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1、 2014年高考一輪復(fù)習(xí)熱點(diǎn)難點(diǎn)精講精析：8.4橢 圓 （一）橢圓的定義以及標(biāo)準(zhǔn)方程 ※相關(guān)鏈接※ 1.橢圓定義的應(yīng)用 利用橢圓的定義解題時(shí)，一方面要注意常數(shù)2a>|F1F2|這一條件；另一方面要注意由橢圓上任意一點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)所組成的“焦點(diǎn)三角形”中的數(shù)量關(guān)系. 2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 （1）當(dāng)已知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，其標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1(a>b>0)；當(dāng)已知橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，其標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1(a>b>0)； （2）當(dāng)已知橢圓的焦點(diǎn)不明確而又無(wú)法確定時(shí)，其標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為+=1(m>0,n>0,m≠n)，這樣可避免討論和復(fù)雜的計(jì)算

2、；也可設(shè)為Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B)這種形式,在解題時(shí)更簡(jiǎn)便. 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程主要有定義、待定系數(shù)法，有時(shí)還可根據(jù)條件用代入法。用待定系數(shù)法求橢圓方程的一般步驟是： （1）作判斷：根據(jù)條件判斷橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，還是在y軸上，還是兩個(gè)坐標(biāo)軸都有可能。 （2）設(shè)方程：根據(jù)上述判斷設(shè)方程。 （3）找關(guān)系：根據(jù)已知條件，建立關(guān)于的方程組。 （4）得方程：解方程組，將解代入所設(shè)方程，即為所求。 注：當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)位置不明確而無(wú)法確定其標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，可設(shè)，可以避免討論和繁雜的計(jì)算，也可以設(shè)為，這種形式在解題時(shí)更簡(jiǎn)便。 ※例題解析※ 〖例1〗已知F1、F2為橢圓

3、+=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)F1的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，若|F2A|+|F2B|=12，則|AB|=____； 2 / 15 方法詮釋：注意|AF1|+|AF2|=10，|BF1|+|BF2|=10,且|AF1|+|F1B|=|AB|，再結(jié)合題設(shè)即可得出結(jié)論； 解析：由橢圓的定義及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得： |AF1|+|AF2|=10,|BF1|+|BF2|=10, 又已知|F2A|+|F2B|=12， 所以|AB|=|AF1|+|BF1|=8. 答案：8 〖例2〗已知點(diǎn)P在以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓上，且P到兩焦點(diǎn)的距離分別為5、3，過(guò)P且長(zhǎng)軸垂直的直線恰過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，求橢圓的方程。

4、 方法詮釋：設(shè)橢圓方程為→根據(jù)題意求→得方程。 解析：設(shè)所求的橢圓方程為， 由已知條件得 故所求方程為 方法指導(dǎo)：1.在解決橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常聯(lián)想到橢圓的定義，即利用橢圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之和等于2a求解； 2.在求橢圓方程時(shí)，若已知橢圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離，可先求出橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)，再想法求短軸長(zhǎng)，從而得出方程；若已知點(diǎn)的坐標(biāo)，可先設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再利用待定系數(shù)法求解； ⒊當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)不確定時(shí)，應(yīng)考慮焦點(diǎn)在x軸、在y軸兩種情形，無(wú)論哪種情形，始終有a>b>0. （二）橢圓的幾何性質(zhì) ※相關(guān)鏈接※ 1.橢圓幾何性質(zhì)中的不等關(guān)系 橢圓的幾何性質(zhì)

5、涉及一些不等關(guān)系，例如對(duì)橢圓，有等，在求與橢圓有關(guān)的一些量的范圍，或者求這些量的最大值時(shí)，經(jīng)常用到這些不等關(guān)系。 2.利用橢圓幾何性質(zhì)應(yīng)注意的問(wèn)題 求解與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，當(dāng)涉及到頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、長(zhǎng)軸、短軸等橢圓的基本量時(shí)，要理清它們之間的內(nèi)在聯(lián)系. 3.求橢圓的離心率問(wèn)題的一般思路 求橢圓的離心率時(shí)，一般是依據(jù)題設(shè)得出一個(gè)關(guān)于a、b、c的等式（或不等式），利用a2=b2+c2消去b，即可求得離心率或離心率的范圍.或者是： 應(yīng)先將e用有關(guān)的一些量表示出來(lái)，再利用其中的一些關(guān)系構(gòu)造出關(guān)于e的等式或不等式，從而求出e的值或范圍。離心率e與的關(guān)系：

6、 注：橢圓離心率的范圍:0<e<1. ※例題解析※ 〖例〗已知橢圓的長(zhǎng)軸、短軸端點(diǎn)分別為A、B，從橢圓上一點(diǎn)M（在x軸上方）向x軸作垂線，恰好通過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)，向量與是共線向量。 （1） 求橢圓的離心率； （2） 設(shè)Q是橢圓上任意一點(diǎn)，、分別是左、右焦點(diǎn)，求∠的取值范圍。 思路解析：由與是共線向量可知AB∥OM，從而可得關(guān)于的等量關(guān)系，從而求得離心率；若求∠的取值范圍，即需求cos∠的范圍，用余弦定理即可。 解答：（1）設(shè)（-c,0）,則 （3） 設(shè)||=，||=，∠=，∴+=2，||=2 注：熟練掌握橢圓定義及性質(zhì)并且其解決相應(yīng)問(wèn)題，在求離心率

7、時(shí)，除已知等式外，還需一個(gè)關(guān)于的等式，即可求得。 （三）直線與橢圓的位置關(guān)系 ※相關(guān)鏈接※ 1．直線與橢圓位置關(guān)系的判定 把橢圓方程與直線方程y=kx+b聯(lián)立消去y，整理成形如的形式，對(duì)此一元二次方程有： （1）⊿>0,直線與橢圓相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)； （2）⊿=0，直線與橢圓相切，有一個(gè)公共點(diǎn)； （3）⊿<0，直線與橢圓相離，無(wú)公共點(diǎn)。 故直線與橢圓位置關(guān)系判斷的步驟： 第一步：聯(lián)立直線方程與橢圓方程； 第二步：消元得出關(guān)于x（或y）的一元二次方程； 第三步：當(dāng)Δ＞0時(shí)，直線與橢圓相交；當(dāng)Δ=0時(shí)，直線與橢圓相切；當(dāng)Δ＜0時(shí)，直線與橢圓相離. 2．直

8、線被橢圓截得的張長(zhǎng)公式，設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，則 注：解決直線與橢圓的位置關(guān)系問(wèn)題時(shí)常利用數(shù)形結(jié)合法、設(shè)而不求法、弦長(zhǎng)公式及根與系數(shù)的關(guān)系去解決。 3.直線與橢圓相交時(shí)的常見(jiàn)問(wèn)題的處理方法 注：利用公式計(jì)算直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)是在方程有解的情況下進(jìn)行的，不要忽略判別式. ※ 例題解析※ ※ 〖例1〗中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為F1（0，）的橢圓截直線所得弦的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，求橢圓的方程 思路解析：根據(jù)題意，可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，與直線方程聯(lián)立解方程組，利用韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求出中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再由F1（0，）知，c=，，最后解關(guān)于a、b的方程組即可 解答：設(shè)橢圓的標(biāo)

9、準(zhǔn)方程為，由F1（0，）得 把直線方程代入橢圓方程整理得：。 設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)為，則由根與系數(shù)的關(guān)系得： ，又AB的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為， ，與方程聯(lián)立可解出 故所求橢圓的方程為：。 〖例2〗已知橢圓：，過(guò)左焦點(diǎn)F作傾斜角為的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，求弦AB的長(zhǎng) 解答：a=3,b=1,c=2，則F（-2，0）。 由題意知：與聯(lián)立消去y得：。 設(shè)A（、B（，則是上面方程的二實(shí)根，由違達(dá)定理，，，又因?yàn)锳、B、F都是直線上的點(diǎn)， 所以|AB|= （四）與橢圓有關(guān)的綜合問(wèn)題 〖例〗如圖， 已知橢圓C： 經(jīng)過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F且斜率為k(k≠0)有直線交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，

10、M為線段AB中點(diǎn)，設(shè)O為橢圓的中心，射線OM交橢圓于N點(diǎn) （1）是否存在k，使對(duì)任意m>0,總有成立？若存在，求出所有k的值； （2）若，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。 思路解析：第（1）問(wèn)為存在性問(wèn)題，可先假設(shè)存在，然后由可知M點(diǎn)為ON中點(diǎn)，用坐標(biāo)表示相關(guān)量可求。 第（2）問(wèn)用坐標(biāo)表示向量數(shù)量積，列式求解即可。 解答：橢圓C： ，直線AB的方程為：y=k(x-m). 由 消去y得 設(shè)，則 則 若存在k,使總成立，M為線段AB的中點(diǎn)，∴M為ON的中點(diǎn)， ∴ ∴ 即N點(diǎn)的坐標(biāo)為。 由N點(diǎn)在橢圓上，則 即 即 故存在k=±1,使對(duì)任意m&

11、gt;0，總有成立。 （2） 由得 即 注：探索性問(wèn)題主要考查學(xué)生探索解題途徑，解決非傳統(tǒng)完備問(wèn)題的能力，是命題者根據(jù)學(xué)科特點(diǎn)，將數(shù)學(xué)知識(shí)有機(jī)結(jié)合并賦予新的情境創(chuàng)設(shè)而成的，要求學(xué)生自己觀察、分析、創(chuàng)造性地運(yùn)用所學(xué)知識(shí)和方法解決問(wèn)題，它能很好地考查數(shù)學(xué)思維能力以及科學(xué)的探索精神。因此越來(lái)越受到高考命題者的青睞。 （1）本題第（1）問(wèn)是一是否存在性問(wèn)題，實(shí)質(zhì)上是探索結(jié)論的開(kāi)放性問(wèn)題。相對(duì)于其他的開(kāi)放性問(wèn)題來(lái)說(shuō)，由于這類問(wèn)題的結(jié)論較少（只有存在、不存在兩個(gè)結(jié)論有時(shí)候需討論），因此，思考途徑較為單一，難度易于控制，受到各類考試命題者的青睞。解答這一類問(wèn)題，往往從承認(rèn)結(jié)論、變結(jié)論為條件出發(fā)，然后通過(guò)特例歸納，或由演繹推理證明其合理性。探索過(guò)程要充分挖掘已知條件，注意條件的完備性，不要忽略任何可能的因素。 （2）第（2）問(wèn)是參數(shù)范圍的問(wèn)題，內(nèi)容涉及代數(shù)和幾何的多個(gè)方面，綜合考查學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力。在歷年高考中占有較穩(wěn)定的比重。 希望對(duì)大家有所幫助，多謝您的瀏覽！