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1、 2014年高考一輪復(fù)習(xí)熱點(diǎn)難點(diǎn)精講精析：4.1平面向量 一、平面向量的概念及其線性運(yùn)算 （一）向量的有關(guān)概念 ※相關(guān)鏈接※ 1、著重理解向量以下幾個方面： （1）向量的模；（2）向量的方向；（3）向量的幾何表示；（4）向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)。 2、判定兩個向量的關(guān)系時，特別注意以下兩種特殊情況： （1）零向量的方向及與其他向量的關(guān)系； （2）單位向量的長度及方向。 ※例題解析※ 【例1】下列結(jié)論中，不正確的是 （ ） 向量，共線與向量//同義； 若向量//，則向量與共線；

2、若向量=，則向量=； 只要向量，滿足||=||，就有=。 解答：選。根據(jù)平行向量（或共線向量）定義知，B均正確；根據(jù)向量相等的概念知C正確，不正確。 【例2】給出下列命題： ①有向線段就是向量，向量就是有向線段； ②若則BCD為平行四邊形； ③若 ④若。 其中正確命題的個數(shù)是 （ ） （）0 （B）1 （C）2 （）3 思路解析：正確理解向量的有關(guān)概念是解決本題的關(guān)鍵。注意到特殊情況，否定某個命題只要舉出一個反倒即可。 2 / 20 解答：選B。①錯，向量

3、可用有向線段表示，但并不是有向線段。②錯，因?yàn)閯t可能、B、C、四點(diǎn)在一條直線上。③正確。④錯，若，則對不共線的向量與，也有//，//，但與不平行。 （二）向量的線性運(yùn)算 ※相關(guān)鏈接※ （1）用已知向量來表示別外一些向量是用向量解題的基本功，除利用向量的加、減法、數(shù)乘向量外，還應(yīng)充分利用平面幾何的一些定理； （2）在求向量時要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，運(yùn)用平行四邊形法則、三角形法則，利用三角形中位線，相似三角形對應(yīng)邊成比例等平面幾何的性質(zhì)，把未知向量轉(zhuǎn)化為與已知向量有直接關(guān)系的向量求解。 注：若為BC的中點(diǎn)，則。 ※例題解析※ 〖例1〗在ΔBC中， 。 思路解析：解

4、本題要進(jìn)行向量的加、減法外，還有數(shù)乘向量運(yùn)算，如 在進(jìn)行計算時要充分利用∽ΔBC，ΔADN∽ΔABM等條件。 解答： 由ΔADE∽ΔABC，得，又AM是ΔABC的中線，DE//BC，且AM與DE交于點(diǎn)N，得 。 〖2〗在ΔOAB中， 延長BA到C，使AC=BA，在OB上取點(diǎn)D，使。DC與OA交于E，設(shè)用表示向量及向量。 解答：∵A是BC的中點(diǎn)，∴，即 （三）向量的共線問題 〖例〗設(shè)兩個非零向量與不共線， （1） 若求證：A、B、三點(diǎn)共線； （2） 試確定實(shí)數(shù)k，使和共線 （3） 思路解析：（1）由已知求判斷和的關(guān)系判斷、B、D的關(guān)系；（2）應(yīng)用共

5、線向量的充要條件列方程組解方程組得k值。 解答：（1）∵ ∴ ∴、共線，又∵它們有公共點(diǎn)B，∴、B、三點(diǎn)共線 （2）∵和共線，∴存在實(shí)數(shù)λ，使=λ（），即=?！唷?、是不共線的兩個非零向量，∴=，∴-1=0?！?1。 注：（1）向量共線的充要條件中要注意當(dāng)兩向量共線量時，通常只有非零向量才能表示與之共線的其他向量，要注意待定系數(shù)法的運(yùn)用和方程思想。 （2）證明三點(diǎn)共線問題，可用向量共線來解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時，才能得出三點(diǎn)共線。 二、平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示 （一）平面向量基本定理及其應(yīng)用 ※相關(guān)鏈接※ 1、以平面內(nèi)

6、任意兩個不共線的向量為一組基底，該平面內(nèi)的任意一個向量都可表示成這組基底的線性組合，基底不同，表示也不同； 2、對于兩個向量，，將它們用同一組基底表示，我們可通過分析這兩個表示式的關(guān)系，來反映與的關(guān)系； 3、利用已知向量表示未知向量，實(shí)質(zhì)就是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加減運(yùn)算或進(jìn)行數(shù)乘運(yùn)算。 注：由于基底向量不共線，所以不能作為一個基底向量。 ※例題解析※ 〖例〗如圖：在平行四邊形BC中，M，N分別為DC，BC的中點(diǎn)，已知試用表示。 思路解析：直接用表示有難度，可換一個角度，由表示，，進(jìn)而解方程組可求。 解答：方法一：設(shè),則 ① ② 將②代入①得代入②

7、得 方法二：設(shè)因M，N分別為CD，BC中點(diǎn)，所以 因而 即 （二）平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 ※相關(guān)鏈接※ 1、向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用加、減、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)，解題過程中要注意方程思想的運(yùn)用； 2、利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解題。主要是根據(jù)相等的向量坐標(biāo)相同這一原則，通過列方程（組）進(jìn)行求解； 3、利用坐標(biāo)運(yùn)算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出線性系數(shù)； 4、向量的坐標(biāo)運(yùn)算，使得向量的線性運(yùn)算都可用坐標(biāo)來進(jìn)行，實(shí)現(xiàn)了向量運(yùn)算完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密結(jié)合起來，就可以使得很多幾何問題的解答轉(zhuǎn)化為我

8、們熟知的數(shù)量運(yùn)算。 ※例題解析※ 〖例〗已知（-2，4），B（3，-1），C（-3，-4）。設(shè)且求： （1） （2）滿足的實(shí)數(shù)m,n; （3）M、N的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo)。 思路解析：利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算及向量的坐標(biāo)與其起點(diǎn)、終點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系求解。 解答：由已知得 （1）=3（5，-5）+（-6，-3）-3（1，8）=（15-6-3，-15-3-24）=（6，-42） （2）∵ ∴ （3）∵，∴。∴M（0，20）又 ∵，∴∴N（9，2）?！?。 （三）平面向量共線的坐標(biāo)表示 ※相關(guān)鏈接※ 1、凡遇到與平行有關(guān)的問題時，一般地要考慮運(yùn)用向量平行的充要條件； 2、

9、向量共線的坐標(biāo)表示提供了通過代數(shù)運(yùn)算來解決向量共線的方法，也為點(diǎn)共線、線平行問題的處理提供了容易操作的方法。解題時要注意共線向量定理的坐標(biāo)表示本身具有公式特征，應(yīng)學(xué)會利用這一點(diǎn)來構(gòu)造函數(shù)和方程，以便用函數(shù)與方程的思想解題。 ※例題解析※ 〖例〗已知當(dāng)k為何值時，與平行；平行時它們是同向還是反向？ 思路解析：將用坐標(biāo)表示將用坐標(biāo)表示應(yīng)用共線向量的充要條件求k把k代入向量判斷結(jié)果。 解答：∵=k（1，2）+（-3，2）=（k-3，2k+2），=（1，2）-3（-3，2）=（10，-4），∴與平行等價于（k-3）（-4）-10（2k+2）=0，解得k=。故當(dāng)k=時，與平行。此時=，∴與反

10、向。 注：向量平行的坐標(biāo)公式裨是把向量問題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)的運(yùn)算。通過坐標(biāo)公式建立參數(shù)的方程，通過解方程或方程組求得參數(shù)，充分體現(xiàn)了方程思想在向量中的應(yīng)用。 （四）向量與其他知識的綜合[ 〖例〗已知向量現(xiàn)向量的對應(yīng)關(guān)系用表示。 （1）設(shè)，求向量與的坐標(biāo)； （2）求使 （3）證明：對任意的向量及常數(shù)m,n恒有成立。 思路解析：本題關(guān)鍵是找出“函數(shù)” 的對應(yīng)關(guān)系，此處的變量為向量的坐標(biāo)，因此，可通過坐標(biāo)運(yùn)算來解決問題。 解答：（1）又 （2） （3） 注：對于信息處理題應(yīng)注意以下幾點(diǎn)： ①認(rèn)真領(lǐng)會題中所給信息（注意概念的內(nèi)涵與外延）； ②將所得到的信息，應(yīng)用于題目中

11、去，即解決實(shí)際問題（當(dāng)然注意條件與結(jié)論，往往是三段論推理）。 三、平面向量的數(shù)量積及平面向量應(yīng)用舉例 （一）平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算及向量的模問題 ※相關(guān)鏈接※ 1、向量的數(shù)量積有兩種計算方法，一是利用公式來計算，二是利用來計算，具體應(yīng)用時可根據(jù)已知條件的特征來選擇，同時要注意數(shù)量積運(yùn)算律的應(yīng)用。 2、利用數(shù)量積求長度問題是數(shù)量積的重要應(yīng)用，要掌握此類問題的處理方法： 〖例〗已知，與的夾角為，求：（1）；（2）。 思路解析：利用平面向量數(shù)量積的定義及其運(yùn)算律，可求出第（1）問；求可先求，再開方。 解答：（1）， ∴= （2）， ∴ （二）平面向量的垂直問題

12、※相關(guān)鏈接※ 1、非零向量 2、當(dāng)向量與是非坐標(biāo)形式時，要把、用已知的不共線的向量表示。 注：把向量都用坐標(biāo)表示，并不一定都能夠簡化運(yùn)算，要因題而異。 〖例〗已知向量，（1）求證：;（2）若存在不等于0的實(shí)數(shù)k和t，使?jié)M足試求此時的最小值。 思路解析：（1）可通過求證明; （2）由得，即求出關(guān)于k，t的一個方程，從而求出的代數(shù)表達(dá)式，消去一個量k，得出關(guān)于t的函數(shù)，從而求出最小值。 解答：（1） （2）由得：，即 （三）平面向量的夾角問題 ※相關(guān)鏈接※ 1、當(dāng)與是非坐標(biāo)形式時，求與的夾角。需求得及或得出它們的關(guān)系。 2、若已知與的坐標(biāo)，則可直接利用公式.

13、注：平面向量、的夾角 ※例題解析※ 〖例〗已知、都是非零向量，且+3與垂直，與垂直，求與的夾角θ。 思路解析：把向量垂直轉(zhuǎn)化為數(shù)量積為0聯(lián)立求與的關(guān)系應(yīng)用夾角公式求結(jié)果。 解答： （四）向量的綜合應(yīng)用 〖例1〗設(shè)ΔBC的外心為O，則圓O為ΔBC的外接圓，垂心為H。求證： 思路解析：本題的關(guān)鍵是探求的聯(lián)系，利用向量的三角形法則可得下一步需確定的關(guān)系，由條件O為ΔBC的外心，可延長BO交圓于O于點(diǎn)，連D、DC，利用圓周角是直角的性質(zhì)可證四邊形ANCD為平行四邊形，從而問題得以解決。 解答：延長BO交圓O于D點(diǎn)，連AD、DC，則BD為圓O的直徑，故∠BCD=∠BAD=900。

14、又∵AE⊥BC，DC⊥BC。各AH//DC，同理DA//CH?！嗨倪呅蜛NCD為平行四邊形，∴。 又∵∴又∵∴ 注：利用平面向量的知識解決平面幾何問題，關(guān)鍵是充分挖掘題目中的條件，本題中O為外心，H為垂心，在本題中作用最大；另外，平面解析幾何中的一些性質(zhì)在解題中也有很大的用處。 〖例2〗已知力與水平方向的夾角為30（斜向上），的大小為50N，拉著一個重80N的木塊在摩擦系數(shù)μ=0.02的水平平面上運(yùn)動了20m，問和摩擦力所做的功分別是多少？(g=10 N/kg). 思路解析：力在位移上所做的功，是向量乘積的物理含義，要先求出力，和位移的夾角，然后應(yīng)用數(shù)量積公式求解。 解答：設(shè)木塊的位移為則，在鉛垂方向上分力大小為sin30=50=25(N). =810=80(N) ∴摩擦力的大小為， ∴=1.120(-1)=-22(J). ∴所做的功分別是500J、22J。 注：力在力的位移上所做的功，就是力與位移所對應(yīng)兩向量的數(shù)量積。故在解決此類問題時可轉(zhuǎn)化為數(shù)量積的運(yùn)算，據(jù)題意構(gòu)造平面圖形，把已知、所求各量用向量的對應(yīng)量表示出來。然后結(jié)合向量的加減法及平面幾何的知識求得向量的模及夾角，再利用數(shù)量積的運(yùn)算公式求得力對物體所做的功 希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！