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第三節(jié) 圓 的 方 程
【考綱下載】
1．掌握確定圓的幾何要素．
2．掌握圓的標準方程與一般方程．
1．圓的定義、方程
定義
平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的軌跡叫做圓
方程[來源:]
標[來源:][來源:]
準
(x－a)2＋(y－b)2
＝r2(r>0)[來源:]
圓心C的坐標(a，b)
半徑為r
一
般
x2＋y2＋Dx＋
Ey＋F＝0
充要條件：D2＋E2－4F>0
圓心坐標：
半徑r＝
2．點與圓的位置關(guān)系
(1)理論依據(jù)：點與圓心的距離與半徑的大小關(guān)系．
(2
2、)三個結(jié)論
圓的標準方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，點M(x0，y0)，
①(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?點在圓上；
②(x0－a)2＋(y0－b)2>r2?點在圓外；
③(x0－a)2＋(y0－b)20時，上述方程才表示圓；當D2＋E2－4F＝0時，方程表示一個點；當D2＋E2－4F<0時，方程不表示任何圖形．
1．(教材習(xí)題改編)圓
3、x2＋y2－4x＋6y＝0的圓心坐標是( )
A．(2,3) B．(－2,3)
C．(－2，－3) D．(2，－3)
解析：選D 圓的方程可化為(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圓心坐標是(2，－3)．
2．將圓x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直線是( )
A．x＋y－1＝0 B．x＋y＋3＝0
C．x－y＋1＝0 D．x－y＋3＝0
解析：選C 將圓x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直線必定過圓心，而圓x2＋y2－2x－4y＋1＝0的圓心坐標為(1,2)，且(1,2)在直線x－y＋1＝0
4、上．
3．若點(2a，a＋1)在圓x2＋(y－1)2＝5的內(nèi)部，則a的取值范圍是( )
A．－10.解得－2
5、<.
答案：
5．(教材習(xí)題改編)已知圓C經(jīng)過A(5,1)，B(1,3)兩點，圓心在x軸上，則圓C的方程為__________________．
解析：設(shè)圓心坐標為(a,0)，依題意得
(a－5)2＋12＝(a－1)2＋32，解得a＝2，
所以圓心坐標為(2,0)，半徑r＝＝，
即圓的方程為(x－2)2＋y2＝10.
答案：(x－2)2＋y2＝10
前沿?zé)狳c(十)
高考中與圓有關(guān)的交匯問題
1．圓的定義及其標準方程，與圓有關(guān)的軌跡問題，點與圓的關(guān)系、點與圓的距離，在高考中常常將它們綜合在一起命制試題．
2．求圓的方程往往需要三個獨立的條件即可求出，求與圓有關(guān)
6、的軌跡方程經(jīng)?？紤]直接法、定義法、相關(guān)點法等．涉及點與圓的距離問題，經(jīng)常轉(zhuǎn)化為點與圓心的距離問題等．
[典例] (2013新課標全國卷Ⅱ)在平面直角坐標系xOy中，已知圓P在x軸上截得線段長為2，在y軸上截得線段長為2.
(1)求圓心P的軌跡方程；
(2)若點P到直線y＝x的距離為，求圓P的方程．
[解題指導(dǎo)] (1)利用圓在兩坐標軸上截得的線段的長，分別得出半徑的表達式，利用半徑相等即可求得方程；
(2)依據(jù)(1)及點P到直線y＝x的距離可求出點P的坐標，進而求得半徑，得出圓的方程．
[解] (1)設(shè)P(x，y)，圓P的半徑為r.
由題設(shè)y2＋2＝r2，x2＋3＝r2.從而y2
7、＋2＝x2＋3.
故點P的軌跡方程為y2－x2＝1.
(2)設(shè)P(x0，y0)．由已知得＝.
又點P在雙曲線y2－x2＝1上，從而得
由得
此時，圓P的半徑r＝.
由得
此時，圓P的半徑r＝.
故圓P的方程為x2＋(y－1)2＝3或x2＋(y＋1)2＝3.
[名師點評] 解決本題的關(guān)鍵有以下兩點：
(1)注意圓心與弦的中點的連線與弦垂直；
(2)注意點P滿足兩個條件：一是點P在曲線x2－y2＝1上；二是點P到直線y＝x的距離為.
(2013福建高考)如圖，拋物線E：y2＝4x的焦點為F，準線l與x軸的交點為A.點C在拋物線E上，以C為圓心，|CO|為半徑作圓，設(shè)圓C
8、與準線l交于不同的兩點M，N.
(1)若點C的縱坐標為2，求|MN|；
(2)若|AF|2＝|AM||AN|，求圓C的半徑．
解：(1)拋物線y2＝4x的準線l的方程為x＝－1.
由點C的縱坐標為2，得點C的坐標為(1,2)，
所以點C到準線l的距離d＝2.又|CO|＝，
所以|MN|＝2＝2＝2.
(2)設(shè)C，則圓C的方程為2＋(y－y0)2＝＋y，即x2－x＋y2－2y0y＝0.
由x＝－1，得y2－2y0y＋1＋＝0，
設(shè)M(－1，y1)，N(－1，y2)，則
由|AF|2＝|AM||AN|，得|y1y2|＝4，
所以＋1＝4，解得y0＝，此時Δ>0.
所以圓心C的坐標為或，
從而|CO|2＝，|CO|＝，即圓C的半徑為.
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高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：第八章 ：第三節(jié)圓的方程回扣主干知識提升學(xué)科素養(yǎng)
