《高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：第九章 ：第六節(jié)數(shù)學(xué)歸納法回扣主干知識(shí)提升學(xué)科素養(yǎng)》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：第九章 ：第六節(jié)數(shù)學(xué)歸納法回扣主干知識(shí)提升學(xué)科素養(yǎng)（4頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
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第六節(jié) 數(shù)學(xué)歸納法
1．了解數(shù)學(xué)歸納法的原理．
2．能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題．
[來(lái)源:數(shù)理化網(wǎng)]
1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法
一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：
(1)(歸納奠基)證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0(n0∈N*)時(shí)命題成立；
(2)(歸納遞推)假設(shè)n＝k(k≥n0，k∈N*)時(shí)命題成立，證明當(dāng)n＝k＋1時(shí)命題也成立．
只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)從n0開始的所有正整數(shù)n都成立．
2．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的框圖表示
對(duì)于不等式
2、
(1)當(dāng)n＝1時(shí)，<1＋1，不等式成立．
(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*且k≥1)時(shí)，不等式成立，即
3、*)，則f(1)為( )
A．1 B.
C．1＋＋＋＋ D．非以上答案
解析：選C ∵f(n)＝1＋＋＋…＋，
∴f(1)＝1＋＋＋…＋＝1＋＋＋＋.
3．某個(gè)命題與自然數(shù)n有關(guān)，若n＝k(k∈N*)時(shí)命題成立，那么可推得當(dāng)n＝k＋1時(shí)該命題也成立，現(xiàn)已知n＝5時(shí)，該命題不成立，那么可以推得( )
A．n＝6時(shí)該命題不成立
B．n＝6時(shí)該命題成立
C．n＝4時(shí)該命題不成立
D．n＝4時(shí)該命題成立
解析：選C 因?yàn)楫?dāng)n＝k(k∈N*)時(shí)命題成立，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，命題也成立．現(xiàn)n＝5時(shí)，命題不成立，故n＝4時(shí)命題
4、也不成立．
4．(教材習(xí)題改編)用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋＋＋…＋1)，第一步要證的不等式是________________．
解析：當(dāng)n＝2時(shí)，左邊為1＋＋＝1＋＋，右邊為2.故應(yīng)填1＋＋<2.
答案：1＋＋<2
5．用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋2＋3＋…＋n2＝，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，左端應(yīng)在n＝k的基礎(chǔ)上增添的代數(shù)式是_____________________________________________________________．
解析：∵當(dāng)n＝k時(shí)，左側(cè)＝1＋2＋3＋…＋k2，
當(dāng)n＝k＋1時(shí)，左側(cè)＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1
5、)2，
∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，左端應(yīng)在n＝k的基礎(chǔ)上增添(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.[來(lái)源:]
答案：(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2
前沿?zé)狳c(diǎn)(十四)
數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用
數(shù)學(xué)歸納法是證明關(guān)于正整數(shù)n的命題的一種方法，常與數(shù)列、函數(shù)等知識(shí)結(jié)合一起考查，常以解答題的形式出現(xiàn)，具有一定的綜合性和難度，屬中高檔題．
[典例] (2012湖北高考改編)已知函數(shù)f(x)＝rx－xr＋(1－r)(x>0)，其中r為有理數(shù)，且0
6、，若b1＋b2＝1，則a1b1a2b2≤a1b1＋a2b2；
(2)請(qǐng)將(1)中的命題推廣到一般形式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你所推廣的命題．
[解題指導(dǎo)]
(1)對(duì)于不等式的證明要注意利用已知條件進(jìn)行突破；
(2)本問數(shù)學(xué)歸納法的運(yùn)用相對(duì)而言難度高，運(yùn)算量大，在歸納證明時(shí)一要細(xì)心運(yùn)算，二要注意假設(shè)條件的恰當(dāng)運(yùn)用．[來(lái)源:]
[解] (1)由已知，當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，有f(x)≥f(1)＝0，
即xr≤rx＋(1－r)．①
若a1，a2中有一個(gè)為0，則ab11ab22≤a1b1＋a2b2成立．
若a1，a2均不為0，由b1＋b2＝1，可得b2＝1－b1，于是在①中令x＝，r＝b1
7、，可得b1≤b1＋(1－b1)，
即ab11a1－b12≤a1b1＋a2(1－b1)，亦即ab11ab22≤a1b1＋a2b2.
綜上，對(duì)a1≥0，a2≥0，b1，b2為正有理數(shù)，且b1＋b2＝1，總有ab11ab22≤a1b1＋a2b2.②[來(lái)源:]
(2)(1)中命題的推廣形式為：
設(shè)a1，a2，…，an為非負(fù)實(shí)數(shù)，b1，b2，…，bn為正有理數(shù)．
若b1＋b2＋…＋bn＝1，
則ab11ab22…abnn≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn，③
用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：
a．當(dāng)n＝1時(shí)，b1＝1，有a1≤a1，③成立．
b．假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，③成立，即若a1，a2，…，ak為
8、非負(fù)實(shí)數(shù)，b1，b2，…，bk為正有理數(shù)，且b1＋b2＋…＋bk＝1，
則ab11ab22…abkk≤a1b1＋a2b2＋…＋akbk.
當(dāng)n＝k＋1時(shí)，已知a1，a2，…，ak，ak＋1為非負(fù)實(shí)數(shù)，b1，b2，…，bk，bk＋1為正有理數(shù)，且b1＋b2＋…＋bk＋bk＋1＝1，
此時(shí)00，
于是ab11ab22…abk＋1k＋1＝(ab11ab22…abkk)abk＋1k＋1
＝a1a2…ak1－bk＋1abk＋1k＋1.
因?yàn)椋?，由歸納假設(shè)可得a1a2…ak≤a＋a2＋…＋ak＝.
從而ab11ab22…abkkabk＋1k＋1
≤
9、1－bk＋1abk＋1k＋1.
又因?yàn)?1－bk＋1)＋bk＋1＝1，由②得
1－bk＋1abk＋1k＋1
≤(1－bk＋1)＋ak＋1bk＋1
＝a1b1＋a2b2＋…＋akbk＋ak＋1bk＋1，
從而ab11ab22…abkkabk＋1k＋1≤a1b1＋a2b2＋…＋akbk＋ak＋1bk＋1.
故當(dāng)n＝k＋1時(shí)，③成立．
由a，b可知，對(duì)一切正整數(shù)n，所推廣的命題成立．
[名師點(diǎn)評(píng)] 解決數(shù)學(xué)歸納法中“歸納—猜想—證明”問題及不等式證明時(shí)要特別關(guān)注：
一是需驗(yàn)證n＝1，n＝2時(shí)結(jié)論成立，易忽略驗(yàn)證n＝2；
二是需要熟練掌握數(shù)學(xué)歸納法幾種常見的推證技巧，才能快速正確
10、地解決問題．
除此外，應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)，以下幾點(diǎn)容易造成失分：
1．把初始值搞錯(cuò)；
2．在推證n＝k＋1時(shí)，沒有用上歸納假設(shè)；
3．對(duì)項(xiàng)數(shù)估算的錯(cuò)誤，特別是尋找n＝k與n＝k＋1的關(guān)系時(shí)，項(xiàng)數(shù)發(fā)生的變化被弄錯(cuò)．
數(shù)列{xn}滿足x1＝0，xn＋1＝－x＋xn＋c(n∈N*)．
(1)證明：{xn}是遞減數(shù)列的充分必要條件是c<0；[來(lái)源:]
(2)求c的取值范圍，使{xn}是遞增數(shù)列．
解：(1)證明：先證充分性，若c<0，由于xn＋1＝－x＋xn＋c≤xn＋c
11、設(shè){xn}是遞增數(shù)列．由x1＝0，得x2＝c，x3＝－c2＋2c.
由x10，即xn<1－.
由②式和xn≥0還可得，對(duì)任意n≥1都有－xn＋1≤(1－)(－xn)．③
反復(fù)運(yùn)用③式，得－xn≤(1－)n－1(－x1)<(1－)n－1，
xn<1－和 －xn<(1－)n－1兩式相加，知2－1<(1－)n－1對(duì)任意n≥1成立．
根據(jù)指數(shù)函數(shù)y＝(1－)n的性質(zhì)，得2－1≤0，c≤，故0
12、(Ⅱ)若00，
即證xn< 對(duì)任意n≥1成立．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)0xn，即{xn}是遞增數(shù)列．
由①②知，使得數(shù)列{xn}單調(diào)遞增的c的范圍是.
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