《高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí):第七章 :第四節(jié)直線、平面平行的判定及其性質(zhì)回扣主干知識(shí)提升學(xué)科素養(yǎng)》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí):第七章 :第四節(jié)直線、平面平行的判定及其性質(zhì)回扣主干知識(shí)提升學(xué)科素養(yǎng)(5頁珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
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第四節(jié) 直線、平面平行的判定及其性質(zhì)
【考綱下載】
1.能以立體幾何中的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn),認(rèn)識(shí)和理解空間中線面平行的有關(guān)性質(zhì)與判定定理.
2.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的平行關(guān)系的簡(jiǎn)單命題.
1.直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理
文字語言
圖形語言
符號(hào)語言
判定定理
平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行(線線平行?線面平行)
l∥a,a?α,l?α?l∥α
性質(zhì)定理
一條直線與一個(gè)平面平行,則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行
2、(簡(jiǎn)記為“線面平行?線線平行”)
l∥α,l?β,α∩β=b?l∥b
2.平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理
文字語言
圖形語言
符號(hào)語言
判定定理
一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行,則這兩個(gè)平面平行(簡(jiǎn)記為“線面平行?面面平行”)
a∥β,b∥β,a∩b=P,a?α,b?α?α∥β
性質(zhì)定理
如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交,那么它們的交線平行
α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b?a∥b
1.如果一條直線和平面內(nèi)一條直線平行,那么這條直線和這個(gè)平面平行嗎?
提示:不一定.只有當(dāng)此直線在平面外時(shí)才有線面平行.
2.如果一條直線和一個(gè)平
3、面平行,那么這條直線和這個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線都平行嗎?
提示:不都平行.對(duì)于任意一條直線而言,存在異面的情況.
3.如果一個(gè)平面內(nèi)有無數(shù)條直線與另一個(gè)平面平行,那么這兩個(gè)平面平行嗎?
提示:不一定.可能平行,也可能相交.
4.如果兩個(gè)平面平行,則一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一個(gè)平面有什么位置關(guān)系?
答案:平行.
1.若兩條直線都與一個(gè)平面平行,則這兩條直線的位置關(guān)系是( )
A.平行 B.相交
C.異面 D.以上均有可能
解析:選D 與一個(gè)平面平行的兩條直線可以平行、相交,也可以異面.
2.下列命題中,正確的是( )
4、[來源:]
A.若a∥b,b?α,則a∥α B.若a∥α,b?α,則a∥b
C.若a∥α,b∥α,則a∥b D.若a∥b,b∥α,a?α,則a∥α
解析:選D 由直線與平面平行的判定定理知,三個(gè)條件缺一不可,只有選項(xiàng)D正確.
3.(2013廣東高考)設(shè)l為直線,α,β是兩個(gè)不同的平面.下列命題中正確的是( )
A.若l∥α,l∥β,則α∥β
B.若l⊥α,l⊥β,則α∥β
C.若l⊥α,l∥β,則α∥β
D.若α⊥β,l∥α,則l⊥β
解析:選B l∥α,l∥β,則α與β可能平行,也可能相交,故A項(xiàng)錯(cuò);由面面平行的判定定理可知B項(xiàng)正確;由l⊥α,l∥β可知α⊥β,故
5、C項(xiàng)錯(cuò);由α⊥β,l∥α可知l與β可能平行,也可能相交,故D項(xiàng)錯(cuò).
4.(教材習(xí)題改編)已知平面α∥β,直線a?α,有下列命題:
①a與β內(nèi)的所有直線平行;
②a與β內(nèi)無數(shù)條直線平行;
③a與β內(nèi)的任意一條直線都不垂直.
其中真命題的序號(hào)是________.
解析:由面面平行的性質(zhì)可知,過a與β相交的平面與β的交線才與a平行,故①錯(cuò)誤;②正確;平面β內(nèi)的直線與直線a平行,異面均可,其中包括異面垂直,故③錯(cuò)誤.
答案:②[來源:]
5.已知正方體ABCDA1B1C1D1,下列結(jié)論中,正確的結(jié)論是________(只填序號(hào)).
①AD1∥BC1;
②平面AB1D1∥平面BDC1
6、;
③AD1∥DC1;
④AD1∥平面BDC1.
解析:
連接AD1、BC1,因?yàn)锳B∥C1D1,AB=C1D1,
所以四邊形AD1C1B為平行四邊形,故AD1∥BC1,從而①正確;
易證BD∥B1D1,AB1∥DC1,
又AB1∩B1D1=B1,BD∩DC1=D,故平面AB1D1∥平面BDC1,從而②正確;
由圖易知AD1與DC1異面,故③錯(cuò)誤;
因AD1∥BC1,AD1?平面BDC1,BC1?平面BDC1,故AD1∥平面BDC1,故④正確.
答案:①②④
數(shù)學(xué)思想(九)
轉(zhuǎn)化與化歸思想在證明平行關(guān)系中的應(yīng)用
線線平行、線面平行和面面平行是空間中三種基
7、本平行關(guān)系,它們之間可以相互轉(zhuǎn)化,其轉(zhuǎn)化關(guān)系如下:
證明平行的一般思路是:欲證面面平行,可轉(zhuǎn)化為證明線面平行;欲證線面平行,可轉(zhuǎn)化為證明線線平行.
[典例] (2013遼寧高考)如圖,AB是圓O的直徑,PA垂直圓O所在的平面,C是圓O上的點(diǎn).
(1)求證:BC⊥平面PAC;
(2)設(shè)Q為PA的中點(diǎn),G為△AOC的重心.求證:QG∥平面PBC.
[解題指導(dǎo)] (1)利用線面垂直的判定定理證明;(2)可證明QG所在的平面與平面PBC平行.
[解] (1)由AB是圓O的直徑,得AC⊥BC.
由PA⊥平面ABC,BC?平面ABC,得PA⊥BC.
又PA∩AC=A,PA?平面
8、PAC,AC?平面PAC,
所以BC⊥平面PAC.
(2)連接OG并延長(zhǎng)交AC于M,連接QM,QO,由G為△AOC的重心,得M為AC中點(diǎn).由Q為PA中點(diǎn),得QM∥PC.
又O為AB的中點(diǎn),得OM∥BC.
因?yàn)镼M∩MO=M,QM?平面QMO,MO?平面QMO,BC∩PC=C,BC?平面PBC,PC?平面PBC,
所以平面QMO∥平面PBC.
因?yàn)镼G?平面QMO,
所以QG∥平面PBC.
[題后悟道] 1.本例(2)巧妙地將線面平行的證明轉(zhuǎn)化為面面平行,進(jìn)而由面面平行的性質(zhì)得出結(jié)論的證明.
2.利用相關(guān)的平行判定定理和性質(zhì)定理實(shí)現(xiàn)線線、線面、面面平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化,也要注意平面幾
9、何中一些平行的判斷和性質(zhì)的靈活應(yīng)用,如中位線、平行線分線段成比例等,這些是空間線面平行關(guān)系證明的基礎(chǔ).
如圖所示,幾何體EABCD是四棱錐,△ABD為正三角形,CB=CD,EC⊥BD.
(1)求證:BE=DE;
(2)若∠BCD=120,M為線段AE的中點(diǎn),求證:DM∥平面BEC.
證明:(1)取BD的中點(diǎn)O,連接CO,EO.
由于CB=CD,所以CO⊥BD,
又EC⊥BD,EC∩CO=C,
CO,EC?平面EOC,
所以BD⊥平面EOC,
所以BD⊥EO,
又O為BD的中點(diǎn),
所以BE=DE.
(2)法一:取AB的中點(diǎn)N,連接DM,DN,MN,
因?yàn)镸是
10、AE的中點(diǎn),
所以MN∥BE.
又MN?平面BEC,BE?平面BEC,
所以MN∥平面BEC.[來源:]
又因?yàn)椤鰽BD為正三角形,
所以∠BDN=30.
又CB=CD,∠BCD=120,
因此∠CBD=30,
所以DN∥BC.
又DN?平面BEC,BC?平面BEC,
所以DN∥平面BEC.
又MN∩DN=N,
故平面DMN∥平面BEC.
又DM?平面DMN,
所以DM∥平面BEC.
法二:
延長(zhǎng)AD,BC交于點(diǎn)F,連接EF.[來源:]
因?yàn)镃B=CD,∠BCD=120,
所以∠CBD=30.
因?yàn)椤鰽BD為正三角形,
所以∠ABD=∠BAD=60,∠ABC=90,
因此∠AFB=30,[來源:]
所以AB=AF.
又AB=AD,
所以D為線段AF的中點(diǎn).
連接DM,由于點(diǎn)M是線段AE的中點(diǎn),
所以在△AFE中,DM∥EF.
又DM?平面BEC,EF?平面BEC,
所以DM∥平面BEC.
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