《中考（數(shù)學(xué)）分類七 二次函數(shù)與直角三角形有關(guān)的問(wèn)題（含答案）-歷年真題?？?、重難點(diǎn)題型講練》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《中考（數(shù)學(xué)）分類七 二次函數(shù)與直角三角形有關(guān)的問(wèn)題（含答案）-歷年真題常考、重難點(diǎn)題型講練（14頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、數(shù)學(xué)專題 精心整理 類型七 二次函數(shù)與直角三角形有關(guān)的問(wèn)題 【典例1】如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)． （1）若過(guò)點(diǎn)的直線是拋物線的對(duì)稱軸． ①求拋物線的解析式； ②對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)，使點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)恰好落在對(duì)稱軸上．若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． （2） 當(dāng)，時(shí)，函數(shù)值的最大值滿足，求的取值范圍． 【答案】（1）①；②存在，或；（2）． 【解析】 【分析】 （1）①根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸公式即可求出解析式； ②如圖1，若點(diǎn)P在x軸上方，點(diǎn)B關(guān)于OP對(duì)稱的點(diǎn)在對(duì)稱軸上，連接、PB，根據(jù)軸對(duì)稱得到，，求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，勾股定理得到，再根據(jù)，列出方程解答，

2、同理得到點(diǎn)P在x軸下方時(shí)的坐標(biāo)即可； （2）當(dāng)時(shí)，確定對(duì)稱軸的位置，再結(jié)合開(kāi)口方向，確定當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增減性，從而得到當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)取最大值，再列出不等式解答即可． 【詳解】 解：（1）①拋物線的對(duì)稱軸為直線， ∴若過(guò)點(diǎn)的直線是拋物線的對(duì)稱軸， 則，解得：b=4， ∴； ②存在， 如圖1，若點(diǎn)P在x軸上方，點(diǎn)B關(guān)于OP對(duì)稱的點(diǎn)在對(duì)稱軸上，連接、PB， 則，， 對(duì)于，令y=0，則， 解得：， ∴A（-1,0），B（5,0）， ∴， ∴， ∴， 設(shè)點(diǎn)P（2，m）， 由可得：，解得：， ∴， 同理，當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，， 綜上所述，點(diǎn)或 （2）∵拋物線的

3、對(duì)稱軸為直線， ∴當(dāng)時(shí)，， ∵拋物線開(kāi)口向下，在對(duì)稱軸左邊，y隨x的增大而增大， ∴當(dāng)時(shí)，取x=2，y有最大值， 即， ∴，解得：， 又∵， ∴． 【點(diǎn)睛】 本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及勾股定理的應(yīng)用，其中第（1）②問(wèn)要先畫(huà)出圖形再理解，第（2）問(wèn)運(yùn)用到了二次函數(shù)的增減性，難度不大，解題的關(guān)鍵是熟記二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)． 【典例2】如圖，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋4的圖象與x軸交于點(diǎn)A(－1，0)，B(4，0)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)為D，其對(duì)稱軸與線段BC交于點(diǎn)E．垂直于x軸的動(dòng)直線l分別交拋物線和線段BC于點(diǎn)P和點(diǎn)F，動(dòng)直線l在拋

4、物線的對(duì)稱軸的右側(cè)（不含對(duì)稱軸）沿x軸正方向移動(dòng)到B點(diǎn)． （1）求出二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋4和BC所在直線的表達(dá)式； （2）在動(dòng)直線l移動(dòng)的過(guò)程中，試求使四邊形DEFP為平行四邊形的點(diǎn)P的坐標(biāo)； （3）連接CP，CD，在移動(dòng)直線l移動(dòng)的過(guò)程中，拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P，C，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形與DCE相似，如果存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【答案】（1）y=-x2＋3x＋4，y=-x＋4；（2）；（3）存在， 【解析】 【分析】 （1）運(yùn)用待定系數(shù)法，利用A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)構(gòu)建二元一次方程組求解二次函數(shù)的表達(dá)式，利用B，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)確定直線BC的表達(dá)式

5、； （2）先求得DE的長(zhǎng)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到PF=DE，點(diǎn)P與點(diǎn)F的橫坐標(biāo)相同，故利用拋物線與直線的解析式表示它們的縱坐標(biāo)，根據(jù)其差等于DE長(zhǎng)構(gòu)建一元二次方程求解； （3）結(jié)合圖形與已知條件，易于發(fā)現(xiàn)若兩三角形相似，只可能存在△PCF∽△CDE一種情況．△CDE的三邊均可求，（2）中已表示PF的長(zhǎng)，再構(gòu)建直角三角形或借助兩點(diǎn)間距離公式，利用勾股定理表示出CF的長(zhǎng)，這樣根據(jù)比例式列方程求解，從而可判斷點(diǎn)P是否存在，以及求解點(diǎn)P的值． 【詳解】 （1）由題意，將A(-1．0)，B(4．0)代入，得 ，解得， ∴二次函數(shù)的表達(dá)式為， 當(dāng)時(shí)，y=4， ∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，4)，又

6、點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4，0)， 設(shè)線段BC所在直線的表達(dá)式為， ∴，解得， ∴BC所在直線的表達(dá)式為； （2）∵DE⊥x軸，PF⊥x軸， ∴DE∥PF， 只要DE=PF，此時(shí)四邊形DEFP即為平行四邊形． 由二次函數(shù)y=-+3+4=(-) 2+，得D的坐標(biāo)為(，)， 將代入，即y=-+4=，得點(diǎn)E的坐標(biāo)為(，)， ∴DE=-=， 設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，則P(t，-t2+3t+4)，F(xiàn)(t，-t+4)， PF=-t2+3t+4-(-t+4)=-t2+4t， 由DE=PF，得-t2+4t=， 解之，得t1= (不合題意，舍去)，t2=， 當(dāng)t=時(shí)，-t2+3t+4=-()2+3

7、+4=， ∴P的坐標(biāo)為(，)； （3）由（2）知，PF∥DE， ∴∠CED=∠CFP， 又∠PCF與∠DCE有共同的頂點(diǎn)C，且∠PCF在∠DCE的內(nèi)部， ∴∠PCF≠∠DCE， ∴只有當(dāng)∠PCF=∠CDE時(shí)，△PCF∽△CDE， 由D (，)，C(0，4)，E(，)，利用勾股定理，可得 CE=，DE=， 由（2）以及勾股定理知，PF=-t2+4t，F(xiàn)(t，-t+4)， CF=， ∵△PCF∽△CDE， ∴，即， ∵t≠0， ∴()=3， ∴t=， 當(dāng)t=時(shí)，-t2+3t+4=-()2+3+4=． ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是(，)． 【點(diǎn)睛】 本題屬于二次函數(shù)綜合題

8、，考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是，學(xué)會(huì)用數(shù)形結(jié)合的思想思考問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題． 【典例3】如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)．直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為． （1）請(qǐng)直接寫(xiě)出，兩點(diǎn)的坐標(biāo)及直線的函數(shù)表達(dá)式； （2）若點(diǎn)是拋物線上的點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為．與直線交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)是線段的三等分點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)； （3）若點(diǎn)是軸上的點(diǎn)，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)． 【答案】（1），，直線的函數(shù)表達(dá)式為：；（2）當(dāng)點(diǎn)是

9、線段的三等分點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為或；（3）點(diǎn)的坐標(biāo)為或． 【解析】 【分析】 （1）令可得兩點(diǎn)的坐標(biāo)，把的坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式可得的解析式； （2）根據(jù)題意畫(huà)出圖形，分別表示三點(diǎn)的坐標(biāo)，求解的長(zhǎng)度，分兩種情況討論即可得到答案； （3）根據(jù)題意畫(huà)出圖形，分情況討論：①如圖，當(dāng)點(diǎn)在軸正半軸上時(shí)，記為點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)作直線，垂足為．再利用相似三角形與等腰直角三角形的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理可得答案，②如圖，當(dāng)點(diǎn)在軸負(fù)半軸上時(shí)，記為點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)作直線，垂足為，再利用相似三角形與等腰直角三角形的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理可得答案． 【詳解】 解：（1）令 ，， 設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為：， 把代

10、入得： 解得： 直線的函數(shù)表達(dá)式為：． （2）解：如圖，根據(jù)題意可知，點(diǎn)與點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 ，． ， ， 分兩種情況： ①當(dāng)時(shí)，得． 解得：，（舍去） 當(dāng)時(shí)，． 點(diǎn)的坐標(biāo)為 ②當(dāng)時(shí)，得． 解得：，（舍去） 當(dāng)時(shí)， 點(diǎn)的坐標(biāo)為． 當(dāng)點(diǎn)是線段的三等分點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為或 （3）解：直線與軸交于點(diǎn)， 點(diǎn)坐標(biāo)為． 分兩種情況： ①如圖，當(dāng)點(diǎn)在軸正半軸上時(shí)，記為點(diǎn)． 過(guò)點(diǎn)作直線，垂足為．則， ， ． 即 ． 又，， ． 連接，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為， 軸 ． ，． ． ． 點(diǎn)的坐標(biāo)為． ②如圖，當(dāng)點(diǎn)在軸負(fù)半軸上

11、時(shí)，記為點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)作直線，垂足為， 則， ，． ． 即 ． 又，， ．． 由①可知，．． ． ． 點(diǎn)的坐標(biāo)為 點(diǎn)的坐標(biāo)為或． 【點(diǎn)睛】 本題考查的是二次函數(shù)與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，平面直角坐標(biāo)系中線段的長(zhǎng)度的計(jì)算，同時(shí)考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，特別是分類討論的數(shù)學(xué)思想，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵． 【典例4】如圖1，排球場(chǎng)長(zhǎng)為18m，寬為9m，網(wǎng)高為2.24m．隊(duì)員站在底線O點(diǎn)處發(fā)球，球從點(diǎn)O的正上方1.9m的C點(diǎn)發(fā)出，運(yùn)動(dòng)路線是拋物線的一部分，當(dāng)球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)A時(shí)，高度為2.88m．即

12、BA＝2.88m．這時(shí)水平距離OB＝7m，以直線OB為x軸，直線OC為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖2． （1）若球向正前方運(yùn)動(dòng)（即x軸垂直于底線），求球運(yùn)動(dòng)的高度y（m）與水平距離x（m）之間的函數(shù)關(guān)系式（不必寫(xiě)出x取值范圍）．并判斷這次發(fā)球能否過(guò)網(wǎng)？是否出界？說(shuō)明理由； （2）若球過(guò)網(wǎng)后的落點(diǎn)是對(duì)方場(chǎng)地①號(hào)位內(nèi)的點(diǎn)P（如圖1，點(diǎn)P距底線1m，邊線0.5m），問(wèn)發(fā)球點(diǎn)O在底線上的哪個(gè)位置？（參考數(shù)據(jù)：取1.4） 【答案】（1）這次發(fā)球過(guò)網(wǎng)，但是出界了，理由詳見(jiàn)解析；（2）發(fā)球點(diǎn)O在底線上且距右邊線0.1米處． 【解析】 【分析】 （1）求出拋物線表達(dá)式，再確定x＝9和x＝

13、18時(shí)，對(duì)應(yīng)函數(shù)的值即可求解； （2）當(dāng)y＝0時(shí)，y＝﹣（x﹣7）2+2.88＝0，解得：x＝19或﹣5（舍去﹣5），求出PQ＝6＝8.4，即可求解． 【詳解】 （1）設(shè)拋物線的表達(dá)式為：y＝a（x﹣7）2+2.88， 將x＝0，y＝1.9代入上式并解得：a＝﹣， 故拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣（x﹣7）2+2.88； 當(dāng)x＝9時(shí)，y＝﹣（x﹣7）2+2.88＝2.8＞2.24， 當(dāng)x＝18時(shí)，y＝﹣（x﹣7）2+2.88＝0.64＞0， 故這次發(fā)球過(guò)網(wǎng)，但是出界了； （2）如圖，分別過(guò)點(diǎn)作底線、邊線的平行線PQ、OQ交于點(diǎn)Q， 在Rt△OPQ中，OQ＝18﹣1＝17， 當(dāng)y＝0時(shí)，y＝﹣（x﹣7）2+2.88＝0，解得：x＝19或﹣5（舍去﹣5）， ∴OP＝19，而OQ＝17， 故PQ＝6＝8.4， ∵9﹣8.4﹣0.5＝0.1， ∴發(fā)球點(diǎn)O在底線上且距右邊線0.1米處. 【點(diǎn)睛】 此題考查求二次函數(shù)的解析式，利用自變量求對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的計(jì)算，勾股定理解直角三角形，二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用,正確理解題意，明確“能否過(guò)網(wǎng)”，“是否出界”詞語(yǔ)的含義找到解題的方向是解答此題的關(guān)鍵. 初中數(shù)學(xué)中考備課必備