《2014年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 熱點(diǎn)難點(diǎn)精講精析 7.2空間點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2014年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 熱點(diǎn)難點(diǎn)精講精析 7.2空間點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系（23頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 2014年高考一輪復(fù)習(xí)熱點(diǎn)難點(diǎn)精講精析： 7.2空間點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系 一、空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 （一）異面直線的判定 ※相關(guān)鏈接※ 證明兩直線為異面直線的方法： 1、定義法（不易操作） 2、反證法：先假設(shè)兩條直線不是異面直線，即兩直線平行或相交，由假設(shè)的條件出發(fā)，經(jīng)過嚴(yán)密的推理，導(dǎo)出矛盾，從而否定假設(shè)肯定兩條直線異面。此法在異面直線的判定中經(jīng)常用到。 3、客觀題中，也可用下述結(jié)論： 過平面處一點(diǎn)和平面內(nèi)一點(diǎn)的直線，與平面內(nèi)不過該點(diǎn)的直線是異面直線，如圖： ※例題解析※ 〖例〗如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1中，M、N分別是A

2、1B1、B1C1的中點(diǎn)。問： （1） AM和CN是否是異面直線？說明理由；（2）D1B和CC1是否是異面直線？說明理由 （2） 思路解析：（1）易證MN//AC，∴AM與CN不異面。（2）由圖易判斷D1B和CC1是異面直線，證明時(shí)常用反證法。 解答：（1）不是異面直線。理由：連接MN、A1C1、AC?！進(jìn)、N分別是A1B1、B1C1的中點(diǎn)，∴MN// A 2 / 23 1C1，又∵A1A CC1，∴A1ACC1為平行四邊形?！郃1C1//AC，得到MN//AC，∴A、M、N、C在同一平面內(nèi)，故AM和CN不是異面直線。 （2）是異面直線。證明如下： ∵ABCD-A1B1C1D

3、1是正方體，∴B、C、C1、D1不共面。假設(shè)D1B與CC1不是異面直線，則存在平面α，使D1B平面α，CC1平面α，∴D1、B、C、C1∈α，∴與ABCD-A1B1C1D1是正方體矛盾。∴假設(shè)不成立，即D1B與CC1是異面直線 （二）平面的基本性質(zhì)及平行公理的應(yīng)用 ※相關(guān)鏈接※ 1、平面的基本性質(zhì)的應(yīng)用 （1）公理1：可用來證明點(diǎn)在平面內(nèi)或直線在平面內(nèi) （2）公理2：可用來確定一個(gè)平面，為平面化作準(zhǔn)備或用來證明點(diǎn)線共面； （3）公理3：可用來確定兩個(gè)平面的交線，或證明三點(diǎn)共線，三線共點(diǎn)。 2、平行公理主要用來證明空間中線線平行。 3、公理2的推論： （1）經(jīng)過一條直線和直

4、線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面； （2）經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面； （3）經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面。 4、點(diǎn)共線、線共點(diǎn)、點(diǎn)線共面 （1）點(diǎn)共線問題 證明空間點(diǎn)共線問題，一般轉(zhuǎn)化為證明這些點(diǎn)是某兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，再根據(jù)公理3證明這些點(diǎn)都在這兩個(gè)平面的交線上。 （2）線共點(diǎn)問題 證明空間三線共點(diǎn)問題，先證兩條直線交于一點(diǎn)，再證明第三條直線經(jīng)過這點(diǎn)，把問題轉(zhuǎn)化為證明點(diǎn)在直線上。 （3）證明點(diǎn)線共面的常用方法 ①納入平面法：先確定一個(gè)平面，再證明有關(guān)點(diǎn)、線在此平面內(nèi)； ②輔助平面法：先證明有關(guān)的點(diǎn)、線確定平面α，再證明其余元素確定平面β，最后證明平面α、β重合。

5、 ※例題解析※ 〖例〗如圖，四邊形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=900，BCAD，BEFA，G、H分別為FA、FD的中點(diǎn)。 （1）證明：四邊形BCHG是平行四邊形； （2）C、D、F、E四點(diǎn)是否共面？為什么？ 思路解析：（1）G、H為中點(diǎn)GHAD，又BCAD GHBC；（2）方法一：證明D點(diǎn)在EF、GJ確定的平面內(nèi)。方法二：延長FE、DC分別與AB交于M，，可證M與 重合，從而FE與DC相交。 解答：（1） （2）方法一： 方法二：如圖，延長FE，DC分別與AB交于點(diǎn)M，，∵BEAF，∴B為MA中點(diǎn)?！連CAD，∴B為中點(diǎn)，∴M與重合，即F

6、E與DC交于點(diǎn)M（），∴C、D、F、E四點(diǎn)共面。 （三）異面直線所成的角 〖例〗空間四邊形ABCD中，AB=CD且AB與CD所成的角為300，E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，求EF與AB所成角的大小。 思路解析：要求EF與AB所成的角，可經(jīng)過某一點(diǎn)作兩條直線的平行線，考慮到E、F為中點(diǎn)，故可過E或F作AB的平行線。取AC的中點(diǎn)，平移AB、CD，使已知角和所求的角在一個(gè)三角形中求解。 解答：取AC的中點(diǎn)G，連接EG、FG，則EG//AB，GF//CD，且由AB=CD知EG=FG，∴∠GEF（或它的補(bǔ)角）為EF與AB所成的角，∠ＥＧＦ（或它的補(bǔ)角）為ＡＢ與ＣＤ所成的角。 ∵

7、ＡＢ與CD所成的角為300，∴∠ＥＧＦ=300或1500。由EG=FG知ΔEFG為等腰三角形，當(dāng)∠ＥＧＦ=300時(shí)，∠GEF=750；當(dāng)∠ＥＧＦ=1500時(shí)，∠GEF=150。故EF與AB所成的角為150或750。 注：（1）求異面直線所成的角，關(guān)鍵是將其中一條直線平移到某個(gè)位置使其與另一條直線相交，或?qū)蓷l直線同時(shí)平移到某個(gè)位置，使其相交。平移直線的方法有：①直接平移②中位線平移③補(bǔ)形平移； （2）求異面直線所成角的步驟： ①作：通過作平行線，得到相交直線； ②證：證明相交直線所成的角為異面直線所成的角； ③求：通過解三角形，求出該角。 二、直線、平面平行的判定及其性質(zhì) （一）

8、直線與平面平行的判定 ※相關(guān)鏈接※ 判定直線與平面平行，主要有三種方法： （1）利用定義（常用反證法）； （2）利用判定定理：關(guān)鍵是找平面內(nèi)與已知直線平行的直線?？上戎庇^判斷平面內(nèi)是否已有，若沒有，則需作出該直線，常考慮三角形的中位線、平行四邊形的對邊或過已知直線作一平面找其交線。 （3）利用面面平行的性質(zhì)定理：當(dāng)兩平面平行時(shí)，其中一個(gè)平面內(nèi)的任一直線平行于另一平面。 注：線面平行關(guān)系沒有傳遞性，即平行線中的一條平行于一平面，另一條不一定平行于該平面。 ※例題解析※ 〖例〗如圖，矩形ABCD和梯形BEFC有公共邊BC，BE//CF，∠BCF=900，求證：AE//平面DCF

9、 思路解析：作EG⊥CF于GADEGAE//DGAE//平面DCF 解答：過點(diǎn)E作EG⊥CF交CF于G，連接DG，可得四邊形BCGE為矩形。 又ABCD為矩形，所以ADEG，從而四邊形ADGF為平行四邊形，故AE//DG。因?yàn)锳E平面DCF，DG平面DCF，所以AE//平面DCF （二）平面與平面平行的判定 ※相關(guān)鏈接※ 判定平面與平面平行的常用方法有： （1）利用定義（常用反證法）； （2）利用判定定理：轉(zhuǎn)化為判定一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面。客觀題中，也可直接利用一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交線分別平行于另一個(gè)平面的兩條相交線來證明兩平面平行； （3）利

10、用面面平行的傳遞性： （4）利用線面垂直的性質(zhì)：。 ※例題解析※ 〖例〗如圖所示，正三棱柱ABC-A1B1C1各棱長為4，E、F、G、H分別是AB、AC、A1C1、A1B1的中點(diǎn)，求證：平面A1EF//平面BCGH 思路解析：本題證面面平行，可證明平面A1EF內(nèi)的兩條相交直線分別與平面BCGH平行，然后根據(jù)面面平行判定定理即可證明。 解答：ΔABC中，E、F分別為AB、AC的中點(diǎn)，∴EF//BC。又∵EF平面BCGH，BC平面BCGH，∴EF//平面BCGH。又∵G、F分別為A1C1，AC的中點(diǎn)，∴A1GFC?！嗨倪呅蜛1FCG為平行四邊形?！郃1F//GC。又∵A1F平面B

11、CGH，CG平面BCGH，∴A1F//平面BCGH。又∵A1F∩EF=F，∴平面A1EF//平面BCGH （三）直線與平面平行的性質(zhì)及應(yīng)用 〖例〗如圖，在四面體ABCD中，截面EFGH平行于對棱AB和CD，試問截面在什么位置時(shí)其截面面積最大。 思路解析：先利用線面平行的性質(zhì)，判定截面形狀，再建立面積函數(shù)求最值。 解答：∵AB//平面EFGH，平面EFGH與平面ABC和平面ABD分別交于FG、EH，∴AB//FG，AB//EH，∴FG//EH，同理可證EF//GH，∴截面EFGH是平行四邊形。設(shè)AB=a,CD=b,∠FGH=α（α即為異面直線AB和CD所成的角或其補(bǔ)角）。 又設(shè)

12、FG=x.GH=y,則由平面幾何知識可得[ 兩式相加得 ∴ ∵ ∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最大值，此時(shí)，即當(dāng)截面EFGH的頂點(diǎn)E、F、G、H分別為棱AD、AC、BC、BD的中點(diǎn)時(shí)，截面面積最大。 注：利用線面平行的性質(zhì)，可以實(shí)現(xiàn)由線面平行到線線平行的轉(zhuǎn)化。在平時(shí)的解題過程中，若遇到線面平行這一條件，就需在圖中找（或作）過已知直線與已知平面相交的平面。這樣就可以由性質(zhì)定理實(shí)現(xiàn)平行轉(zhuǎn)化。至于最值問題，常用函數(shù)思想解決，若題目中沒有涉及邊長，要大膽地設(shè)未知量，以便解題。 （四）平面與平面平行的性質(zhì)及應(yīng)用 ※相關(guān)鏈接※ 平面與平面平行的判定與性質(zhì)，同直線與平面平行的判定與性質(zhì)一樣，體現(xiàn)了

13、轉(zhuǎn)化與化歸的思想。三種平行關(guān)系如圖： 性質(zhì)過程的轉(zhuǎn)化實(shí)施，關(guān)鍵是作輔助平面，通過作輔助平面得到交線，就可把面面平行化為線面平行并進(jìn)而化為線線平行，注意作平面時(shí)要有確定平面的依據(jù)。 ※例題解析※ 〖例〗已知，平面α//平面β，AB、CD夾在α、β之間，A、C∈α，B、D∈β，E、F分別為AB、CD的中點(diǎn)，求證：EF//α，EF//β 思路解析：通過作輔助平面，利用面面平行得到線線平行，再證線面平行。 解答：當(dāng)AB和CD共面時(shí)，經(jīng)過AB、CD的平面與α、β分別交于AC、BD?！擀?/β，∴AC//BD。又∵AE=EB，CF=FD，∴EF//AC。∵ACα，EFα，∴EF//α，同理E

14、F//β，當(dāng)AB和CD異面時(shí)，如圖： 在CD現(xiàn)E所確定的平面內(nèi)，過點(diǎn)E作C‘D’//CD與α、β分別交于點(diǎn)C‘、D’。經(jīng)過相交直線AB和C‘D’作平面分別交α、β于AC‘、BD’。∵α//β，∴AC‘//BD’，又AE=EB，∴C‘E=ED’?！逤‘D’//CD，∴經(jīng)過C‘D’和CD作平面與α、β分別交于C‘C和D’D。∵α//β，∴C‘C//D’D。 在平面四邊形C‘D’DC中，∵C‘E=ED’，CF=FD，∴EF// D’D?！逥’Dβ，EFβ，∴EF//β，同理EF//α。 三、直線、平面垂直的判定及其性質(zhì) （一）直線和平面垂直的判定和性質(zhì) ※相關(guān)鏈接※ 證明直線和平面垂

15、直的常用方法有： （1）利用判定定理； （2）利用平行線垂直于平面的傳遞性 （3）利用面面平行的性質(zhì) （4）利用面面垂直的性質(zhì)。 當(dāng)直線和平面垂直時(shí)，該直線垂直于平面內(nèi)的任一直線，常用來證明線線垂直。 ※例題解析※ 〖例〗如圖，已知PA垂直于矩形ABCD所在的平面，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)，若∠PDA=450，求證：MN⊥平面PCD。 思路解析： 解答：如圖，取PD的中點(diǎn)E，連接AE，NE。 （二）平面與平面垂直的判定 ※相關(guān)鏈接※ 證明面面垂直的主要方法是：①利用判定定理。在審題時(shí)要注意直觀判斷哪條直線可能是垂線，充分利用等腰三角形

16、底邊的中線垂直于底邊，勾股定理等結(jié)論。②用定義證明。只需判定兩平面所成二面角為直二面角。③客觀題中，也可應(yīng)用：兩個(gè)平行平面中的一個(gè)垂直于第三個(gè)平面，則另一個(gè)也垂直于第三個(gè)平面。 面面垂直的判定綜合性強(qiáng)，可通過轉(zhuǎn)化使問題得以解決，“線線垂直”、“線面垂直”、“面面垂直”間的關(guān)系如圖， 其中線線垂直是基礎(chǔ)，線面垂直是核心.解決這類問題時(shí)要善于挖掘題目中隱含著的線線垂直、線面垂直的條件. ※例題解析※ 〖例〗如圖，在△BCD中，∠BCD＝90，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60，E、F分別是AC、AD上的動(dòng)點(diǎn)，且=λ(0<λ<1). (1)判斷EF與平面ABC的位

17、置關(guān)系并給予證明； (2)是否存在λ，使得平面BEF⊥平面ACD，如果存在，求出λ的值，如果不存在，說明理由. 【方法詮釋】(1)結(jié)合圖形猜測EF與平面ABC垂直.由知EF∥CD，由∠BCD＝90及AB⊥平面BCD可證得結(jié)論成立. (2)由EF∥CD可知問題相當(dāng)于過點(diǎn)B作一個(gè)平面與平面ACD垂直，而這樣的平面一定存在，故只需計(jì)算出λ即可. 解析：(1)EF⊥平面ABC. 證明：∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD， 在△BCD中，∠BCD＝90，∴BC⊥CD， 又AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC， 在△ACD中=λ(0<λ<1)， ∴EF∥CD， ∴EF⊥平面ABC.

18、 (2)∵CD⊥平面ABC，BE?平面ABC， ∴BE⊥CD， 故要使平面BEF⊥平面ACD，只需證BE⊥AC. 在Rt△ABD中，∠ADB＝60， ∴AB＝BDtan60＝， 則 當(dāng)BE⊥AC時(shí)， 則，即時(shí)，BE⊥AC， 又BE⊥CD，AC∩CD＝C， ∴BE⊥平面ACD， ∵BE?平面BEF， ∴平面BEF⊥平面ACD. 所以存在λ＝時(shí)，平面BEF⊥平面ACD. （三）平面與平面垂直性質(zhì)的應(yīng)用 ※相關(guān)鏈接※ (1)兩平面垂直的性質(zhì)定理是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直的依據(jù)，運(yùn)用時(shí)要注意“平面內(nèi)的直線”. (2)兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，它們的交線

19、也垂直于第三個(gè)平面. ※例題解析※ 〖例〗如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB//DC，ΔPAD是等邊三角形，已知BD=2AD=8，AB=2DC=4。 （1）設(shè)M是PC上的一點(diǎn)，證明：平面MBD⊥平面PAD； （2）求四棱錐P-ABCD的體積。 思路解析：（1）因?yàn)閮善矫娲怪迸cM點(diǎn)位置無關(guān)，所以在平面MBD內(nèi)一定有直線垂直于平面PAD，考慮證明BD⊥平面PAD； （2）四棱錐底面為一梯形，高為P到面ABCD的距離。 解答：（1）在ΔABD中， （2）過P作PO⊥AD，∵面PAD⊥面ABCD，∴PO⊥面ABCD，即PO為四棱錐P-ABCD的

20、高。又ΔPAD是邊長為4的等邊三角形，∴PO=。 注：（1）當(dāng)兩個(gè)平面垂直時(shí)，常作的輔助線是在其中一個(gè)面內(nèi)作交線的垂線。把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直，進(jìn)而可以證明線段線線垂直，構(gòu)造二面角的平面角或得到點(diǎn)到面的距離相等。 （2）已知面面垂直時(shí)，通過作輔助線可轉(zhuǎn)化為線面垂直，從而有更多的線線垂直的條件可用，必要時(shí)可以通過平面幾何的知識證明垂直關(guān)系，通過證線面垂直來證線線垂直是空間中兩直線垂直證明書的最常用方法。 （四）線面角、二面角求法 ※相關(guān)鏈接※ 高考中對直線與平面所成的角及二面角的考查是熱點(diǎn)之一。有時(shí)在客觀題中考查，更多的是在解答題中考查。 求這兩種空間角的步驟： 根據(jù)

21、線面角的定義或二面角的平面角的定義，作（找）出該角，再解三角形求出該角，步驟是作（找）認(rèn)（指）求。 在客觀題中，也可用射影法： 設(shè)斜線段AB在平面α內(nèi)的射影為A’B’,AB與α所成角為θ,則cosθ=. 設(shè)ΔABC在平面α內(nèi)的射影三角形為,平面ABC與α所成角為θ,則cosθ=. ※例題解析※ 〖例〗三棱錐P-ABC中,PC、AC、BC兩兩垂直，BC=PC=1，AC=2，E、F、G分別是AB、AC、AP的中點(diǎn)。 （1）證明：平面GFE//平面PCB； （2）求二面角B-AP-C的正切值； （3）求直線PF與平面PAB所成角的正弦值。 思路解析：（1）利用三角形的中

22、位線性質(zhì)； （2）利用定義作出二面角B-AP-C的平面角； （3）利用線面垂直構(gòu)造直線與平面所成角。 解答：（1）因?yàn)镋、F、G分別是AB、AC、AP的中點(diǎn)，所以EF//BC，GF//CP。因?yàn)镋F，GF平面PCB，所以EF//平面PCB，GF//平面PCB。又EF∩GF=F，所以平面GFE//平面PCB。 （2）過點(diǎn)C在平面PAC內(nèi)作CH⊥PA，垂足為H，連接HB。因?yàn)锽C⊥PC，BC⊥AC，且PC∩AC=C，所以BC⊥平面PAC，所以HB⊥PA，所以∠BHC是二面角B-AP-C的平面角。依條件容易求出CH=，所以tan∠BHC=，所以二面角B-AP-C的正切值是。 （3）如圖，設(shè)PB的中點(diǎn)為K，連接KC，AK，因?yàn)棣CB為等腰直角三角形，所以KC⊥PB；又AC⊥PC，AC⊥BC，且PC∩BC=C，所以AC⊥平面PCB，所以AK⊥PB，又因?yàn)锳K∩KC=K，所以PB⊥平面AKC；又PB平面PAB，所以平面AKC⊥平面PAB。在平面AKC內(nèi)，過點(diǎn)F作FM⊥AK，垂足為M。因?yàn)槠矫鍭KC⊥平面PAB，所以FM⊥平面PAB，連接PM，則∠MPF是直線PF與平面PAB所成的角。容易求出PF=，F(xiàn)M=，所以sin∠MPF==.即直線PF與平面PAB所成的角的正弦值是 希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！