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1、 2014年高考一輪復(fù)習(xí)熱點(diǎn)難點(diǎn)精講精析：2.7冪函數(shù) 一、冪函數(shù)定義的應(yīng)用 1、相關(guān)鏈接 （1）判斷一個(gè)函數(shù)是否為冪函數(shù)，只需判斷該函數(shù)的解析式是否滿足：①指數(shù)為常數(shù)；②底數(shù)為自變量;③冪系數(shù)為1. （2）若一個(gè)函數(shù)為冪函數(shù)，則該函數(shù)解析式也必具有以上的三個(gè)特征. （3）幾個(gè)具體函數(shù)的定義 ①正比例函數(shù)； ②反比例函數(shù)； ③一次函數(shù)； ④二次函數(shù)； ⑤冪函數(shù)（） 2、例題解析 〖例1〗已知函數(shù)f(x)=(m2-m-1)x-5m-3,m為何值時(shí)，f(x)： (1)是冪函數(shù)； (2)是冪函數(shù)，且是(0，+∞)上的增函數(shù)； (3)是正比例函數(shù)； (4)

2、是反比例函數(shù). 【方法詮釋】利用冪函數(shù)必須滿足的三個(gè)特征，構(gòu)建關(guān)于m的式子求解(1)(2)；利用正比例函數(shù)、反比例函數(shù)的定義，構(gòu)建關(guān)于m的方程，求解(3)(4). 解析：(1)∵f(x)是冪函數(shù)，故m2-m-1=1,即m2-m-2=0, 解得m=2或m=-1. (2)若f(x)是冪函數(shù)，且又是(0,+∞)上的增函數(shù)， 則∴m=-1. (3)若f(x)是正比例函數(shù)， 則-5m-3=1,解得 此時(shí)m2-m-1≠0,故 (4)若f(x)是反比例函數(shù)，則-5m-3=-1, 則此時(shí)m2-m-1≠0,故 2 / 13 〖例2〗已知y=(m2+2m-2)·+(2n-3)

3、是冪函數(shù)，求m、n的值. 思路解析：本題是求實(shí)數(shù)m、n的值，由于已知冪函數(shù)的解析式，因此在解題方法上可從冪函數(shù)的定義入手，利用方程思想解決. 解答：由題意得：，解得，所以，。 二、冪函數(shù)的圖象與性質(zhì) （一）冪函數(shù)的圖象及應(yīng)用 1、相關(guān)鏈接 冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)由于的值不同而比較復(fù)雜，一般從三方面考查： （1）的正負(fù)：>0時(shí)，圖象過(guò)原點(diǎn)和（1，1），在第一象限的圖象上升；<0時(shí)，圖象不過(guò)原點(diǎn)，在第一象限的圖象下降，反之也成立； （2）曲線在第一象限的凹凸性：>1時(shí)，曲線下凸；0<<1時(shí)，曲線上凸；<0時(shí)，曲線下凸； （3）=（其中，且互質(zhì)）

4、。 ①當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)； ②當(dāng)都為奇數(shù)時(shí)，為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)； ③當(dāng)為偶數(shù)，為奇數(shù)時(shí)，為非奇非偶函數(shù)，其圖象只能在第一象限。 (4)冪函數(shù)的圖象最多只能出現(xiàn)在兩個(gè)象限內(nèi)； (5)如果冪函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸相交，則交點(diǎn)一定是原點(diǎn). 注：冪函數(shù)的圖象無(wú)論取何實(shí)數(shù)，其必經(jīng)過(guò)第一象限，且一定不經(jīng)過(guò)第四象限。 2、例題解析 〖例1〗已知點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，點(diǎn)，在冪函數(shù)的圖象上．定義試求函數(shù)h(x)的最大值以及單調(diào)區(qū)間. 【方法詮釋】本題是求函數(shù)h(x)的最大值以及單調(diào)區(qū)間，只需作出其圖象,數(shù)形結(jié)合求解即可，但由于在條件中已知函數(shù)h(x)在相應(yīng)段上的解

5、析式，所以，在求解方法上，應(yīng)在每一段上求最大值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，同時(shí)要注意函數(shù)端點(diǎn)值． 解析：設(shè)冪函數(shù)為f(x)=xα，因?yàn)辄c(diǎn)在f(x)的圖象上，所以所以α=2，即f(x)=x2；又設(shè)g(x)=xβ，點(diǎn)()在g(x)的圖象上，所以(－2)β=，所以β=－2， 即g(x)=x－2.在同一直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)f(x)與g(x)的圖象，如圖所示： 則有： 根據(jù)圖象可知：函數(shù)的最大值等于1，單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，－1)和(0，1)，單調(diào)遞減區(qū)間是(－1，0)和(1，+∞). 注：解決與冪函數(shù)圖象有關(guān)的問(wèn)題，常利用其單調(diào)性、奇偶性、最值(值域)等性質(zhì)去確認(rèn)與應(yīng)用，而與冪函數(shù)有關(guān)的函

6、數(shù)的性質(zhì)的研究，常利用其相應(yīng)冪函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合求解. 〖例2〗 已知函數(shù) （1） 求的單調(diào)區(qū)間； （2） 比較與的大小 （3） 解答：（1）方法一： =1+，其圖象可由冪函數(shù)向左平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位得到，如圖： 所以該函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)。 方法二：=1+，設(shè)在定義域內(nèi)，則 （2）∵圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，又∵ 。 （二）冪函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用 1、相關(guān)鏈接 <一>比較冪值大小的類(lèi)型及方法 (1)當(dāng)冪的底數(shù)相同，指數(shù)不相同時(shí)，可以利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較； (2)當(dāng)冪的底數(shù)不同，指數(shù)相同時(shí)，可以利用冪函數(shù)的單調(diào)性比較

7、； (3)當(dāng)冪的底數(shù)與指數(shù)都不同時(shí)，一種方法是作商，比較商值與1的大小關(guān)系，確定兩個(gè)冪值的大小關(guān)系；另一種方法是找中介值，即找中間量，通過(guò)比較兩個(gè)冪值與中間量的大小，確定兩冪值的大小關(guān)系； (4)比較多個(gè)冪值的大小，一般也采用中間量法，即先判斷每個(gè)冪值與0、1等數(shù)的大小關(guān)系，據(jù)此將它們分成若干組，然后將同一組內(nèi)的各數(shù)再比較大小，最后確定各數(shù)間的大小關(guān)系. <二>冪函數(shù)y=xα的性質(zhì) (1)定義域、值域及奇偶性,要視α的具體值而定. (2)當(dāng)α＞0時(shí)，冪函數(shù)在(0，+∞)上是增函數(shù)，當(dāng)α＜0時(shí)，冪函數(shù)在(0，+∞)上是減函數(shù). 2、例題解析 【例1】(1)試比較0.40

8、.2,0.20.2,20.2,21.6的大小. (2)已知冪函數(shù)y=x3m-9(m∈N*)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，且在(0，+∞)上函數(shù)值隨x的增大而減小，求滿足的a的取值范圍. 【解題指南】(1)前三個(gè)同指數(shù)的冪值用冪函數(shù)y=x0.2的單調(diào)性比較，而后兩個(gè)同底數(shù)的冪值利用指數(shù)函數(shù)y=2x的單調(diào)性比較. (2)利用冪函數(shù)的性質(zhì)，構(gòu)建出m的不等式，并求出m的值，再根據(jù)其單調(diào)性，由關(guān)于a的已知不等式，構(gòu)建a的不等式，從而求出a的范圍. 【規(guī)范解答】(1)因?yàn)楹瘮?shù)y=x0.2在R上為增函數(shù)， 且0.2＜0.4＜2, ∴0.20.2 ＜0.40.2＜20.2, 又函數(shù)y=2x在R上為增函數(shù)，

9、且0.2＜1.6, ∴20.2＜21.6, ∴0.20.2＜0.40.2＜20.2＜21.6. (2)∵函數(shù)在(0，+∞)上遞減， ∴3m-9<0，∴m<3， ∵m∈N*，∴m=1,2. 又∵函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)， ∴3m-9為偶數(shù)， 當(dāng)m=1時(shí),3m-9=-6為偶數(shù)， 當(dāng)m=2時(shí),3m-9=-3為奇數(shù)， 而在(-∞,0)，(0，+∞)上均為減函數(shù)， 等價(jià)于 a+1>3-2a>0或0>a+1>3-2a或 a+1<0<3-2a， 解得a<-1或 ∴a的取值范圍是{a|a<-1或}. 三、

10、冪函數(shù)中的三類(lèi)討論題 所謂分類(lèi)討論，實(shí)質(zhì)上是“化整為零，各個(gè)擊破，再積零為整”的策略． 分類(lèi)討論時(shí)應(yīng)注重理解和掌握分類(lèi)的原則、方法與技巧，做到確定對(duì)象的全體，明確分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)，不重、不漏的分類(lèi)討論．在冪函數(shù)中，分類(lèi)討論的思想得到了重要的體現(xiàn)，可根據(jù)冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)，依據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性分類(lèi)討論，使得結(jié)果得以實(shí)現(xiàn)． 類(lèi)型一：求參數(shù)的取值范圍 〖例1〗已知函數(shù)為偶函數(shù)，且，求m的值，并確定的解析式． 分析：函數(shù)為偶函數(shù)，已限定了必為偶數(shù)，且，，只要根據(jù)條件分類(lèi)討論便可求得m的值，從而確定的解析式． 解：∵是偶函數(shù)，∴應(yīng)為偶數(shù)． 又∵，即，整理，得，∴，∴． 又∵，∴或1． 當(dāng)m=0

11、時(shí)，為奇數(shù)（舍去）；當(dāng)時(shí)，為偶數(shù)． 故m的值為1，． 評(píng)注：利用分類(lèi)討論思想解題時(shí)，要充分挖掘已知條件中的每一個(gè)信息，做到不重不漏，才可為正確解題奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)． 類(lèi)型二：求解存在性問(wèn)題 例2　已知函數(shù)，設(shè)函數(shù)，問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)，使得在區(qū)間是減函數(shù)，且在區(qū)間上是增函數(shù)？若存在，請(qǐng)求出來(lái)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 分析：判斷函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，可以利用定義，也可結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行判斷，但要注意問(wèn)題中符號(hào)的確定，要依賴(lài)于自變量的取值區(qū)間． 解：∵，則． 假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得滿足題設(shè)條件， 設(shè)，則 若，易知，，要使在上是減函數(shù)，則應(yīng)有恒成立． ∵，，∴．而， ∴.． 從而

12、要使恒成立，則有，即． 若，易知，要使在上是增函數(shù)，則應(yīng)有恒成立． ∵，， ∴，而，∴． 要使恒成立，則必有，即． 綜上可知，存在實(shí)數(shù)，使得在上是減函數(shù)，且在上是增函數(shù)． 注：本題是一道綜合性較強(qiáng)的題目，是冪函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用．判斷函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，可從定義入手，也可根據(jù)函數(shù)圖象和性質(zhì)進(jìn)行判斷，但對(duì)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力要求較高，這在平時(shí)要注意有針對(duì)性的訓(xùn)練． 類(lèi)型三：類(lèi)比冪函數(shù)性質(zhì)，討論函數(shù)值的變化情況 例3　討論函數(shù)在時(shí)隨著x的增大其函數(shù)值的變化情況． 分析：首先應(yīng)判定函數(shù)是否為常數(shù)函數(shù)，再看冪指數(shù)，并參照冪函數(shù)的性質(zhì)討論． 解：（1）當(dāng)，即或時(shí)，為常函數(shù)；

13、（2）當(dāng)時(shí)，或，此時(shí)函數(shù)為常函數(shù)； （3）即時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)，函數(shù)值隨x的增大而減小； （4）當(dāng)即或時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，函數(shù)值隨x的增大而增大； （5）當(dāng)即時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，函數(shù)值隨x的增大而增大； （6）當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)，函數(shù)值隨x的增大而減小． 評(píng)注：含參數(shù)系數(shù)問(wèn)題，可以說(shuō)是解題中的一個(gè)致命殺手，是導(dǎo)致錯(cuò)誤的一個(gè)重要因素．這應(yīng)引起我們的高度警覺(jué)． 冪函數(shù)這一知識(shí)點(diǎn)，表面上看內(nèi)容少而且容易，實(shí)質(zhì)上則不然．它蘊(yùn)涵了數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想，是培養(yǎng)同學(xué)們數(shù)學(xué)思維能力的良好載體．下面通過(guò)一題多變的方法探究?jī)绾瘮?shù)性質(zhì)的應(yīng)用． 希望對(duì)大家有所幫助，多謝您的瀏覽！