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1、《正、余弦定理》教學(xué)設(shè)計(jì) 一、 教學(xué)對(duì)象 授課對(duì)象系安徽省亳州市亳州一中南校學(xué)生，屬中上等學(xué)習(xí)水平，并具備一定的自學(xué)能力和推理能力。 二、 教材分析 所講內(nèi)容為《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)（必修5）》（北師大版）第2章的正（余）弦定理，對(duì)于這兩個(gè)定理的推導(dǎo)，書上是用向量法進(jìn)行證明，并且把正弦定理設(shè)在余弦定理之前。教材之所以這樣安排主要是基于以下幾點(diǎn)考慮： 1. 根據(jù)初中解直角三角形的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生更容易發(fā)現(xiàn)正弦定理，如不用高中知識(shí)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)余弦定理則較難。 2. 正弦定理與余弦動(dòng)力都刻畫了三角形邊角間的度量規(guī)律，但正弦定理反映的邊與其對(duì)角的正弦值成正比的規(guī)律，比余弦定理

2、簡(jiǎn)單，有時(shí)可以用角的正弦值替代對(duì)邊。美學(xué)價(jià)值更大、更容易激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)解三角形的興趣。 3. 正弦定理與平面幾何聯(lián)系更緊密，討論正弦定理可以用到較多幾何知識(shí)，編排在前便于承前啟后。 4. 用正弦定理證明余弦定理容易，而用余弦定理證明正弦定理則稍難。[1] 關(guān)于教材這樣的安排自然有一定的道理，但筆者結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)際，發(fā)現(xiàn)按照教材的思路來(lái)授課仍存在一定的困難,尤其是正弦定理的導(dǎo)課環(huán)節(jié)，總顯得不夠自然。關(guān)于對(duì)教學(xué)內(nèi)容的安排筆者的思路如下： 1. 教材證明正弦定理是通過(guò)建立直角坐標(biāo)系，并利用向量在坐標(biāo)軸上的射影推導(dǎo)出正弦定理，而證明余弦定理則直接通過(guò)向量平方。這個(gè)證明過(guò)程看起來(lái)很容易理解，但由

3、于學(xué)生雖然學(xué)習(xí)了向量，但對(duì)向量的應(yīng)用仍然顯得很吃力。而通過(guò)向量引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)正弦定理時(shí)實(shí)在是有一定困難。給導(dǎo)課帶來(lái)一定的難度。 2. 若用傳統(tǒng)的外接圓法或等積法學(xué)生明顯更容易接受，但這樣的話又無(wú)法體現(xiàn)新教材把解三角形安排在向量之后的意圖。正弦定理的本質(zhì)是反映三角形邊和角的等量關(guān)系，而數(shù)學(xué)中能同時(shí)描繪長(zhǎng)度和角度的量非向量莫屬。所以用向量法證明明顯更為自然，這也充分體現(xiàn)了向量的工具性。 3. 若用另外一種思路，先用傳統(tǒng)方法證明再用向量證明，這樣似乎既易于學(xué)生理解正弦定理，又能讓學(xué)生體會(huì)到向量的工具性。但這樣亦顯得畫蛇添足，教學(xué)過(guò)程略顯曲折而牽強(qiáng)。 4. 通過(guò)兩堂課的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，我發(fā)現(xiàn)在用向量引導(dǎo)

4、學(xué)生發(fā)現(xiàn)三角形邊角關(guān)系的過(guò)程中學(xué)生其實(shí)更容易發(fā)現(xiàn)余弦定理。為了充分體現(xiàn)新課標(biāo)以學(xué)生為主體的教學(xué)思想，我做了大膽的嘗試，不妨順?biāo)浦?，先講余弦定理，再講正弦定理。 三、 教學(xué)目標(biāo) 1. 知識(shí)與技能 掌握正弦定理和余弦定理，并能運(yùn)用定理解三角形。 2. 過(guò)程與方法 通過(guò)對(duì)特殊三角形邊角間數(shù)量關(guān)系的研究，發(fā)現(xiàn)正（余）弦定理，初步學(xué)會(huì)運(yùn)用由特殊到一般的思想方法發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律。 3. 情感、態(tài)度與價(jià)值觀 在利用數(shù)量積證明的過(guò)程中，體會(huì)向量工具在解三角形的度量問題中的作用，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)和體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一（三角函數(shù)、向量、三角形）。 四、 教學(xué)重難點(diǎn) 本節(jié)的重點(diǎn)：正（余）弦

5、定理的發(fā)現(xiàn)、證明及基本應(yīng)用。 本節(jié)的難點(diǎn)：正弦定理的發(fā)現(xiàn)及證明過(guò)程。 五、 教學(xué)過(guò)程 1. 提出問題 A B C b c 師：我們初中學(xué)過(guò)解直角三角形，你能說(shuō)出解題的依據(jù)嗎？ 生：勾股定理、兩銳角互余、正弦、余弦······ 教師板書： （1） 邊的關(guān)系：a2+b2=c2； （2） 角的關(guān)系：A+B=90○ a （3） 邊與角的關(guān)系：sinA=ac , sinB=bc , , sinC=1 .[2] 師：除了直角三角形，我們還學(xué)過(guò)銳角三角形和鈍角三角形，統(tǒng)稱為斜三角形，你會(huì)解斜三角形嗎？ 生：沉默片刻

6、，有人回答“作高啊！” 師：對(duì)，把斜三角形轉(zhuǎn)化成直角三角形，這正是我們平時(shí)強(qiáng)調(diào)的“轉(zhuǎn)化思想”，同學(xué)們回答得非常好。 生：被老師肯定，感到很喜悅。 師：但是，如果不作高，僅僅依賴于三角形的邊和角能不能直接解斜三角形呢？ 生：再次陷入沉默。 師：為什么我們沒辦法解斜三角形？斜三角形的邊和角都有什么關(guān)系？ 生：（1）邊的關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊； （2）角的關(guān)系：內(nèi)角和180度； （3）邊與角的關(guān)系：大邊對(duì)大角； 師：對(duì)比直角三角形的邊角關(guān)系和斜三角形的邊角關(guān)系，你發(fā)現(xiàn)了什么？ 生：要解斜三角形必須找到邊和角的等量關(guān)系！ 2. 探求問題 師：非常好，我們今

7、天要探求的正是三角形的邊角關(guān)系，但是我們必須借助一樣工具把邊和角聯(lián)系起來(lái)，什么工具能擔(dān)此重任呢？ 生：向量！ （因?yàn)楸匦匏膶W(xué)過(guò)向量，并且當(dāng)時(shí)也反復(fù)強(qiáng)調(diào)了向量的工具性，所以學(xué)生在此想到向量并不困難） A B C 師：對(duì)，我們前面已經(jīng)認(rèn)識(shí)到向量是既有大小又有方向的量，它是溝通代數(shù)和幾何的橋梁，今天我們以向量為工具，看一看向量在數(shù)學(xué)中是如何體現(xiàn)其工具性的。 師：觀察黑板上的三角形，我們能想到向量的那些知識(shí)？ 生：向量的三角形法則、向量的加法、向量的減法······ 師：好，大家看到三角形聯(lián)想到向量的三角形法則， A B

8、 C 不妨用向量的加法來(lái)表示。 生： 師：如何根據(jù)向量關(guān)系推出三角形的邊角關(guān)系呢？二者有什么聯(lián)系？ 生：三角形的邊可以用向量的模表示。 師：如何能出現(xiàn)三角形夾角呢？ 生：只要出現(xiàn)兩個(gè)向量的點(diǎn)乘！ 師：對(duì)！怎樣構(gòu)造向量的點(diǎn)乘？ 生：平方，兩邊同時(shí)平方！ （之前求向量的模時(shí)接觸過(guò)通過(guò)平方出現(xiàn)向量點(diǎn)乘） 師：非常好，那么，除了平方還有其他方法可以出現(xiàn)點(diǎn)乘嗎？ 生：那就再乘一個(gè)向量。（聲音很微弱） 師：對(duì)，我們還可以在等式兩邊同時(shí)乘以一個(gè)向量！接下來(lái)，我們分別就兩種方案進(jìn)行探究。 方案一：兩邊同時(shí)平方 ，易得 ，同理得 ， 方案二：兩邊同時(shí)乘以一個(gè)向量 師：我

9、們可以在等式兩邊同時(shí)乘以一個(gè)向量，但是，乘以哪個(gè)向量呢？（這是本節(jié)課的難點(diǎn)） 生：被難住。 師：能不能是任意一個(gè)向量呢？（在三角形邊上任意畫一個(gè)向量） 生：不行！（意識(shí)到構(gòu)造點(diǎn)乘的目的之一是要出現(xiàn)三角形的夾角） 師：那就是要一個(gè)特殊的向量，什么樣的向量比較特殊？ 生：零向量，單位向量，平行向量，垂直向量······ 師：好，大家再仔細(xì)思考剛才的幾個(gè)特殊向量，看看用哪個(gè)好？ 零向量很容易排出，大部分同學(xué)意識(shí)到可以用垂直向量。 生：可以用垂直向量。 師：那么圖中有沒有與已知向量垂直的向量呢？ A B C D 生

10、：沒有。 師：如何構(gòu)造一個(gè)？ 生：只需做三角形的高。（因?yàn)橛辛诵抡n引入時(shí)通過(guò)作高將斜三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形的鋪墊） 師：好，我們來(lái)做三角形BC邊上的高試試。 等式兩邊同時(shí)乘以剛構(gòu)造出的向量，得 ，進(jìn)而得 ，即 ，即 ，同理得 ， 師：雖然我們構(gòu)造的向量的模長(zhǎng)并不知道，但在推導(dǎo)過(guò)程中約掉了，看來(lái)這個(gè)推導(dǎo)的過(guò)程與構(gòu)造向量的長(zhǎng)度無(wú)關(guān)，只要是垂直關(guān)系就行了。既然如此，你能否構(gòu)造一個(gè)更特殊的向量？ A 生：可以取高上的單位向量。 B C D M 師：非常好，還有其他做法嗎？（邊說(shuō)便把學(xué)生的想法畫在圖上） 生：可以取其他單位向量，只要保持垂直關(guān)系。 師：對(duì)，我們還可以

11、把這些方向 確定的單位向量放在一些特殊位置， 比如把起點(diǎn)放在B點(diǎn)等。咱們把這些想法作為課后作業(yè)，大家課下完成。 3. 解決問題 我們剛才得出了如下公式 （1） 因?yàn)樵诠街校且哉倚问匠霈F(xiàn)，稱之為正弦定理。 我們可以這樣描述：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等。 （2） 因?yàn)樯婕叭吪c一角的余弦，稱之為余弦定理。 我們可以這樣描述：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。 余弦定理通過(guò)變形，還可以得到如下變形公式： （3） 4. 課堂小結(jié) 本節(jié)課正余弦定理的證明方法其實(shí)有很多，這種用向量證明的方法雖不是最簡(jiǎn)單的，但它的意義在于這是我們第一次用向量為工具解決數(shù)學(xué)問題。今后的學(xué)習(xí)中，我們還會(huì)使用向量解決其他問題，如在立體幾何中，我們會(huì)利用向量解決垂直、夾角、距離等問題。