《2014年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 熱點(diǎn)難點(diǎn)精講精析 7.3空間向量》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2014年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 熱點(diǎn)難點(diǎn)精講精析 7.3空間向量（36頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 2014年高考一輪復(fù)習(xí)熱點(diǎn)難點(diǎn)精講精析：7.3空間向量 一、直線的方向向量與直線的向量方程、平面的法向量與平面的向量表示 （一）用向量法證明平行、垂直 ※相關(guān)鏈接※ 1.用向量證明線面平行的方法有： (1)證明該直線的方向向量與平面的某一法向量垂直； (2)證明該直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行； (3)證明該直線的方向向量可以用平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量線性表示. 2.用向量法證垂直問(wèn)題 (1)證明線線垂直,只需證明兩直線的方向向量數(shù)量積為0; (2)證明線面垂直,只需證明直線的方向向量與平面的法向量共線,或利用線面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為證明線線垂直;

2、(3)證明面面垂直,只需證明兩平面的法向量的數(shù)量積為0,或利用面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為證明線面垂直. 3．利用直線的方向向量和平面的法向量，可以判定直線與直線,直線與平面，平面與平面的平行和垂直. （1）設(shè)直線的方向向量為直線的方向向量為則 （2）設(shè)直線l的方向向量為平面α的法向量為則 （3）設(shè)平面α的法向量為平面β的法向量則 ※例題解析※ 〖例〗如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,PC=2,在四邊形ABCD中,∠B=∠C=90,AB=4,CD=1,點(diǎn)M在PB上,PB=4PM,PB與平面ABCD成30的角. 2 / 36 (1)求證:CM∥

3、平面PAD; (2)求證:平面PAB⊥平面PAD. 思路解析：題目中存在從點(diǎn)C出發(fā)的三條兩兩垂直的直線,故可建立空間直角坐標(biāo)系,用向量的坐標(biāo)運(yùn)算證明線面平行,線線垂直,面面垂直. 解答：以C為坐標(biāo)原點(diǎn),CB所在直線為x軸,CD所在直線為y軸，CP所在直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Cxyz. ∵PC⊥平面ABCD, ∴∠PBC為PB與平面ABCD所成的角， ∴∠PBC=30. ∵PC=2,∴BC=,PB=4. ∴D(0,1,0),B(,0,0), A(,4,0),P(0,0,2),M(), ∴=(0,-1,2), =(,3,0), =(), （1）令為平面PAD

4、的一個(gè)法向量，則 即 令y=2,得 （2）取AP的中點(diǎn)E，則 （二）異面直線所成的角 ※相關(guān)鏈接※ 高考中對(duì)異面直線所成的角的考查,一般出現(xiàn)在綜合題的某一步,一般步驟為: (1)平移：要充分挖掘圖形的性質(zhì),尋找平行關(guān)系,如利用“中點(diǎn)”特征等. (2)證明：證明所作的角是異面直線所成的角. 尋找：在立體圖形中，尋找或作出含有此角的三角形，并解之. (4)取舍：因?yàn)楫惷嬷本€所成的角θ的取值范圍是0<θ≤90，所以所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為異面直線所成的角. 若用向量法，則轉(zhuǎn)化為求兩向量的夾角. ※例題解析※ 〖例〗如圖,矩形ABCD和梯形B

5、EFC所在平面互相垂直，BE//CF，BC⊥CF,,EF=2，BE=3，CF=4. (Ⅰ)求證：EF⊥平面DCE； (Ⅱ)當(dāng)AB的長(zhǎng)為何值時(shí),二面角A-EF-C的大小為60． 解析：（Ⅰ）證明：在△BCE中，BC⊥CF,BC=AD=,BE=3，∴EC=， ∵在△FCE中，CF2=EF2+CE2，∴EF⊥CE………………3分 由已知條件知，DC⊥平面EFCB,∴DC⊥EF， 又DC與EC相交于C，……………………………………5分 ∴EF⊥平面DCE……………………6分 （Ⅱ）如圖，以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以CB，CF和CD分別作為x軸，y軸和z軸，建立空間直角坐標(biāo)系C-xy

6、z．……………………7分 設(shè)AB=a（a >0），則C(0,0,0)，A(,0,a)，B(，0，0），E(，3，0），F(xiàn)（0，4，0）． 從而………………9分 設(shè)平面AEF的法向量為，由得， ，取x=1，則， 即，…………………………11分 不妨設(shè)平面EFCB的法向量為， 由條件，得 解得．所以當(dāng)時(shí)，二面角A-EF-C的大小為60． （三）利用向量法解決開(kāi)放性問(wèn)題 ※相關(guān)鏈接※ 1.開(kāi)放性問(wèn)題是近幾年高考的一種常見(jiàn)題型，這類問(wèn)題具有一定的思維深度，用向量法較容易解決. 2.對(duì)于探索性問(wèn)題，一般先假設(shè)存在，設(shè)出空間點(diǎn)的坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程是否有解

7、的問(wèn)題，若有解且滿足題意則存在，若有解但不滿足題意或無(wú)解則不存在. ※例題解析※ 〖例〗如圖，已知正方形OBCD所在平面與等腰直角三角形AOD所在平面互相垂直，OA=OD=4，點(diǎn)E、F分別為CD、OA的中點(diǎn). (1)求證：DF∥平面AEB； (2)線段AD上是否存在一點(diǎn)M，使BM與平面AEB所成角的正弦值為？若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 思路解析：第(1)問(wèn)用傳統(tǒng)方法證明，即利用中位線定理在平面AEB內(nèi)找一條直線與DF平行；第(2)問(wèn)用向量法解答比較容易入手. 解答：(1)如圖，取AB中點(diǎn)G，連結(jié)FG，EG； ∵FG∥OB， ∴FG∥DE， 又FG=

8、OB，DE=OB， ∴FG=DE， ∴四邊形EDFG為平行四邊形， ∴DF∥EG， 又EG平面AEB，DF平面AEB， ∴DF∥平面AEB. (2)依題意知平面OBCD⊥平面AOD，OB⊥OD， ∴OB⊥平面AOD，得OB⊥OA， 又AO⊥OD，OB⊥OD. 如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz， ∵AO=OD=4，可得A(0，4，0)、E(4，0，2)、B(0，0，4)， ∴=(4，-4，2)，=(0，-4，4). 設(shè)平面AEB的一個(gè)法向量為=(1，b，c)， 解得b=2，c=2， ∴=(1，2，2). 設(shè)線段AD上存在一點(diǎn)M(t，4-t，0)，

9、其中0≤t≤4，則=(t,4-t,-4). 可得t2+2t-8=0，解得t=2或t=-4(舍去). 所以AD上存在一點(diǎn)M(2，2，0)，它是AD的中點(diǎn)， 所以 二、空間直角坐標(biāo)系 （一）求空間中點(diǎn)的坐標(biāo) ※相關(guān)鏈接※ 1、通過(guò)分析幾何體的特點(diǎn)，恰當(dāng)?shù)慕⒆鴺?biāo)系，可以方便的寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)，“恰當(dāng)”的原則是：①充分利用幾何體的垂直關(guān)系；②盡可能的讓點(diǎn)落在坐標(biāo)軸或坐標(biāo)平面上。 注：不同的建系方法，求出的點(diǎn)的坐標(biāo)也不同。 2、求空間點(diǎn)P坐標(biāo)的方法 方法一：（1）過(guò)點(diǎn)P作一個(gè)平面平行于坐標(biāo)平面yOz,這個(gè)平面與x軸的交點(diǎn)記為，它在x軸上的坐標(biāo)為x,這個(gè)數(shù)x叫做點(diǎn)P的橫坐

10、標(biāo)； （2）過(guò)點(diǎn)P作一個(gè)平面平行于坐標(biāo)平面xOz，這個(gè)平面與y軸的交點(diǎn)記為，它在y軸上的坐標(biāo)為y，這個(gè)數(shù)y叫做點(diǎn)P的縱坐標(biāo)； （3）過(guò)點(diǎn)P作一個(gè)平面平行于坐標(biāo)平面xOy,這個(gè)平面與z軸的交點(diǎn)記為，它在z軸上的坐標(biāo)為z,這個(gè)數(shù)z叫做點(diǎn)P的豎坐標(biāo)。顯然x軸上點(diǎn)的坐標(biāo)形如(x,0,0),xOy平面上點(diǎn)的坐標(biāo)形如(x,y,0). 方法二：從點(diǎn)P向三個(gè)坐標(biāo)平面作垂線，所得點(diǎn)P到三個(gè)平面的距離等于點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的絕對(duì)值，進(jìn)而可求點(diǎn)P的坐標(biāo)。 ※例題解析※ 〖例〗已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，M為A1C1中點(diǎn)，N為AB1中點(diǎn)，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，寫(xiě)出M，N兩點(diǎn)的坐標(biāo)。 思路解析：

11、利用正方體的共頂點(diǎn)的三棱兩兩垂直建系，然后用求空間中點(diǎn)的坐標(biāo)的方法來(lái)求。 解答：如圖， 以A為原點(diǎn)，AB，AD，AA1分別為x,y,z軸的正半軸建立空間坐標(biāo)系。從M點(diǎn)分別向平面yAz,平面xAz,平面xAy作垂線?！哒襟w的棱長(zhǎng)為2，∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,1,2).同理，N點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0,1). （二）空間中點(diǎn)的對(duì)稱問(wèn)題 ※相關(guān)鏈接※ 1、常見(jiàn)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律 在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P(x,y,z),則點(diǎn)P （1）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是(-x,-y,-z); （2）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是(x,-y,-z); （3）關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)是(-x,y,-z); （4）關(guān)于z

12、軸的對(duì)稱點(diǎn)是(-x,-y,z); （5）關(guān)于xOy坐標(biāo)面的對(duì)稱點(diǎn)是(x,y,-z); （6）關(guān)于yOz坐標(biāo)面的對(duì)稱點(diǎn)是(-x,y,z); （7）關(guān)于zOx坐標(biāo)面的對(duì)稱點(diǎn)是(x,-y,z). 2、中點(diǎn)坐標(biāo)公式 若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),則線段AB的中點(diǎn)P的坐標(biāo)為 3、利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式也可求對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)。 ※例題解析※ 〖例〗已知矩形ABCD中，A（4，1，3），B（2，-5，1），C（3，7，-5），求頂點(diǎn)D的坐標(biāo) 思路解析：AC的中點(diǎn)即為BD中點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求 解答：∵矩形的對(duì)角線互相平分，∴AC的中點(diǎn)即為BD的中點(diǎn)。由已知，AC中點(diǎn)M為(，

13、4，-1)。設(shè)D(x,y,z),則∴x=5,y=13,z=-3.∴D(5,13,-3). （三）空間兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用 〖例〗已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=900，AB=AC=AA1=2，M為BC1的中點(diǎn)，N為A1B1的中點(diǎn)，求|MN| 思路解析：建立空間直角坐標(biāo)系確定點(diǎn)M、N的坐標(biāo)求|MN|。 解答：如圖， 以A為原點(diǎn)，AB，AC，AA1為x軸，y軸，z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，則B（2，0，0），C1（0，2，2），A1（0，0，2），B1（2，0，2），∴N（1，0，2），M（1，1，1）?！鄚MN|=。 注：利用空間中兩點(diǎn)間的距離公式，可以

14、求兩點(diǎn)間的距離或某線段的長(zhǎng)，只要建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，通過(guò)簡(jiǎn)單的坐標(biāo)運(yùn)算即可解決。 三、空間向量及其運(yùn)算 （一）空間向量的線性運(yùn)算 ※相關(guān)鏈接※ 用已知向量表示未知向量，一定要結(jié)合圖形?？蓮囊韵陆嵌热胧帧? （1）要有基向量意識(shí)，把有關(guān)向量盡量統(tǒng)一到基向量上來(lái)； （2）把要表示感謝向量標(biāo)在封閉圖形中，表示為其他向量的和差的形式，進(jìn)而尋找這些向量與基向量的關(guān)系。 （3）用基向量表示一個(gè)向量時(shí)，如果此向量的起點(diǎn)是從基底的公共點(diǎn)出發(fā)的，一般考慮用加法，否則考慮用減法，如果此向量與一個(gè)易求的向量共線，可用數(shù)乘。 （4）注意應(yīng)用以下結(jié)論， ①A為BC中點(diǎn)，O為空間任一點(diǎn)，則 ②A、B、C三

15、點(diǎn)共線，O為空間任一點(diǎn)，則λ+（1-λ）等。 ※例題解析※ 〖例〗如圖所示，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，設(shè)=，，，M、N、P分別是AA1、BC、C1D1的中點(diǎn)，試用，，表示以下各向量： （1）；（2）；（3） 思路解析：結(jié)合圖形，利用空間向量加減法及數(shù)乘運(yùn)算法則和運(yùn)算律即可。 解答：（1）∵P是C1D1的中點(diǎn)， ∴ （2）∵N是BC的中點(diǎn)，∴， 又， ∴ （二）共線向量定理、共面向量定理的應(yīng)用 ※相關(guān)鏈接※ 應(yīng)用共線向量定理、共面向量定理，可以證明點(diǎn)共線、點(diǎn)共面、線共面。 1、證明空間任意三點(diǎn)共線的方法 對(duì)空間三點(diǎn)P，A，B可通過(guò)證明下列結(jié)論成

16、立來(lái)證明三點(diǎn)共線： （1） （2）對(duì)空間任一點(diǎn)O， （3）對(duì)空間任一點(diǎn)O， 2、證明空間四點(diǎn)共面的方法 對(duì)空間四點(diǎn)P，M，A，B可通過(guò)證明下列結(jié)論成立來(lái)證明四點(diǎn)共面 （1） （2）對(duì)空間任一點(diǎn)O， （3）對(duì)空間任一點(diǎn)O，； （4） 注：在（3）中，若，則點(diǎn)P即為ΔMAB的重心。 若則若P為ΔMAB的重心，則，此即為三角形重心坐標(biāo)公式。 ※例題解析※ 〖例〗設(shè)A，B，C及A1，B1，C1分別是異面直線上的三點(diǎn)，而M，N，P，Q分別是線段AA1，BA1，BB1，CC1的中點(diǎn)，求證：M，N，P，Q四點(diǎn)共面。 思路解析： 解答：由題意得，，又A，B，C及A1，

17、B1，C1分別共線，∴， ∴ （三）空間向量的數(shù)量積運(yùn)算 〖例〗如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC1⊥AB1，BC1⊥A1C，求證：AB1=A1C。 思路解析：利用直棱柱的性質(zhì)，可證明AB=AC，則AB1=A1C。 解答：。 同理：， 注：（1）利用向量的數(shù)量積，可以求異面直線所成的角，兩點(diǎn)間的距離，證明垂直等問(wèn)題。當(dāng)題目條件中有垂直關(guān)系時(shí)，轉(zhuǎn)化為數(shù)量積為零進(jìn)行應(yīng)用，非常方便。 （2）利用向量解決幾何體中的長(zhǎng)度、夾角、垂直等問(wèn)題的基本思路是先根據(jù)已知條件選擇基向量，并求出其長(zhǎng)度和數(shù)量積，再用基向量表示出有關(guān)的向量，并進(jìn)行向量運(yùn)算，從而得出相關(guān)結(jié)論

18、。 （四）空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算 ※相關(guān)鏈接※ 空間向量的有關(guān)運(yùn)算 設(shè) （1）坐標(biāo)運(yùn)算 （2）共線與垂直的坐標(biāo)表示 （均為非零向量）。 （3）模和距離公式 若則 ※例題解析※ 〖例〗設(shè)向量計(jì)算以及 所成角的余弦值，并確定λ，μ應(yīng)滿足的條件，使與z軸垂直。 思路解析：代入向量坐標(biāo)運(yùn)算的公式求，利用數(shù)量積求的夾角余弦值，利用確定λ，μ的關(guān)系。 解答：=（6，10，-8）+（6，3，24）=（12，13，16）。 =3（3，5，-4）-2（2，1，8）=（9，15，-12）-（4，2，16）=（5，13，-28）。 =(3,5,-4)(2,1,

19、8)=6+5-32=-21. ∵ ∴ 由=(3λ+2μ,5λ+μ,-4λ+8μ)(0,0,1)=-4λ+8μ=0,即λ=2μ, ∴當(dāng)λ,μ滿足λ=2μ時(shí),可使與z軸垂直 四、立體幾何中的向量方法 （一）利用空間向量證明平行和垂直 ※相關(guān)鏈接※ 利用直線的方向向量和平面的法向量，可以判定直線與直線，直線與平面，平面與平面的平行和垂直。 （1）設(shè)直線的方向向量為，直線的方向向量為，則∥ （2）設(shè)直線的方向向量為，平面α的法向量為，則∥α （3）設(shè)平面α的法向量為，平面β的法向量為，則α∥β ※例題解析※ 〖例〗如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，

20、AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=600，PA=AB=BC，E是PC的中點(diǎn)。 （1）證明AE⊥CD； （2）證明：PD⊥平面ABE。 思路解析：①建立空間直角坐標(biāo)系確定的坐標(biāo)計(jì)算AE⊥CD； ②求面ABE的法向量判斷滿足PD⊥平面ABE或確定坐標(biāo)計(jì)算 PD⊥平面ABE 解答：（1）∵AB、AD、AP兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 設(shè)PA=AB=BC=1，則P（0，0，1）。 （二）利用空間向量求點(diǎn)面距 ※相關(guān)鏈接※ 利用向量法求點(diǎn)面距，其步驟如下： （1）求出該平面的一個(gè)法向量； （2）找出過(guò)該點(diǎn)的平面的任一條斜線

21、段對(duì)應(yīng)的向量； （3）求出法向量與斜線段所對(duì)應(yīng)向量的數(shù)量積的絕對(duì)值再除以法向量的模，即可求出點(diǎn)面平面的距離，如圖： 點(diǎn)P到平面α的距離 由于可以視為平面的單位法向量，所以點(diǎn)到平面的距離實(shí)質(zhì)就是平面的單位法向量與從該點(diǎn)出發(fā)的斜線段所對(duì)應(yīng)向量的數(shù)量積的絕對(duì)值，即。 ※例題解析※ 〖例〗（北京卷16）如圖，在三棱錐中，，，，． （Ⅰ）求證：； （Ⅱ）求二面角的大?。? （Ⅲ）求點(diǎn)到平面的距離． 思路解析：題中（I）利用證明；題中（II）（III）可利用題中（I）的結(jié)論：PC，AC，BC兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系求解。 解法一： A C B D P （Ⅰ）取中點(diǎn)，連結(jié)．

22、 ， ． ， ． ， 平面． 平面， ． （Ⅱ），， A C B E P ． 又， ． 又，即，且， 平面． 取中點(diǎn)．連結(jié)． ，． 是在平面內(nèi)的射影， ． 是二面角的平面角． 在中，，，， ． A C B D P H 二面角的大小為． （Ⅲ）由（Ⅰ）知平面， 平面平面． 過(guò)作，垂足為． 平面平面， 平面． 的長(zhǎng)即為點(diǎn)到平面的距離． 由（Ⅰ）知，又，且， 平面． 平面， ． 在中，，， ． ． 點(diǎn)到平面的距離為． 解法二： （Ⅰ），， ． 又， ． ， 平面． 平面

23、， ． （Ⅱ）如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系． A C B P z x y H E 則． 設(shè)． ， ，． 取中點(diǎn)，連結(jié)． ，， ，． 是二面角的平面角． ，，， ． 二面角的大小為． （Ⅲ）， 在平面內(nèi)的射影為正的中心，且的長(zhǎng)為點(diǎn)到平面的距離． 如（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系． ， 點(diǎn)的坐標(biāo)為． ． 點(diǎn)到平面的距離為． （三）利用空間向量求空間角 〖例〗湖北卷18.（本小題滿分12分） 如圖，在直三棱柱中，平面?zhèn)让? （Ⅰ）求證：； （Ⅱ）若直線與平面所成的角為,二面角的大小為，試判斷與的大小關(guān)系，并予以證明. 思路解

24、析：（I）利用面面垂直的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為線面垂直，再證線面垂直，進(jìn)而得到線線垂直； （II）建立空間直角坐標(biāo)系，求出與的某個(gè)三角函數(shù)值，然后比較兩角的大小。 解答：本小題主要考查直棱柱、直線與平面所成角、二面角和線面關(guān)系等有關(guān)知識(shí)，同時(shí)考查空間想象能力和推理能力. （Ⅰ）證明：如右圖，過(guò)點(diǎn)A在平面A1ABB1內(nèi)作AD⊥A1B于D，則 由平面A1BC⊥側(cè)面A1ABB1,且平面A1BC側(cè)面A1ABB1=A1B,得 AD⊥平面A1BC,又BC平面A1BC， 所以AD⊥BC. 因?yàn)槿庵鵄BC—A1B1C1是直三棱柱， 則AA1⊥底面ABC， 所以AA1⊥BC. 又AA1AD=A

25、,從而B(niǎo)C⊥側(cè)面A1ABB1， 又AB側(cè)面A1ABB1，故AB⊥BC. （Ⅱ）解法1：連接CD，則由（Ⅰ）知是直線AC與平面A1BC所成的角， 是二面角A1—BC—A的平面角，即 于是在Rt△ADC中，在Rt△ADB中， 由AB＜AC，得又所以 解法2：由（Ⅰ）知，以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，以BC、BA、BB1所在的直線分 別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AA1=a,AC=b, AB=c,則 B(0,0,0), A(0,c,0), 于是 [ 設(shè)平面A1BC的一個(gè)法向量為n=(x,y,z)，則 由得 可取n=(0,-a,c)，于是與n的夾角為銳角，則與互為余角. 所以 于是由c＜b，得 即又所以 注：求空間角（異面直線所成的角，直線與平面所成的角，二面角）一直是高考的熱點(diǎn)，如果用幾何法求需要作出這些角的平面角，對(duì)空間想象能力要求高。而用向量法求解時(shí)，只需利用公式。通過(guò)簡(jiǎn)單的向量運(yùn)算即可解決，顯示了向量這一工具巨大的作用。求二面角時(shí)，可以利用法向量求。 希望對(duì)大家有所幫助，多謝您的瀏覽！