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1、△+△2019年數學高考教學資料△+△ 專題三　高考中的數列問題 1． 公比不為1的等比數列{an}的前n項和為Sn，且－3a1，－a2，a3成等差數列，若a1＝1，則S4等于 (　　) A．－20 B．0 C．7 D．40 答案　A 解析　記等比數列{an}的公比為q，其中q≠1， 依題意有－2a2＝－3a1＋a3，－2a1q＝－3a1＋a1q2≠0. 即q2＋2q－3＝0，(q＋3)(q－1)＝0， 又q≠1，因此有q＝－3，S4＝＝－20，選A. 2． 等比數列{an}的各項均為正數，且a5a6＋a4a7＝18，則

2、log3a1＋log3a2＋…＋log3a10等于 (　　) A．12 B．10 C．8 D．2＋log35 答案　B 解析　等比數列{an}中，a5a6＝a4a7， 又因為a5a6＋a4a7＝18，∴a5a6＝9， log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a10) ＝log3(a5a6)5＝5log3(a5a6)＝5log39＝10. 3． 若正項數列{an}滿足lg an＋1＝1＋lg an，且a2 001＋a2 002＋a2 003＋…＋a2 010＝2 013，則a2 011＋a2 012＋a2 013＋…＋a2 02

3、0的值為 (　　) A．2 0131010 B．2 0131011 C．2 0141010 D．2 0141011 答案　A 解析　由條件知lg an＋1－lg an＝lg ＝1，即＝10，所以{an}為公比是10的等比數列．因為(a2 001＋…＋a2 010)q10＝a2 011＋…＋a2 020，所以a2 011＋…＋a2 020＝2 0131010，選A. 4． 已知數列{an}滿足an＝1＋2＋22＋…＋2n－1，則{an}的前n項和Sn＝________. 答案　2n＋1－2－n 解析　∵an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝＝2n－

4、1， ∴Sn＝(21＋22＋…＋2n)－n ＝－n＝2n＋1－2－n. 5． 把一數列依次按第一個括號內一個數，第二個括號內兩個數，第三個括號內三個數，第四個括號內一個數，…循環(huán)分為(1)，(3,5)，(7,9,11)，(13)，(15,17)，(19,21,23)，(25)，…，則第50個括號內各數之和為________． 答案　392 解析　將三個括號作為一組，則由50＝163＋2，知第50個括號應為第17組的第二個括號，即第50個括號中應是兩個數．又因為每組中含有6個數，所以第48個括號的最末一個數為數列{2n－1}的第166＝96項，第50個括號的第一個數應為數列{2n－1}

5、的第98項，即為298－1＝195，第二個數為299－1＝197，故第50個括號內各數之和為195＋197＝392.故填392. 題型一　等差、等比數列的綜合問題 例1　在等差數列{an}中，a10＝30，a20＝50. (1)求數列{an}的通項公式； (2)令bn＝2an－10，證明：數列{bn}為等比數列； (3)求數列{nbn}的前n項和Tn. 思維啟迪　(1)設出數列{an}的通項公式，結合已知條件列方程組即可求解； (2)由(1)寫出bn的表達式，利用定義法證明； (3)寫出Tn的表達式，考慮用錯位相減法求解． (1)解　由an＝a1＋(n－1)d，a10＝3

6、0，a20＝50， 得方程組， 解得. 所以an＝12＋(n－1)2＝2n＋10. (2)證明　由(1)，得bn＝2an－10＝22n＋10－10＝22n＝4n， 所以＝＝4. 所以{bn}是首項為4，公比為4的等比數列． (3)解　由nbn＝n4n，得 Tn＝14＋242＋…＋n4n， ① 4Tn＝142＋…＋(n－1)4n＋n4n＋1， ② ①－②，得－3Tn＝4＋42＋…＋4n－n4n＋1 ＝－n4n＋1. 所以Tn＝. 思維升華　(1)正確區(qū)分等差數列和等比數列，其中公比等于1的等比數列也是等差數列． (2)等差數列和

7、等比數列可以相互轉化，若數列{bn}是一個公差為d的等差數列，則{abn}(a>0，a≠1)就是一個等比數列，其公比q＝ad；反之，若數列{bn}是一個公比為q(q>0)的正項等比數列，則{logabn}(a>0，a≠1)就是一個等差數列，其公差d＝logaq. 　數列{an}的前n項和為Sn，若a1＝2且Sn＝Sn－1＋2n(n≥2，n∈N*)． (1)求Sn； (2)是否存在等比數列{bn}滿足b1＝a1，b2＝a3，b3＝a9？若存在，求出數列{bn}的通項公式；若不存在，說明理由． 解　(1)因為Sn＝Sn－1＋2n， 所以有Sn－Sn－1＝2n對n≥2，n∈N*成立． 即

8、an＝2n對n≥2，n∈N*成立， 又a1＝S1＝21，所以an＝2n對n∈N*成立． 所以an＋1－an＝2對n∈N*成立， 所以{an}是等差數列， 所以有Sn＝n＝n2＋n，n∈N*. (2)存在． 由(1)知，an＝2n對n∈N*成立， 所以有a3＝6，a9＝18，又a1＝2， 所以有b1＝2，b2＝6，b3＝18，則＝＝3， 所以存在以b1＝2為首項，以3為公比的等比數列{bn}， 其通項公式為bn＝23n－1. 題型二　數列與函數、不等式的綜合問題 例2　已知等差數列{an}中，a2＝6，a3＋a6＝27. (1)求數列{an}的通項公式； (2)記數列

9、{an}的前n項和為Sn，且Tn＝，若對于一切正整數n，總有Tn≤m成立，求實數m的取值范圍． 思維啟迪　(1)利用已知條件求出an的公差與首項，可得an； (2)求出Sn后，利用Tn的單調性求Tn的最大值，可解得m的取值范圍． 解　(1)設公差為d，由題意得： 解得，∴an＝3n. (2)∵Sn＝3(1＋2＋3＋…＋n)＝n(n＋1)， ∴Tn＝， ∴Tn＋1－Tn＝－＝， ∴當n≥3時，Tn>Tn＋1，且T1＝1

10、題 ①以數列為背景的不等式恒成立問題，多與數列求和相聯系，最后利用函數的單調性求解． ②以數列為背景的不等式證明問題，多與數列求和有關，有時利用放縮法證明． 　(2013江西)正項數列{an}的前n項和Sn滿足：S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0. (1)求數列{an}的通項公式an； (2)令bn＝，數列{bn}的前n項和為Tn，證明：對于任意的n∈N*，都有Tn<. (1)解　由S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0， 得[Sn－(n2＋n)](Sn＋1)＝0， 由于{an}是正項數列，所以Sn＋1>0. 所以Sn＝n2＋n. n≥2時，an＝Sn－Sn－1

11、＝2n， n＝1時，a1＝S1＝2適合上式．∴an＝2n. (2)證明　由an＝2n得bn＝＝ ＝. Tn＝ ＝<＝. 題型三　數列的實際應用問題 例3　某市2013年新建住房400萬平方米，其中有250萬平方米是中低價房，預計在今后的若干年內，該市每年新建住房面積平均比上一年增長8%.另外，每年新建住房中，中低價房的面積均比上一年增加50萬平方米．那么，到哪一年底： (1)該市歷年所建中低價房的累計面積(以2013年為累計的第一年)將首次不少于4 750萬平方米？ (2)當年建造的中低價房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%？(參考數據：1.084≈1.36,1

12、.085≈1.47,1.086≈1.59) 思維啟迪　關鍵信息：①每年新建住房面積平均比上一年增長8%，說明新建住房面積構成等比數列模型；②中低價房的面積均比上一年增加50萬平方米，說明中低價房的面積構成等差數列模型． 解　(1)設中低價房面積形成數列{an}，由題意可知{an}是等差數列，其中a1＝250，d＝50， 則Sn＝250n＋50＝25n2＋225n， 令25n2＋225n≥4 750， 即n2＋9n－190≥0，而n是正整數，∴n≥10. ∴到2022年底，該市歷年所建中低價房的累計面積將首次不少于4 750萬平方米． (2)設新建住房面積形成數列{bn}，由題意可

13、知{bn}是等比數列，其中b1＝400，q＝1.08，則bn＝400(1.08)n－1. 由題意可知an>0.85bn， 有250＋(n－1)50>400(1.08)n－10.85. 當n＝5時，a5<0.85b5，當n＝6時，a6>0.85b6， ∴滿足上述不等式的最小正整數n為6. ∴到2018年底，當年建造的中低價房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%. 思維升華　解決此類問題的關鍵是如何把實際問題轉化為數學問題，通過反復讀題，列出有關信息，轉化為數列的有關問題，這恰好是數學實際應用的具體體現． 　(1)今年“十一”期間，北京十家重點公園將舉行免費游園活動，北海公園

14、免費開放一天，早晨6時30分有2人進入公園，接下來的第一個30分鐘內有4人進去1人出來，第二個30分鐘內有8人進去2人出來，第三個30分鐘內有16人進去3人出來，第四個30分鐘內有32人進去4人出來……按照這種規(guī)律進行下去，到上午11時30分公園內的人數是 (　　) A．211－47 B．212－57 C．213－68 D．214－80 答案　B 解析　由題意，可知從早晨6時30分開始，接下來的每個30分鐘內進入的人數構成以4為首項，2為公比的等比數列，出來的人數構成以1為首項，1為公差的等差數列，記第n個30分鐘內進入公園的人數為an，

15、第n個30分鐘內出來的人數為bn，則an＝4 2n－1，bn＝n，則上午11時30分公園內的人數為S＝2＋－＝212－57. (2)某企業(yè)在第1年初購買一臺價值為120萬元的設備M，M的價值在使用過程中逐年減少．從第2年到第6年，每年初M的價值比上年初減少10萬元；從第7年開始，每年初M的價值為上年初的75%.則第n年初M的價值an＝________. 答案　an＝ (時間：80分鐘) 1． 已知數列{an}的前n項和為Sn，且滿足：an＋2SnSn－1＝0(n≥2，n∈N)，a1＝，判斷與{an}是否為等差數列，并說明你的理由． 解　因為an＝Sn－Sn－1(n≥2)， 又

16、因為an＋2SnSn－1＝0， 所以Sn－Sn－1＋2SnSn－1＝0(n≥2)， 所以－＝2(n≥2)， 又因為S1＝a1＝， 所以是以2為首項，2為公差的等差數列． 所以＝2＋(n－1)2＝2n，故Sn＝. 所以當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝－＝， 所以an＋1＝， 而an＋1－an＝－ ＝＝. 所以當n≥2時，an＋1－an的值不是一個與n無關的常數，故數列{an}不是一個等差數列． 綜上，可知是等差數列，{an}不是等差數列． 2． 設數列{an}滿足a1＝0且－＝1. (1)求{an}的通項公式； (2)設bn＝，記Sn＝k，證明：Sn<1. (1)

17、解　由題設－＝1， 即是公差為1的等差數列，又＝1， 故＝n.所以an＝1－. (2)證明　由(1)得bn＝＝ ＝－，Sn＝k＝ ＝1－<1. 3． 已知公差不為0的等差數列{an}的首項a1為a(a∈R)，且，，成等比數列． (1)求數列{an}的通項公式； (2)對n∈N*，試比較＋＋＋…＋與的大?。? 解　(1)設等差數列{an}的公差為d， 由題意可知()2＝， 即(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，從而a1d＝d2. 因為d≠0，所以d＝a1＝a. 故通項公式an＝na. (2)記Tn＝＋＋…＋，因為a2n＝2na， 所以Tn＝(＋＋…＋) ＝＝[1－(

18、)n]． 從而，當a>0時，Tn<；當a<0時，Tn>. 4． 設數列{an}的前n項和為Sn，a1＝10，an＋1＝9Sn＋10. (1)求證：{lg an}是等差數列； (2)設Tn是數列{}的前n項和，求Tn； (3)求使Tn>(m2－5m)對所有的n∈N*恒成立的整數m的取值集合． (1)證明　依題意，得a2＝9a1＋10＝100，故＝10. 當n≥2時，an＋1＝9Sn＋10，an＝9Sn－1＋10， 兩式相減得an＋1－an＝9an， 即an＋1＝10an，＝10， 故{an}為等比數列，且an＝a1qn－1＝10n(n∈N*)， ∴l(xiāng)g an＝n.∴l(xiāng)g a

19、n＋1－lg an＝(n＋1)－n＝1， 即{lg an}是等差數列． (2)解　由(1)知，Tn＝3[＋＋…＋] ＝3(1－＋－＋…＋－)＝. (3)解　∵Tn＝3－，∴當n＝1時，Tn取最小值. 依題意有>(m2－5m)，解得－1m≥2，m，k∈N*)，使得b1、bm、bk成等比數列？若存在，求出所有符合條件的m、k的值；若不存在，請說明理由． 解　(1)設等

20、差數列{an}的公差為d，則Sn＝na1＋d. 由已知，得 即， 解得所以an＝a1＋(n－1)d＝n(n∈N*)． (2)假設存在m、k(k>m≥2，m，k∈N*)， 使得b1、bm、bk成等比數列，則b＝b1bk， 因為bn＝＝， 所以b1＝，bm＝，bk＝， 所以()2＝. 整理，得k＝. 以下給出求m、k的方法： 因為k>0，所以－m2＋2m＋1>0， 解得1－

21、2Sn＋1＋1(n∈N*)；數列{bn}中，b1＝a1，bn＋1＝4bn＋6(n∈N*)． (1)求數列{an}，{bn}的通項公式； (2)設cn＝bn＋2＋(－1)n－1λ2an(λ為非零整數，n∈N*)，試確定λ的值，使得對任意n∈N*，都有cn＋1>cn成立． 解　(1)由已知，得Sn＋2－Sn＋1－(Sn＋1－Sn)＝1， 所以an＋2－an＋1＝1(n≥1)． 又a2－a1＝1， 所以數列{an}是以a1＝2為首項，1為公差的等差數列． 所以an＝n＋1. 又bn＋1＋2＝4(bn＋2)， 所以{bn＋2}是以4為公比，4為首項的等比數列． 所以bn＝4n－2.

22、 (2)因為an＝n＋1，bn＝4n－2， 所以cn＝4n＋(－1)n－1λ2n＋1.要使cn＋1>cn成立， 需cn＋1－cn＝4n＋1－4n＋(－1)nλ2n＋2－(－1)n－1λ2n＋1>0恒成立， 所以34n－3λ(－1)n－12n＋1>0恒成立． 所以(－1)n－1λ<2n－1恒成立． ①當n為奇數時，即λ<2n－1恒成立， 當且僅當n＝1時，2n－1有最小值1，所以λ<1； ②當n為偶數時，即λ>－2n－1恒成立， 當且僅當n＝2時，－2n－1有最大值－2. 所以λ>－2，即－2<λ<1.又λ為非零整數，則λ＝－1. 綜上所述，存在λ＝－1，使得對任意n∈N*，都有cn＋1>cn成立． 高考數學復習精品 高考數學復習精品