2＋8ax＋16a＋6經(jīng)過點B（0，4）. ⑴求拋物線的解析式； ⑵設(shè)拋物線的頂點為D，過點D、B作直線交x軸于點A，點C在拋物線的對稱軸上，且C點的縱坐標為-4，聯(lián)結(jié)BC、AC.求證：△ABC是等腰直角三角形； ⑶在⑵的條件下，將直線DB沿y軸向下平移，平移后的直線記為l ，直線l 與x軸、y軸分別交于點A′、B′，是否存在直線l，使△A′B′C是直角三角形，若存在求

17、出l 的解析式，若不存在，請說明理由． 圖（1） 備用圖 【答案】⑴解：由題意知： 解得： ∴拋物線的解析式為： ⑵證明 ：由拋物線的解析式知:頂點D坐標為（－4,6） ∵點C的縱坐標為－4，且在拋物線的對稱軸上 ∴C點坐標為(－4，－4) 設(shè)直線BD解析式為： 有：，∴ ∴BD解析式為 ∴直線BD與x軸的交點

18、A的坐標為（8,0） 過點C作CE⊥軸于點E，則CE=4，BE=8 又∵OB=4，OA=8, ∴CE=OB,BE=OA,∠CEB=∠BOA=90 ∴△CEB≌△BOA(SAS) ∴CB=AB, ∠1=∠2 ∵∠2+∠3=90，∴∠2+∠3=90 ∴∠1+∠3=90，即∠ABC=90 ∴△ABC是等腰直角三角形 ⑶存在.①當∠CA′B′=90時，如圖1所示， ∵A′B′∥AB ∴∠OA′B′=∠BAO 易證:∠ECA′=∠OA′B′ 圖1 ∴∠ECA′=∠BAO ∵tan∠BAO= ∴tan∠ECA′= ∴EA′=2 ∴A′坐標為(－2,0) ∴直線l解析式

19、為- ②當∠A′CB′=90時，如圖2所示， 圖2 過點C作CE⊥軸于點E， 易證△A′FC≌△B′EC ∴A′F=B′E ∴由①tan∠B′A′O= ∴設(shè)B′坐標為（0，n） ∴有 ∴ B′坐標為（0，） ∴直線l解析式為 【典例9】已知：拋物線y＝－x2＋2x＋m-2交y軸于點A（0，2m-7）．與直線y＝x交于點B、C（B在右、C在左）． （1）求拋物線的解析式； （2）設(shè)拋物線的頂點為E，在拋物線的對稱軸上是否存在一點F，使得，若存在，求出點F的坐標，若不存在，說明理由； （3）射線OC上有兩個動點P、Q同時從原點出發(fā)，分別以每秒個單位長度、每秒

20、2個單位長度的速度沿射線OC運動，以PQ為斜邊在直線BC的上方作直角三角形PMQ（直角邊分別平行于坐標軸），設(shè)運動時間為t秒，若△PMQ與拋物線y＝－x2＋2x＋m-2有公共點，求t的取值范圍． 【答案】解： （1）點A（0，2m-7）代入y＝－x2＋2x＋m-2，得m=5 ∴拋物線的解析式為y＝－x2＋2x＋3 ………………………2分 （2）由得， ∴B（），C（） B（）關(guān)于拋物線對稱軸的 對稱點為 可得直線的解析式為， 由，可得 ∴ （3）當在拋物線上時，可得，， 當在拋物線上時，可得，， 舍去負值，所以t的取值范圍是． 初中數(shù)學中考備課必備