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1、△+△2019年數(shù)學高考教學資料△+△ 課時限時檢測(二十四)　正弦定理、余弦定理的應用舉例 (時間：60分鐘　滿分：80分)命題報告 考查知識點及角度 題號及難度 基礎 中檔 稍難 測量距離問題 1,4,7 10 測量高度問題 2,8 6 測量角度問題 5 9 綜合應用 3 11,12 一、選擇題(每小題5分，共30分) 1．已知A、B兩地的距離為10 km，B、C兩地的距離為20 km，現(xiàn)測得∠ABC＝120，則A，C兩地的距離為(　　) A．10 km　　　　　　 B．10 km C．10 km D．10 km 【解析】

2、　由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2ABBCcos∠ABC＝100＋400－21020＝700， ∴AC＝10. 【答案】　D 2．要測量底部不能到達的電視塔AB的高度，在C點測得塔頂A的仰角是45，在D點測得塔頂A的仰角是30，并測得水平面上的∠BCD＝120，CD＝40 m，則電視塔的高度為(　　) 圖3－8－9 A．10 m B．20 m C．20 m D．40 m 【解析】　設電視塔的高度為x m，則BC＝x，BD＝x.在△BCD中，根據(jù)余弦定理得3x2＝x2＋402－240xcos 120，即x2－20x－800＝0，解得x＝－20(舍去)或x＝40.故

3、電視塔的高度為40 m. 【答案】　D 3．一船向正北航行，看見正西方向有相距10海里的兩個燈塔恰好與它在一條直線上，繼續(xù)航行半小時后，看見一燈塔在船的南偏西60，另一燈塔在船的南偏西75，則這艘船的速度是每小時(　　) A．5海里 B．5海里 C．10海里 D．10海里 【解析】　如圖，依題意有∠BAC＝60，∠BAD＝75，所以∠CAD＝∠CDA＝15，從而CD＝CA＝10，在直角三角形ABC中，得AB＝5，于是這艘船的速度是＝10(海里/小時)． 【答案】　C 4．一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時40海里的速度沿東偏南50方向直線航行，30分鐘后到達B處．在C處有一

4、座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是東偏南20，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65，那么B、C兩點間的距離是(　　) 圖3－8－10 A．10海里 B．10海里 C．20海里 D．20海里 【解析】　由已知可得，∠BAC＝30，∠ABC＝105，AB＝20，從而∠ACB＝45. 在△ABC中，由正弦定理，得BC＝sin 30＝10. 【答案】　A 5．(2014南昌模擬)如圖3－8－11所示，當甲船位于A處時獲悉，在其正東方向相距20海里的B處有一艘漁船遇險等待營救，甲船立即前往營救，同時把消息告知在甲船的南偏西30相距10海里C處的乙船，乙船立即朝北偏東θ＋30角的

5、方向沿直線前往B處營救，則sin θ的值為(　　) 圖3－8－11 A. B. C. D. 【解析】　連接BC.在△ABC中，AC＝10，AB＝20，∠BAC＝120，由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2ABACcos 120＝700，∴BC＝10，再由正弦定理，得＝，∴sin θ＝. 【答案】　A 6．某校運動會開幕式上舉行升旗儀式，在坡度為15的看臺上，同一列上的第一排和最后一排測得旗桿頂部的仰角分別為60和30，第一排和最后一排的距離為10 m(如圖3－8－12所示)，則旗桿的高度為(　　) 圖3－8－12 A．10 m B．30 m C．1

6、0 m D．10 m 【解析】　如圖，在△ABC中，∠ABC＝105，所以∠ACB＝30. 由正弦定理得＝， 所以BC＝20＝20(m)， 在Rt△CBD中，CD＝BCsin 60＝20＝30(m)． 【答案】　B 二、填空題(每小題5分，共15分) 7．已知A船在燈塔C北偏東80處，且A船到燈塔C的距離為2 km，B船在燈塔C北偏西40處， A，B兩船間的距離為3 km，則B船到燈塔C的距離為________km. 【解析】　如圖，由已知得 ∠ACB＝120，AC＝2，AB＝3. 設BC＝x，則由余弦定理得 AB2＝BC2＋AC2－2BCACcos 120，

7、 即32＝22＋x2－22xcos 120 即x2＋2x－5＝0，解得x＝－1. 【答案】?。? 8．(2014長沙模擬)如圖3－8－13，測量河對岸的塔高AB時，可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測點C與D，測得∠BCD＝15，∠BDC＝30，CD＝30，并在點C測得塔頂A的仰角為60，則塔高AB＝________. 圖3－8－13 【解析】　設AB＝h，在△ABC中 tan 60＝，∴BC＝h， 在△BCD中，∠DBC＝180－15－30＝135， 由正弦定理得＝， 即＝，解得h＝15. 【答案】　15 9．(2014昌平模擬)如圖3－8－14所示，已知樹頂A離

8、地面米，樹上另一點B離地面米，某人在離地面米的C處看此樹，則該人離此樹________米時，看A，B的視角最大． 圖3－8－14 【解析】　過C作CF⊥AB于點F，設∠ACB＝α，∠BCF＝β. 由已知得AB＝－＝5(米)，BF＝－＝4(米)，AF＝－＝9(米)． 則tan(α＋β)＝＝，tan β＝＝， ∴tan α＝[(α＋β)－β]＝ ＝＝ ≤＝. 當且僅當FC＝，即FC＝6時，tan α取得最大值，此時α取得最大值． 【答案】　6 三、解答題(本大題共3小題，共35分) 10．(10分)(2014濟南模擬)如圖3－8－15，漁船甲位于島嶼A的南偏西60方向的B

9、處，且與島嶼A相距12海里，漁船乙以10海里/時的速度從島嶼A出發(fā)沿正北方向航行，若漁船甲同時從B處出發(fā)沿北偏東α的方向追趕漁船乙，剛好用2小時追上，此時到達C處． 圖3－8－15 (1)求漁船甲的速度； (2)求sin α的值． 【解】　(1)依題意知，∠BAC＝120，AB＝12海里，AC＝102＝20(海里)，∠BCA＝α， 在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2ABACcos∠BAC＝122＋202－21220cos 120＝784. 解得BC＝28(海里)． 所以漁船甲的速度為＝14(海里/時)． (2)由(1)知BC＝28海里，在△ABC中，∠B

10、CA＝α，由正弦定理得＝. 即sin α＝＝＝. 11．(12分)(2014煙臺模擬)某單位設計了一個展覽沙盤，現(xiàn)欲在沙盤平面內(nèi)布設一個對角線在l上的四邊形電氣線路，如圖所示，為充分利用現(xiàn)有材料，邊BC，CD用一根5米長的材料彎折而成，邊BA，AD再用一根9米長的材料彎折而成，要求∠A和∠C互補，且AB＝BC 圖3－8－16 (1)設AB＝x米，cos A＝f(x)，求f(x)的解析式，并指出x的取值范圍； (2)求四邊形ABCD面積的最大值． 【解】　(1)在△ABD中，由余弦定理得 BD2＝AB2＋AD2－2ABADcos A. 同理，在△CBD中，BD2＝BC2＋CD

11、2－2BCCDcos C 因為A和C互補，所以cos A＝－cos C， 所以AB2＋AD2－2ABADcos A＝BC2＋CD2－2BCCDcos C＝BC2＋CD2＋2BCCDcos A. 即x2＋(9－x)2－2x(9－x)cos A＝x2＋(5－x)2＋2x(5－x)cos A，解得cos A＝， 即f(x)＝，x∈(2,5)． (2)四邊形ABCD的面積為 S＝(ABAD＋BCCD)sin A ＝[x(5－x)＋x(9－x)] ＝x(7－x) ＝ ＝. 記g(x)＝(x2－4)(x2－14x＋49)，x∈(2,5)， 則g′(x)＝2x(x2－14x＋49)＋

12、(x2－4)(2x－14)＝2(x－7)(2x2－7x－4)． 令g′(x)＝0， 解得x＝4(x＝7或x＝－舍去)． 易知函數(shù)g(x)在(2,4)上單調(diào)遞增，在(4,5)上單調(diào)遞減．因此g(x)的最大值為g(4)＝129＝108. 所以S的最大值為6，即四邊形ABCD的面積的最大值為6 m2. 12．(13分)(2014鄭州模擬)某城市有一塊不規(guī)則的綠地如圖3－8－17所示，城建部門欲在該地上建造一個底座為三角形的環(huán)境標志，小李、小王設計的底座形狀分別為△ABC、△ABD，經(jīng)測量AD＝BD＝14，BC＝10，AC＝16，∠C＝∠D. 圖3－8－17 (1)求AB的長度；

13、(2)若建造環(huán)境標志的費用與用地面積成正比，不考慮其他因素，小李、小王誰的設計使建設費用最低，請說明理由． 【解】　(1)在△ABC中，由余弦定理得 AB2＝AC2＋BC2－2ACBCcos C＝162＋102－21610cos C，① 在△ABD中，由余弦定理及∠C＝∠D整理得 AB2＝AD2＋BD2－2ADBDcos D＝142＋142－2142cos C，② 由①②得：142＋142－2142cos C＝162＋102－21610cos C，整理可得，cos C＝， 又∠C為三角形的內(nèi)角，所以C＝60， 又∠C＝∠D，AD＝BD，所以△ABD是等邊三角形， 故AB＝14，即A、B兩點的距離為14. (2)小李的設計符合要求． 理由如下：S△ABD＝ADBDsin D， S△ABC＝ACBCsin C，因為ADBD＞ACBC， 所以S△ABD＞S△ABC， 由已知建造費用與用地面積成正比，故選擇△ABC建造環(huán)境標志費用較低． 即小李的設計符合要求． 高考數(shù)學復習精品 高考數(shù)學復習精品