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1、 2014年高考一輪復習熱點難點精講精析：11.2概率 一、隨機事件的概率 ※相關(guān)鏈接※ 1．事件的判斷震怒地三種事件即不可能事件、盡然事件和隨機事件的概念充分理解，特別是隨機事件要看它是否可能發(fā)生，并且是在一定條件下的，它不同于判斷命題的真假。 2．對隨機事件的理解應(yīng)包含下面兩個方面： （1）隨機事件是指一定條件下出現(xiàn)的某種結(jié)果，隨著條件的改變其結(jié)果也會不同，因此必須強調(diào)同一事件必須在相同的條件下研究； （2）隨機事件可以重復地進行大量試驗，每次試驗結(jié)果不一定相同，且無法預測下一次的結(jié)果，但隨著試驗的重復進行，其結(jié)果呈現(xiàn)規(guī)律性。 ※例題解析※ 〖例〗一個口袋裝有5個白

2、球和3個黑球，從中任意取出一個球： （1）“取出的球是紅球”是什么事件？ （2）“取出的球是黑球”是什么事件？ （3）“取出的球是白球或黑球”是什么事件？ 思路解析：結(jié)合必然事件、不可能事件、隨機事件的概念求解。 解答：（1）由于口袋內(nèi)只裝有黑、白兩種顏色的球，故“取出的球是紅球”是不可能事件； （2）由已知，從口袋內(nèi)取出一個球，可能是白球也可能是黑球，故“取出的球是黑球”是隨機事件； （3）由于口袋內(nèi)裝的黑、白兩種顏色的球，故取出一個球不是黑球，就是白球鞋。因此，“取出的球是白球或黑球”是必然事件。 （二）隨機事件的頻率與概率 ※相關(guān)鏈接※ 1．隨機事件的頻率，指此事件發(fā)

3、生的次數(shù)與試驗總次數(shù)的比值，它具有一定的穩(wěn)定性，總在某個常數(shù)附近擺動，且隨著試驗次數(shù)的不斷增多，這種擺動幅度越來越小。我們給這個常數(shù)取一個名字，叫做這個隨機事件的概率； 2．概率可看做頻率在理論上的期望值，它從數(shù)量上反映了隨機事件發(fā)生的可能性的大小，它是頻率的科學抽象，當試驗次數(shù)越來越多時頻率向概率靠近。只要次數(shù)足夠多，所是頻率就近似地當做隨機事件的概率。 2 / 14 ※例題解析※ 〖例〗某籃球運動員在最近幾場大賽中罰球投籃的結(jié)果如下： （1）計算表中進球的頻率； （2）這位運動員投籃一次，進球的概率是多少？ 思路解析：解答本題可根據(jù)頻率的計算公式，其中為相同條件下重復

4、的試驗次數(shù)，為事件A出現(xiàn)的次數(shù)，且隨著試驗次數(shù)的增多，頻率接近概率 解答：（1）由公式可計算出每場比賽該運動員罰球進球的頻率依次為 （2）由（1）知，每場比賽進球的頻率雖然不同，但頻率總是在的附近擺動，可知該運動員投籃一次，進球的概率約為。 （三）互斥事件、對立事件的概率 〖例〗一盒中裝有大小和質(zhì)地均相同的12只小球，其中5個紅球，4個黑球，2個白球，1個綠球。從中隨機取出1球，求 （1）取出的小球是紅球或黑球的概率； （2）取出的小球是紅球或黑球或白球的概率。 思路解析：設(shè)事件分析事件的性質(zhì)根據(jù)互斥事件概率求法求解。 解答：記事件A={任取1球為紅球}；B={任取1球為黑

5、球}；C={任取1球為白球}；D={任取1球為綠球}，則 （1）取出1球為紅球或黑球的概率為 （2）取出1球為紅球或黑球或白球的概率為 [ 注：（1）解決此類問題，首先應(yīng)結(jié)合互斥事件和對立事件的定義分析出是不是互斥事件或?qū)α⑹录龠x擇概率公式進行計算。 （2）求復雜的互斥事件的概率一般有兩種方法：一是直接求解法，將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率的和，運用互斥事件的求和公式計算。二是間接求法，先求此事件的對立事件的概率，再用公式，即運用逆向思維（正難則反），特別是“至多”，“至少”型題目，用間接求法就顯得較簡便。 （3）互斥事件、對立事件的定義是判斷兩事件

6、是否是互斥事件、對立事件的一種最有效、最簡便的基本方法。也可從集合角度來判斷，如果A，B是兩個互斥事件，反映在集合上是表示A，B兩個事件所含結(jié)果組成的集合的交集為空集，即A∩B=；如果A，B是對立事件，則在A∩B=的前提下，A與B的并集為全集。 二、古典概型 （一）寫出基本事件 ※相關(guān)鏈接※ 1．隨機試驗滿足下列條件：（1）試驗可以在相同的條件下重復做下去；（2）試驗的所有結(jié)果是明確可知的，并且不止一個；（3）每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些結(jié)果中的一個，但在試驗之產(chǎn)卻不能肯定會出現(xiàn)哪一個結(jié)果。所以，隨機試驗的每一個可能出現(xiàn)的結(jié)果是一個隨機事件，這類隨機事件叫做基本事件。 2．計算古典概型所

7、含基本事件總數(shù)的方法 （1）樹形圖 （2）列表法 （3）另外，還可以用坐標系中的點來表示基本事件，進而可計算基本事件總數(shù) （4）用排列組合求基本事件總數(shù)。 ※ 例題解析※ ※ 〖例〗做拋擲兩顆骰子的試驗：用（x,y）表示結(jié)果，其中x表示第一顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)，y表示第二顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)，寫出（1）試驗的基本事件；（2）事件“出現(xiàn)點數(shù)之和大于8”；（3）事件“出現(xiàn)點數(shù)相等”；（4）事件“出現(xiàn)點數(shù)之和大于10”。 思路解析：拋擲兩顆骰子的試驗，每次只有一種結(jié)果；且每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性是相同的，所以該試驗是古典概型，當試驗結(jié)果較少時可用列舉法將所有結(jié)果一一列出。 解答：（1）這

8、個試驗的基本事件為 （2）“出現(xiàn)點數(shù)之和大于8”包含以下10個基本事件： （3）“出現(xiàn)點數(shù)相等”包含以下6個基本事件：。 （4）“出現(xiàn)點數(shù)之和大于10”包含以下3個基本事件： （二）求簡單古典概型的概率 ※相關(guān)鏈接※ 求古典概型概率的步驟 （1）仔細閱讀題目，弄清題目的背景材料，加深理解題意； （2）判斷本試驗的結(jié)晶是否為等可能事件，設(shè)出所求事件A； （3）分別求出基本事件的總數(shù)n與所求事件A中所包含的基本事件個數(shù)m; （4）利用公式求出事件A的概率。 注：并不是所有的試驗都是古典概型。例如，在適宜的條件下種下一粒種子觀察它是否“發(fā)芽”，這個試驗的基本事件空間

9、為{發(fā)芽，不發(fā)芽}，而“發(fā)芽”與 “不發(fā)芽”這兩種結(jié)果出現(xiàn)的機會一般是不均等的。 ※例題解析※ 〖例〗如圖，在一個木制的棱長為3的正方體表面涂上顏色，將它的棱3等分，然后從等分點把正方體鋸開，得到27個棱長為1的小正方體，將這些小正方體充分混合后，裝入一個口袋中。 （1）從這個口袋中任意取出1個正方體，這個小正方體的表面恰好沒有顏色的概率是多少？ （2）從這個口袋中同時任意取出2個小正方體，其中1個小正方體恰好有1個面涂有顏色，另1個小正方體至少有2個面涂有顏色的概率是多少？ 思路解析：該模型為古典概型，基本事件個數(shù)是有限的，并且每個基本事件的發(fā)生的等可能的。 解答：

10、在27個小正方體中，恰好3個面都涂有顏色的共8個，恰好2個面涂有顏色的共12個，恰好1個面涂有顏色的共6個，表面沒涂顏色的確個。 （1）從27個小正方體中任意取出1個，共有種等可能的結(jié)果。因為在27個小正方體中，表面沒涂顏色的只有1個，所以從這個口袋中任意取出1個小正方體，而這個小正方體的表面恰好沒涂顏色的概率是。 （2）從27個小正方體中，同時任取2 個，共種等可能的結(jié)果。在這些結(jié)果中，有1個小正方體恰好有1個面涂有顏色，另1個小正方體至少有2個面涂有顏色包含的結(jié)果有種。所以從這個口袋中同時任意取出2個小正方體，其中1個小正體恰好有1個面涂有顏色，另1個小正方體至少有2個面涂有顏色的概率

11、是。 （三）復雜的古典概型的概率求法 〖例〗袋中有6個球，其中4個白球，2個紅球，從袋中任意取出2個球，求下列事件的概率： （1）A：取出的2個球都是白球； （2）B：取出的2個球中1個是白球，另1個是紅球。 思路解析：用列舉法求出基本事件總數(shù)n求出事件A、B包含的基本事件數(shù)m根據(jù)古典概型公式墳概率。 解答：設(shè)4個白球的編號為1，2，3，4，2個紅球的編號為5，6。從袋中的6個小球中任取2個的方法為 共15種。 （1）從袋中的6個球中任取2個，所取的2個球全是白球的方法總數(shù)，即是從4個白球中任取2個的方法總數(shù)，共有6種。即：∴取出的2個球全是白球的概率為 。 （

12、2）從袋中的6個球中任取2個，其中1個為紅球，而另1個為白球，其取法包括（1，5），（1，6），（2，5），（2，6），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6）共8種?！嗳〕龅? 個球中1個是白球，另1個是紅球的概率為。 注：（1）在古典概型條件下，當基本事件總數(shù)為n時，每一個基本事件發(fā)生的概率均為，要求事件A的概率，關(guān)鍵是求出基本事件總數(shù)n和事件A中所含基本事件數(shù)m，再由古典概型概率公式求出事件A的概率。 （2）含有“至多”、“至少”等類型的概率問題，從正面突破比較困難或者比較繁瑣時，可考慮其反面，即對立事件，然后應(yīng)用對立事件的性質(zhì)進一步求解。 三、幾何概型 （一）與長度有關(guān)的

13、幾何概型 ※相關(guān)鏈接※ 1．如果試驗的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用長度表示，則其概率的計算公式為 P（A）=。 2．將每個基本事件理解為從某個特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機地取一點，該區(qū)域中每一點被取到的機會都一樣，而一個隨機事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個指定區(qū)域中的點，這樣的概率模型就可以用幾何概型來求解。 ※例題解析※ 〖例〗在半徑為1的圓內(nèi)一條直徑上任取一點，過這個點作垂直于直徑的弦，則弦長超過圓內(nèi)接的等邊三角形邊長的概率是 思路解析：解決概率問題先判斷屬于什么概率模型，本題屬幾何概型，把問題轉(zhuǎn)化為化成：直徑上到圓心O的距離小于的點構(gòu)成的線段長與直徑

14、長之比。 解答：記事件A為“弦長超過圓內(nèi)接等邊三角形的邊長”，如圖， 不妨在過等邊三角形BCD的頂點B的直徑BE上任取一點F作垂直于直徑的弦，當弦為CD時，就是等邊三角形的邊長，弦長大于CD的充要條件是圓心O到弦的距離小于OF（此時F為OE中點），由幾何概型公式得：。 答案： （二）與面積（體積）有關(guān)的幾何概型 ※相關(guān)鏈接※ 1．如果試驗的結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用面積表示，則其概率的計算公式為： 。 2．“面積比”是求幾何概率的一種重要類型，也是在高考中常考的題型。 3．如果試驗的結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用體積表示，則其概率的計算公式為： 。 注：解

15、決此類問題一定要注意幾何概型的條件。 ※例題解析※ 〖例〗如圖，射箭比賽的箭靶涂有5個彩色的分環(huán)，從外向內(nèi)依次為白色、黑色、藍色、紅色，靶心為金色，金色靶心叫做“黃心”。奧運會的比賽靶面直徑是122cm，靶心直徑是12.2cm，運動員在70米外射箭。假設(shè)運動員射的箭都能中靶，且射中靶面內(nèi)任一點是等可能的，那么射中“黃心”的概率是多少？ 思路解析：求出大圓的面積n求出“黃心”的面積m由幾何概型的概率求法得。 解答：記“射中黃心”為事件B，由于中靶點隨機地落在面積為的大圓內(nèi)，而當中靶點落在面積為 的黃心時，事件B發(fā)生，于是事件B發(fā)生的概率為 ， 即“射中黃心”的概率是。 （

16、三）生活中的幾何概型 〖例〗兩人約定在20：00到21：00之間相見，并且先到者必須等遲到者40分鐘方可離去，如果兩人出發(fā)是各自獨立的，在20：00到21：00各時刻相見的可能性是相等的，求兩人在約定時間內(nèi)相見的概率。 思路解析：兩人不論誰先到都要等遲到者40分鐘，即小時。設(shè)兩人分別于x時和y時到達約見地點，要使兩人在約定的時間范圍內(nèi)相見，當且僅當，因此轉(zhuǎn)化成面積問題，利用幾何概型求解。 解答：設(shè)兩人分別于x時和y時到達約見地點，要使兩人能在約定時間范圍內(nèi)相見，當且僅當。兩人到達約見地點所有時刻（x,y）的各種可能結(jié)果可用圖中的單位正方形內(nèi)（包括邊界）的點來表示，兩人能在約定的時間范圍內(nèi)

17、相見的所有時刻（x,y）的各種可能結(jié)果可用圖中的陰影部分（包括邊界）不表示。因此陰影部分與單位正方形的面積比就反映了兩人在約定時間范圍內(nèi)相遇的可能性的大小，也就是所求的概率為 注：對于活生生中的幾何概型問題： （1）要注意實際問題中的可能性的判斷； （2）將實際問題轉(zhuǎn)化為幾何概型中的長度、角度、面積、體積等常見幾何概型的求解問題，構(gòu)造出隨機事件A對應(yīng)的幾何圖形，利用幾何圖形的度量來求隨機事件的概率，根據(jù)實際問題的具體情況，合理設(shè)置參數(shù)，建立適當?shù)淖鴺讼?，在此基礎(chǔ)上將試驗的每一個結(jié)果一一對應(yīng)于該坐標系的點，便可構(gòu)造出度量區(qū)域。 （3）如果試驗的結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用角度來表示，則其概率公式為： 。解決此類問題事件A的角必須含在事件的全部構(gòu)成的角之內(nèi)。 希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！