《高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí):第八章 :第七節(jié)拋物線回扣主干知識(shí)提升學(xué)科素養(yǎng)》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí):第八章 :第七節(jié)拋物線回扣主干知識(shí)提升學(xué)科素養(yǎng)(4頁珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
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第七節(jié) 拋 物 線
【考綱下載】
1.掌握拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單性質(zhì)(范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率等).
2.了解圓錐曲線的簡單應(yīng)用.了解拋物線的實(shí)際背景,了解拋物線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用.
3.理解數(shù)形結(jié)合思想.
1.拋物線的定義
滿足以下三個(gè)條件的點(diǎn)的軌跡是拋物線:
(1)在平面內(nèi);
(2)動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)F的距離與到定直線l的距離相等;
(3)定點(diǎn)不在定直線上.
2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)
標(biāo)準(zhǔn)
方程
y2=2px
(p>0)[來源:][來源:]
y2=-2px
2、
(p>0)[來源:]
x2=2py
(p>0)[來源:][來源:]
x2=-2py
(p>0)
p的幾何意義:焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離
圖形
頂點(diǎn)
O(0,0)
對(duì)稱軸
y=0
x=0
焦點(diǎn)
F
F
F
F
離心率
e=1
準(zhǔn)線
方程
x=-
x=
y=-
y=
范圍
x≥0,
y∈R
x≤0,
y∈R
y≥0,
x∈R
y≤0,
x∈R
開口
方向
向右
向左
向上
向下
焦半徑
(其中
P(x0,y0))
|PF|=
x0+
|PF|=
-x0+
|PF|=
y0+
3、|PF|=
-y0+
1.當(dāng)定點(diǎn)F在定直線l上時(shí),動(dòng)點(diǎn)的軌跡是什么圖形?
提示:當(dāng)定點(diǎn)F在定直線l上時(shí),動(dòng)點(diǎn)的軌跡是過定點(diǎn)F且與直線l垂直的直線.
2.拋物線y2=2px(p>0)上任意一點(diǎn)M(x0,y0)到焦點(diǎn)F的距離與點(diǎn)M的橫坐標(biāo)x0有何關(guān)系?若拋物線方程為x2=2py(p>0),結(jié)果如何?
提示:由拋物線定義得|MF|=x0+;若拋物線方程為x2=2py(p>0),則|MF|=y(tǒng)0+.
1.設(shè)拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),準(zhǔn)線方程為x=-2,則拋物線的方程是( )
A.y2=-8x B.y2=-4x
C.y2=8x
4、 D.y2=4x
解析:選C 由拋物線準(zhǔn)線方程為x=-2知p=4,且開口向右,故拋物線方程為y2=8x.
2.拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離為( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:選B 因?yàn)閽佄锞€y2=4x,所以2p=4,而焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離為p=2.
3.拋物線y=2x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為( )
A. B.(1,0) C. D.
解析:選C 將拋物線y=2x2化成標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=y(tǒng),所以2p=,=,而拋物線x2=y(tǒng)的焦點(diǎn)在y軸的非負(fù)半軸上,所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為.
4.拋物線的焦點(diǎn)為橢圓
5、+=1的左焦點(diǎn),頂點(diǎn)為橢圓中心,則拋物線方程為________________.
解析:由c2=9-4=5,得F(-,0),
則拋物線方程為y2=-4x.
答案:y2=-4x
5.設(shè)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)A(0,2).若線段FA的中點(diǎn)B在拋物線上,則B到該拋物線準(zhǔn)線的距離為________.
解析:F,則B,
∴2p×=1,解得p=.
∴B,
因此B到該拋物線的準(zhǔn)線的距離為+=.
答案:
前沿?zé)狳c(diǎn)(十二)
與拋物線有關(guān)的交匯問題
1.拋物線是一種重要的圓錐曲線,在高考中,經(jīng)常以拋物線為載體與直線、圓綜合考查,主要考查拋物線的
6、方程及幾何性質(zhì),直線與拋物線的綜合應(yīng)用,點(diǎn)到直線的距離等.
2.直線與拋物線的綜合問題,經(jīng)常是將直線方程與拋物線方程聯(lián)立,消去x(或y),利用方程的根與系數(shù)的關(guān)系求解,但一定要注意直線與拋物線相交的條件.
[典例] (2013·浙江高考) 已知拋物線C的頂點(diǎn)為O(0,0),焦點(diǎn)為F(0,1).
(1)求拋物線C的方程;
(2)過點(diǎn)F作直線交拋物線C于A,B兩點(diǎn).若直線AO,BO分別交直線l:y=x-2于M,N兩點(diǎn),求|MN|的最小值.
[解題指導(dǎo)] (1)由拋物線的頂點(diǎn)、焦點(diǎn)即可判斷拋物線的形狀、大小,從而可求拋物線方程.
(2)直線AB與拋物線相交,可得出A,
7、B兩點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系,再由AO、BO與直線l交于M,N兩點(diǎn),可求出|MN|的表達(dá)式,用k來表示,利用函數(shù)即可求最值.
[解] (1)由題意可設(shè)拋物線C的方程為x2=2py(p>0),則=1,p=2,
所以拋物線C的方程為x2=4y.
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線AB的方程為y=kx+1.
由消去y,整理得x2-4kx-4=0,
所以x1+x2=4k,x1x2=-4.
從而|x1-x2|=4.
由
解得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)xM===.
同理點(diǎn)N的橫坐標(biāo)xN=.
所以|MN|=|xM-xN|
=
=8
=.
令4k-3=t,t≠0,則k=.
當(dāng)t&g
8、t;0時(shí),
|MN|=2 >2;
當(dāng)t<0時(shí),
|MN|=2 ≥ .
綜上所述,當(dāng)t=-,即k=-時(shí),|MN|的最小值是 .
[名師點(diǎn)評(píng)] 解答本題的關(guān)鍵有以下幾點(diǎn):
(1)由頂點(diǎn)O(0,0),焦點(diǎn)F(0,1)確定拋物線的開口方向及P的值;
(2)|MN|的表達(dá)式中,注意x1+x2,x1x2及|x1-x2|的值;
(3)注意4k-3=t的換元,使問題簡單.
(2014·湖州模擬)已知拋物線C:y2=2px的焦點(diǎn)為F,拋物線C與直線l1:y=-x的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為8.
(1)求拋物線C的方程;
(2)不過原點(diǎn)的直線l2與l1垂直,且與拋物線交于不
9、同的兩點(diǎn)A,B,若線段AB的中點(diǎn)為P,且|OP|=|PB|,求△FAB的面積.
解:(1)由題意知交點(diǎn)坐標(biāo)為(8,-8),∴82=2p×8,∴2p=8,所以拋物線方程為y2=8x.
(2)∵l1:y=-x,又直線l2與l1垂直,
所以可設(shè)l2:x=y(tǒng)+m,A(x1,y1),B(x2,y2),且直線l2與x軸交點(diǎn)為M.
由得y2-8y-8m=0,
Δ=64+32m>0,∴m>-2.
由韋達(dá)定理,y1+y2=8,y1y2=-8m,
∴x1x2==m2.
由題意可知OA⊥OB,即x1x2+y1y2=m2-8m=0,
∴m=8或m=0(舍),
∴l(xiāng)2:x=y(tǒng)+8,M(8,0),
故S△FAB=S△FMB+S△FMA=·|FM|·|y1-y2|
=3=24.
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