《2014年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 熱點(diǎn)難點(diǎn)精講精析 5.1等差數(shù)列與等比數(shù)列》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2014年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 熱點(diǎn)難點(diǎn)精講精析 5.1等差數(shù)列與等比數(shù)列（29頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 2014年高考一輪復(fù)習(xí)熱點(diǎn)難點(diǎn)精講精析： 5.1等差數(shù)列與等比數(shù)列 一、數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法 （一）由數(shù)列的前幾項(xiàng)求數(shù)列的通項(xiàng)公式 ※相關(guān)鏈接※ 數(shù)列的通項(xiàng)公式 （1）據(jù)所給數(shù)列的前幾項(xiàng)求其通項(xiàng)公式時(shí)，需仔細(xì)觀察觀察分析，抓住以下幾方面的特征： ①分式中分子、分母的特征； ②相鄰項(xiàng)的變化特征； ③拆項(xiàng)后的特征； ④各項(xiàng)符號(hào)特征等，并對(duì)此進(jìn)行歸納、聯(lián)想。 （2）觀察、分析問(wèn)題的特點(diǎn)是最重要的，觀察要有目的，觀察出項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間的關(guān)系、規(guī)律，利用我們熟知的一些基本數(shù)列（如自然數(shù)列、奇偶數(shù)列等）轉(zhuǎn)換而使問(wèn)題得到解決。 （3）根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是不

2、完全歸納法，它蘊(yùn)含著從特殊到一般的思想，由不完全歸納提出的結(jié)果是不可靠的，要注意代值檢驗(yàn)，對(duì)于正負(fù)符號(hào)變化，可用或來(lái)調(diào)整。 ※例題解析※ 〖例〗寫出下列各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式： 思路解析：由所給數(shù)列前幾項(xiàng)的特點(diǎn)，歸納出其通項(xiàng)公式，注意項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的關(guān)系，項(xiàng)與前后項(xiàng)之間的關(guān)系，通項(xiàng)公式的形式并不唯一。 解答：（1）各項(xiàng)是從4開始的偶數(shù)，所以； （2）每一項(xiàng)分子比分母少1，而分母可寫成21，22，23，24，25，……，故所求數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式可定為； 2 / 29 （3）帶有正負(fù)號(hào)，故每項(xiàng)中必須含有一個(gè)這個(gè)因式，而后去掉負(fù)號(hào)，觀察可得。 將第二項(xiàng)-1寫成。分母可化為3，5，7，

3、9，11，13，……為正奇數(shù)，而分子可化為12+1，22+1，32+1，42+1，52+1，62+1，……故其一個(gè)通項(xiàng)公式可寫為：； （4）將數(shù)列各項(xiàng)寫為分母都是3，而分子分別是10-1，102-1，103-1，104-1，……，所以 （二）由遞推公式求數(shù)列通項(xiàng)公式 ※相關(guān)鏈接※ 1、由和遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式，可觀察其特點(diǎn)，一般常利用化歸法、累加法、累乘法等。 （1）構(gòu)造等比數(shù)列，已知首項(xiàng)，遞推關(guān)系為，求數(shù)列的通項(xiàng)公式的關(guān)鍵是將轉(zhuǎn)化為的形式，其中a的值可由待定系數(shù)法確定，即 （2）已知且可以用累加法，即，，……，，。 所有等式左右兩邊分別相加，得 即： （3）已知且可以用累乘法

4、，即，，……，，，所有等式左右兩邊分別相乘，得 注：并不是每一個(gè)數(shù)列都有通項(xiàng)公式，如果一個(gè)數(shù)列有通項(xiàng)公式，那么它的通項(xiàng)公式在形式上也可以不止一個(gè)。 2、由與的關(guān)系求 由求時(shí)，要分n=1和n≥2兩種情況討論，然后驗(yàn)證兩種情況可否用統(tǒng)一的解析式表示，若不能，則用分段函數(shù)的形式表示為。 ※例題解析※ 〖例〗(1)在數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=(1+)an+設(shè)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式; (2)已知數(shù)列{an}中，a1=1,an+1=(n+1)an，求數(shù)列{an}的通項(xiàng) 公式． 思路分析:(1)首先由遞推公式得到的關(guān)系式：再借助于累加的方法求出數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；

5、(2)由題設(shè)可得利用累乘的方法求解. 解析:(1)由已知可得b1=a1=1，且 即從而有 bn=b1+(b2-b1)+…+(bn-bn-1)= (n≥2)，又因?yàn)閎1=a1=1，故所求的通項(xiàng)公式為 (2)∵an+1＝(n＋1)an， a1＝1. 累乘可得， an＝n(n-1)(n-2)…321＝n！. 故an＝n！. （三）數(shù)列的單調(diào)性及其應(yīng)用 〖例〗(12分)已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為,并且滿足 （1）求{}的通項(xiàng)公式； （2）令，問(wèn)是否存在正整數(shù)m,對(duì)一切正整數(shù)n，總有，若存在，求m的值；若不存在，說(shuō)明理由。 思路解析：（1） (2)由已知得

6、的表達(dá)式求最大項(xiàng)得結(jié)論. 解答:(1)令n=1, (2) 注:(1)數(shù)列的單調(diào)性是高考常考內(nèi)容之一,有關(guān)數(shù)列最大、最小項(xiàng)、數(shù)列有界性問(wèn)題均可借助數(shù)列的單調(diào)性來(lái)解決，判斷單調(diào)性時(shí)常用①作差法，②作商法，③結(jié)合函數(shù)圖象等方法。 （2）求最大項(xiàng)，則滿足；若求最小項(xiàng)，則滿足。 二、等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和 （一）等差數(shù)列的基本運(yùn)算 ※相關(guān)鏈接※ 1.等差數(shù)列運(yùn)算問(wèn)題的通法 等差數(shù)列運(yùn)算問(wèn)題的一般求法是設(shè)出首項(xiàng)a1和公差d，然后由通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和公式轉(zhuǎn)化為方程（組）求解. 2.等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用方法 等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式有兩個(gè)，如果已知項(xiàng)數(shù)n、首

7、項(xiàng)a1和第n項(xiàng)an，則利用該公式經(jīng)常和等差數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合應(yīng)用.如果已知項(xiàng)數(shù)n、首項(xiàng)a1和公差d，則利用在求解等差數(shù)列的基本運(yùn)算問(wèn)題時(shí)，有時(shí)會(huì)和通項(xiàng)公式結(jié)合使用. 注：1、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式=+（n-1）d及前n項(xiàng)和公式，共涉及五個(gè)量，，d,n, ,知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè)，體現(xiàn)了用方程的思想解決問(wèn)題； 2、數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式在解題中起到變量代換作用，而和d是等差數(shù)列的兩個(gè)基本量，用它們表示已知和未知是常用方法。 3、因?yàn)?，故?shù)列{}是等差數(shù)列。 ※例題解析※ 〖例〗已知數(shù)列{}的首項(xiàng)=3，通項(xiàng)，且，，成等差數(shù)列。求： （1）的值； （2）數(shù)列{}的前n項(xiàng)

8、和的公式。 思路解析：（1）由=3與，，成等差數(shù)列列出方程組即可求出；（2）通過(guò)利用條件分成兩個(gè)可求和的數(shù)列分別求和。 解答：（1）由=3得……………………………………① 又，得…………………② 由①②聯(lián)立得。 （2）由（1）得， （二）等差數(shù)列的判定 ※相關(guān)鏈接※ 1、等差數(shù)列的判定通常有兩種方法： 第一種是利用定義，，第二種是利用等差中項(xiàng)，即。 2、解選擇題、填空題時(shí)，亦可用通項(xiàng)或前n項(xiàng)和直接判斷。 （1）通項(xiàng)法：若數(shù)列{}的通項(xiàng)公式為n的一次函數(shù)，即=n+B,則{}是等差數(shù)列； （2）前n項(xiàng)和法：若數(shù)列{}的前n項(xiàng)和是的形式（，B是常數(shù)），則{}是等差

9、數(shù)列。 注：若判斷一個(gè)數(shù)列不是等差數(shù)列，則只需說(shuō)明任意連續(xù)三項(xiàng)不是等差數(shù)列即可。 ※例題解析※ 〖例〗已知數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，且滿足 （1）求證：{}是等差數(shù)列； （2）求的表達(dá)式。 思路解析：（1）與的關(guān)系結(jié)論； （2）由的關(guān)系式的關(guān)系式 解答：（1）等式兩邊同除以得-+2=0，即-=2（n≥2）.∴{}是以==2為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列。 （2）由（1）知=+（n-1）d=2+(n-1)2=2n,∴=,當(dāng)n≥2時(shí)，=2=。又∵，不適合上式，故。 （三）等差數(shù)列的性質(zhì) ※相關(guān)鏈接※ 1、等差數(shù)列的單調(diào)性： 等差數(shù)列公差為d，若d>0,則數(shù)列遞增；若d<0,則數(shù)

10、列遞減；若d=0,則數(shù)列為常數(shù)列。 2、等差數(shù)列的簡(jiǎn)單性質(zhì)： 已知數(shù)列{}是等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)和。 （1）若m+n=p+q,則,特別：若m+n=2p，則。 （2）仍是等差數(shù)列，公差為kd; （3）數(shù)列也是等差數(shù)列； （4）； （5）若n為偶數(shù)，則；若n為奇數(shù)，則； （6）數(shù)列也是等差數(shù)列，其中均為常數(shù)，是等差數(shù)列。 3、等差數(shù)列的最值： 若是等差數(shù)列，求前n項(xiàng)和的最值時(shí)， （1）若a1>0,d>0,且滿足，前n項(xiàng)和最大； （2）若a1<0,d>0，且滿足，前n項(xiàng)和最??； （3）除上面方法外，還可將的前n項(xiàng)和的最值問(wèn)題看作關(guān)于n的二次函數(shù)最值問(wèn)題，利用二次

11、函數(shù)的圖象或配方法求解，注意。 ※例題解析※ 〖例1〗(2011如皋模擬)已知在等差數(shù)列{an}中，a1=31，Sn是它的前n項(xiàng)和，S10=S22， (1)求Sn； (2)這個(gè)數(shù)列的前多少項(xiàng)的和最大，并求出這個(gè)最大值. 思路解析：利用等差數(shù)列的性質(zhì)求解第(1)題、第(2)題，解題關(guān)鍵是寫出前n項(xiàng)和公式，利用函數(shù)思想解決. (1)∵S10=a1+a2+…+a10， S22=a1+a2+…+a22，又S10=S22 ∴a11+a12+…+a22=0， 即a11+a22=2a1+31d=0, 又a1=31，∴d=-2， ∴Sn=na1+ =31n-n(n-1)=32n

12、-n2. (2)方法一：由(1)知Sn=32n-n2， ∴當(dāng)n=16時(shí)，Sn有最大值，Sn的最大值是256. 方法二：由Sn=32n-n2=n(32-n)，欲使Sn有最大值，應(yīng)有1

13、是等差數(shù)列，∴可設(shè)則 ①-②得 方法三： 注：（1）靈活運(yùn)用性質(zhì)，求等差數(shù)列中的量，可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，提高解題速度及準(zhǔn)確性；（2）在應(yīng)用性質(zhì)：若則時(shí)，首先要找到項(xiàng)數(shù)和相等的條件，然后根據(jù)需要求解，解決此類問(wèn)題要有整體代換的意識(shí)。 （四）等差數(shù)列的綜合應(yīng)用 〖例〗已知是正數(shù)組成的數(shù)列，，且點(diǎn)（）在函數(shù)y=x2+1的圖象上。 （1） 求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2） （3） 若數(shù)列滿足b1=1,bn+1=bn+,求證：。 思路解析：（1）利用點(diǎn)在函數(shù)圖象上代入即可得與的關(guān)系，易求得；（2）可先求，利用累加法或迭代法求得，而后作差比較即可，也可不用求而直接利用已知關(guān)系式迭代求證即可。

14、解答：方法一：（1）由已知得，即，又，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列。故=1+（n-1）1=n. （4） 由（1）知：= n，從而， 。 方法二：（1）同方法一； （2）因?yàn)?，所? 注：數(shù)列與函數(shù)、不等式、解析幾何結(jié)合命題是高考考查的熱點(diǎn)，以函數(shù)為載體，求解數(shù)列問(wèn)題時(shí)要看清它們之間的關(guān)系，靈活應(yīng)用它們是關(guān)鍵，在證明數(shù)列中不等問(wèn)題時(shí)，要弄清題意，靈活采用證明不等式的常用方法，本例采用了求差比較法，也是高考?？挤椒ㄖ唬蛇m當(dāng)變形以解決它們。 方法提示: 1.解決等差數(shù)列問(wèn)題，熟練掌握等差數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)，尋找項(xiàng)與前n項(xiàng)和之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵. 2.在等差數(shù)列{an

15、}中，有關(guān)Sn的最值問(wèn)題: (1)a1>0,d<0時(shí)，滿足的項(xiàng)數(shù)m使得Sn取得最大值為Sm； (2)當(dāng)a1<0,d>0時(shí)，滿足的項(xiàng)數(shù)m使得Sn取得最小值為Sm. (3)關(guān)于最值問(wèn)題，除上面介紹的方法外，還可利用等差數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系來(lái)解決，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn可看成關(guān)于n的二次函數(shù)式且常數(shù)項(xiàng)為0，利用二次函數(shù)的圖象或配方法解決最值問(wèn)題. 三、等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和 （一）等比數(shù)列的的運(yùn)算 ※相關(guān)鏈接※ 1.等比數(shù)列基本量的運(yùn)算是等比數(shù)列中一類基本問(wèn)題，數(shù)列中有五個(gè)量，，，，，一般可以“知三求二”，通過(guò)列方程（組）所求問(wèn)題可迎刃而解。 2.解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握等比數(shù)列的

16、有關(guān)公式，并靈活運(yùn)用，在運(yùn)算過(guò)程中，還應(yīng)善于運(yùn)用整體代換思想簡(jiǎn)化運(yùn)算的過(guò)程。 3.在使用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，應(yīng)根據(jù)公比q的情況進(jìn)行分類討論，切不可忽視q的取值而盲目用求和公式。 ※例題解析※ 〖例〗設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且=2-2；數(shù)列為等差數(shù)列，且。 （1） 求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2） 若，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求證：。 思路解析：（1）得結(jié)論；（2）放縮得結(jié)論。 解答：（1）由=2-2，得，又=，所以=，由=2-2……………………① 得……………………………………………………② ②-①得，∴即，∴是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，所以=。 （2）∵為等差數(shù)列，∴，

17、∴從而 ∴…………………………………………………………③ ∴………………………………④ ③-④得 （二）等比數(shù)列的判定 ※相關(guān)鏈接※ 等比數(shù)列的判定方法有： （1）定義法：若，則是等比數(shù)列； （2）中項(xiàng)公式法：若數(shù)列中，，則數(shù)列是等比數(shù)列； （3）通項(xiàng)公式法：若數(shù)列通項(xiàng)公式可寫成，則數(shù)列是等比數(shù)列； （4）前n項(xiàng)和公式法：若數(shù)列的前n項(xiàng)和，則數(shù)列是等比數(shù)列； 注：（1）前兩種方法是判定等比數(shù)列的常用方法，而后兩種方法常用于選擇、填空中的判定；（2）若要判定一個(gè)數(shù)列不是等比數(shù)列，則只需判定其任意的連續(xù)三項(xiàng)不成等比數(shù)列即可。 ※例題解析※ 〖例〗在數(shù)列中，。

18、 （1） 證明數(shù)列是等比數(shù)列； （2） 求數(shù)列的前n項(xiàng)和； （3） 證明不等式對(duì)任意皆成立。 思路解析：證明一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列常用定義法，即，對(duì)于本例（1）適當(dāng)變形即可求證，證明不等問(wèn)題常用作差法證明。 解答：（1）由題設(shè)得。又所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，且公比為4的等比數(shù)列。 （2）由（1）可知，于是數(shù)列的通項(xiàng)公式為。所以數(shù)列的前n項(xiàng)和。 （3）對(duì)任意的， ，所以不等式對(duì)任意皆成立。 （三）等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用 ※相關(guān)鏈接※ 1.等比數(shù)列的性質(zhì)可以分為三類：(1)通項(xiàng)公式的變形，(2)等比中項(xiàng)的變形，(3)前n項(xiàng)和公式的變形.根據(jù)題目條件，認(rèn)真分析，發(fā)現(xiàn)具體的變化特征即可找

19、出解決問(wèn)題的突破口. 2.等比數(shù)列的常用性質(zhì) (1)數(shù)列{an}是等比數(shù)列，則數(shù)列{pan}(p≠0，p是常數(shù))也是等比數(shù)列； (2)在等比數(shù)列{an}中，等距離取出若干項(xiàng)也構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，即an,an+k,an+2k,an+3k,…為等比數(shù)列，公比為qk.[ (3)an=amqn-m(n,m∈N+) (4)若m+n=p+q(m,n,p,q∈N+)，則aman=apaq； (5)若等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則Sk、S2k-Sk、 S3k-S2k、S4k-S3k是等比數(shù)列. （6）等比數(shù)列的單調(diào)性 3. 由于數(shù)列和函數(shù)之間有著密切的聯(lián)系，所以在解決

20、許多數(shù)列問(wèn)題時(shí)，可以借鑒函數(shù)的有關(guān)思想和方法，本例在求解過(guò)程中，就是先求導(dǎo)數(shù)，利用數(shù)列這一特殊函數(shù)的性質(zhì)解決的，所以在解決數(shù)列問(wèn)題時(shí)，應(yīng)善于運(yùn)用函數(shù)的思想方法解決問(wèn)題. 注：等比數(shù)列中所有奇數(shù)項(xiàng)的符號(hào)相同，所有偶數(shù)項(xiàng)的符號(hào)也相同。 ※例題解析※ 〖例1〗已知等比數(shù)列前n項(xiàng)的和為2，其后2n的和為12，求再往后3n項(xiàng)的和。 思路解析：由已知條件，根據(jù)前n項(xiàng)和公式列出關(guān)于首項(xiàng)和公比及n的兩個(gè)方程，應(yīng)能解出和關(guān)于n的表達(dá)式，這樣可能較繁瑣又不便于求出結(jié)果，若采用整體處理的思想，問(wèn)題就會(huì)變得簡(jiǎn)單，也可采用等比數(shù)列的性質(zhì)問(wèn)題簡(jiǎn)化。 解答：方法一：利用等比數(shù)列的性質(zhì)。由已知， .注

21、意到 也成等比數(shù)列,其公比為,于是,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知: 方法二:利用求和公式. 如果公比q=1,則由于,可知,與條件不符,∴q≠1,由求和公式,得…………………………………………① 又……………………………………………………………………② ②式除以①式得，又再往后3n項(xiàng)的和為………………………………………………………………………………③ ③式除以①式得。 〖例2〗(2011青島模擬)已知函數(shù)f(x)=ax2+bx(a≠0)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)=-2x+7,數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,點(diǎn)Pn(n,Sn)(n∈N+)均在函數(shù)y=f(x)的圖象上. (1)求數(shù)列{an}的通

22、項(xiàng)公式及Sn的最大值; (2)令其中n∈N+,求{nbn}的前n項(xiàng)和Tn. 思路解析：對(duì)函數(shù)f(x)的字母系數(shù)通常用待定系數(shù)法確定，再把函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)列問(wèn)題求解.對(duì){nbn}求和，若bn為等比數(shù)列可考慮用錯(cuò)位相減法求和. 解析:(1)由題意可知： ∵f(x)=ax2+bx(a≠0),∴f′(x)=2ax+b，由f′(x)=-2x+7對(duì)應(yīng)相等可得:a=-1,b=7,所以可得f(x)=-x2+7x，又因?yàn)辄c(diǎn)Pn(n,Sn)(n∈N+)均在函數(shù)y=f(x)的圖象上,所以有Sn=-n2+7n 當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=6； 當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=-2n+8，a1=6適合上式， ∴an=-2n+8(n∈N+) 令an=-2n+8≥0得n≤4,當(dāng)n=3或n=4時(shí),Sn取得最大值12. 綜上,an=-2n+8(n∈N+),當(dāng)n=3或n=4時(shí),Sn取得最大值12. (2)由題意得 即數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為8,公比為的等比數(shù)列， 故{nbn}的前n項(xiàng)和 Tn=123+222+…+n2-n+4① Tn=122+22+…+(n-1)2-n+4+n2-n+3② 所以①-②得： Tn=23+22+…+2-n+4-n2-n+3 希望對(duì)大家有所幫助，多謝您的瀏覽！