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1、 2014年高考一輪復習熱點難點精講精析：2.4二次函數(shù) 一、求二次函數(shù)的解析式 1．相關(guān)鏈接 求二次函數(shù)解析式的方法及思路 求二次函數(shù)的解析式,一般用待定系數(shù)法，其關(guān)鍵是根據(jù)已知條件恰當選擇二次函數(shù)解析式的形式，一般選擇規(guī)律如下： 2．例題解析 【例1】設(shè)二次函數(shù)f(x)滿足f(x-2)=f(-x-2)且圖象在y軸上的截距為1,在x軸上截得的線段長為求f(x)的解析式. 【方法詮釋】二次函數(shù)f(x)滿足f(x+t)=f(t-x),則其對稱軸方程為x=t;圖象在x軸上截得的線段長度公式為|x1-x2|,本題可設(shè)f(x)的一般式,亦可設(shè)頂點式. 解析：設(shè)f(x)的

2、兩零點分別為x1,x2, 方法一：設(shè)f(x)=ax2+bx+c,則由題知： c=1,且對稱軸為x=-2. 即b=4a.∴f(x)=ax2+4ax+1. ∴b=4a=2 ∴函數(shù)f(x)的解析式為 方法二：∵f(x-2)=f(-x-2), ∴二次函數(shù)f(x)的對稱軸為x=-2. 1 / 7 設(shè)f(x)=a(x+2)2+b, 且f(0)=1,∴4a+b=1. ∴f(x)=a(x+2)2+1-4a=ax2+4ax+1, 【方法指導】用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式： (1)設(shè)一般式是通法； (2)已知頂點(對稱軸或最值),往往設(shè)頂點式； (3)已知圖象與

3、x軸的兩交點,往往設(shè)兩根式, 若選用形式不當，引入的待定系數(shù)過多，會加大運算量. 【例2】如圖,拋物線與直線y=k(x-4)都經(jīng)過坐標軸的正半軸上、兩點，該拋物線的對稱軸x=-1與x軸相交于點,且∠ABC＝90,求： (1)直線AB對應函數(shù)的解析式； (2)拋物線的解析式. 【解析】(1)由已知及圖形得：A(4,0),B(0,-4k),(-1,0)， 又∵∠CBA=∠BOC=90,∴OB2=COAO. ∴(-4k)2=14, 又∵由圖知k＜0, ∴所求直線的解析式為 (2)設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c, 則解得 ∴所求拋物線的解析式為 二

4、、二次函數(shù)圖象與性質(zhì)的應用 1．相關(guān)鏈接 <一>求二次函數(shù)最值的類型及解法 (1)二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值主要有三種類型：軸定區(qū)間定、軸動區(qū)間定、軸定區(qū)間動,不論哪種類型,解決的關(guān)鍵是對稱軸與區(qū)間的關(guān)系,當含有參數(shù)時，要依據(jù)對稱軸與區(qū)間的關(guān)系進行分類討論； (2)常結(jié)合二次函數(shù)在該區(qū)間上的單調(diào)性或圖象求解，最值一般在區(qū)間的端點或頂點處取得． <二>二次函數(shù)單調(diào)性問題的解法 結(jié)合二次函數(shù)圖象的升、降對對稱軸進行分析討論求解. 注：配方法是解決二次函數(shù)最值問題的常用方法,但要注意自變量范圍與對稱軸之間的關(guān)系. 2．例題解析 【例】(2012鹽城模擬)已知函數(shù)f(x)=x2+2

5、ax+3,x∈[-4,6]. (1)當a=-2時,求f(x)的最值； (2)求實數(shù)a的取值范圍,使y=f(x)在區(qū)間[-4,6]上是單調(diào)函數(shù)； (3)當a=-1時,求f(|x|)的單調(diào)區(qū)間. 【方法詮釋】解答(1)和(2)可根據(jù)對稱軸與區(qū)間的關(guān)系,結(jié)合圖象或單調(diào)性直接求解,對于(3),應先將函數(shù)化為分段函數(shù),再求單調(diào)區(qū)間. 解析：(1)當a=-2時,f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1, 則函數(shù)在［-4,2)上為減函數(shù),在(2,6］上為增函數(shù), ∴f(x)min=f(2)=-1,f(x)max=f(-4)=(-4)2-4(-4)+3=35. (2)函數(shù)f(x)=x2+2

6、ax+3的對稱軸為 ∴要使f(x)在[-4,6］上為單調(diào)函數(shù),只需-a≤-4或-a≥6,解得a≥4或a≤-6. (3)當a=-1時,f(|x|)=x2-2|x|+3 其圖象如圖所示：[ 注：[ 1.影響二次函數(shù)f(x)在區(qū)間[m,n]上最值的要素有三個,即拋物線的開口方向、對稱軸位置、閉區(qū)間；常用數(shù)形結(jié)合思想求解,但當三要素中有一要素不明確時，要分情況討論. 2.確定與應用二次函數(shù)單調(diào)性，常借助其圖象數(shù)形結(jié)合求解. 三、二次函數(shù)與一元二次方程、一元二次不等式的綜合問題 1．相關(guān)鏈接 二次函數(shù)問題的解題思路 (1)解決一元二次方程根的分布問題的方法，常

7、借助于二次函數(shù)的圖象數(shù)形結(jié)合來解,一般從①開口方向；②對稱軸位置；③判別式；④端點函數(shù)值符號四個方面分析. (2)解決一元二次不等式的有關(guān)問題的策略，一般需借助于二次函數(shù)的圖象、性質(zhì)求解. 2．例題解析 【例3】設(shè)函數(shù)f(x)=ax2-2x+2,對于滿足1＜x＜4的一切x值都有f(x)＞0,求實數(shù)a的取值范圍. 【方法詮釋】解答本題可以有兩條途徑：(1)分a＞0,a＜0,a=0三種情況,求出f(x)在(1,4)上的最小值f(x)min,再令f(x)min＞0,從而求出a的取值范圍； (2)將參數(shù)a分離得然后求　　　　　　的最大值即可. 解析：方法一：當a＞0時, 由f(x)＞0

8、,x∈(1,4)得： 或或 或或 ∴a≥1或或,即 當a＜0時, 解得a∈; 當a=0時,f(x)=-2x+2, f(1)=0,f(4)=-6,∴不合題意. 綜上可得, 實數(shù)a的取值范圍是 方法二：由f(x)＞0,即ax2-2x+2＞0,x∈(1,4),得 在(1,4)上恒成立. 令 所以要使f(x)＞0在(1,4)上恒成立,只要即可. 注：1.一元二次不等式問題及一元二次方程解的確定與應用問題常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)圖象和性質(zhì)的應用問題求解，但要注意討論. 2.關(guān)于不等式的恒成立問題,能用分離參數(shù)法，盡量用.因為該法可以避開頻繁地對參數(shù)的討論. 希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！