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第二節(jié) 等差數(shù)列及其前n項和
【考綱下載】
1．理解等差數(shù)列的概念．
2．掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式．
3．能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關系，并能用有關知識解決相應的問題．
4．了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、二次函數(shù)的關系．
1．等差數(shù)列的定義
一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示，定義表達式為an－an－1＝d(常數(shù))(n∈N*，n≥2)或an＋1－an＝d(常數(shù))(n∈N*)．
2．等差數(shù)列的通
2、項公式[來源:]
若等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，則其通項公式為an＝a1＋(n－1)d.
3．等差中項
若三個數(shù)a，A，b成等差數(shù)列，則A叫做a與b的等差中項，且有A＝.
4．等差數(shù)列的前n項和公式
Sn＝na1＋d＝.[來源:數(shù)理化網(wǎng)]
5．等差數(shù)列的性質(zhì)
已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，Sn是其前n項和．
(1)若m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq，
特別地，若m＋n＝2p，則am＋an＝2ap.
(2)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差數(shù)列，公差為kd.
(3)數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差數(shù)列．
1．已知等差
3、數(shù)列{an}的第m項為am，公差為d，則其第n項an能否用am與d表示？[來源:]
提示：能，an＝am＋(n－m)d.
2．等差數(shù)列前n項和公式的推導運用了什么方法？
提示：倒序相加法．
3．等差數(shù)列前n項和公式能否看成關于n的函數(shù)，該函數(shù)是否有最值？
提示：當d≠0時，Sn是關于n的且常數(shù)項為0的二次函數(shù)，則(n，Sn)是二次函數(shù)圖象上的一群孤立的點，由此可得：當d>0時，Sn有最小值；當d<0時，Sn有最大值．
1．在等差數(shù)列{an}中，a2＝2，a3＝4，則a10＝( )
A．12 B．14 C．16 D．18[來源:]
4、
解析：選D ∵a2＝2，a3＝4，∴公差d＝a3－a2＝2.
∴a10＝a2＋8d＝2＋28＝18.
2．設{an}為等差數(shù)列，公差d＝－2，Sn為其前n項和，若S10＝S11，則a1＝( )
A．18 B．20 C．22 D．24
解析：選B ∵S10＝S11，∴a11＝0，即a1＋10d＝0.∴a1＝－10d＝20.
3．已知{an}是等差數(shù)列，且a3＋a9＝4a5，a2＝－8，則該數(shù)列的公差是( )
A．4 B．14 C．－4 D．－14
解析：選A ∵a2＝－8，a3＋a9＝4a5，
∴
5、(－8＋d)＋(－8＋7d)＝4(－8＋3d)，
即16＝4d，∴d＝4.
4．(2013廣東高考)在等差數(shù)列{an}中，已知a3＋a8＝10，則3a5＋a7＝________.
解析：設等差數(shù)列的公差為d，則a3＋a8＝2a1＋9d＝10，3a5＋a7＝4a1＋18d＝2(2a1＋9d)＝20.
答案：20
5．(2013重慶高考)若2，a，b，c,9成等差數(shù)列，則c－a＝________.
解析：設公差為d，∵2，a，b，c,9成等差數(shù)列，
∴9－2＝4d，∴d＝.
又c－a＝2d，∴c－a＝2＝.
答案：
數(shù)學思想(七)
整體思想在等差數(shù)列中的應用
6、利用整體思想解數(shù)學問題，就是從全局著眼，由整體入手，把一些彼此獨立但實際上緊密聯(lián)系的量作為一個整體考慮的方法．有不少等差數(shù)列題，其首項、公差無法確定或計算繁瑣，對這類問題，若從整體考慮，往往可尋得簡捷的解題途徑．
[典例] 設等差數(shù)列{an}的前n項和Sn＝m，前m項和Sm＝n(m≠n)，則它的前m＋n項的和Sm＋n＝________.
[解題指導] 可利用等差數(shù)列的前n項和公式求解，也可利用等差數(shù)列前n項和公式的性質(zhì)求解．
[解析] 法一：設{an}的公差為d，
則由Sn＝m，Sm＝n，
得
②－①，得(m－n)a1＋d＝n－m，[來源:]
∵m≠n，∴a1＋d＝－1.
∴S
7、m＋n＝(m＋n)a1＋d
＝(m＋n)＝－(m＋n)．
法二：設Sn＝An2＋Bn(n∈N*)，
則
③－④，得A(m2－n2)＋B(m－n)＝n－m.
∵m≠n，∴A(m＋n)＋B＝－1.
∴A(m＋n)2＋B(m＋n)＝－(m＋n)，
即Sm＋n＝－(m＋n)．
[答案]?。?m＋n)
[題后悟道] 1.本題的兩種解法都突出了整體思想，其中法一把a1＋d看成了一個整體，法二把A(m＋n)＋B看成了一個整體，解起來都很方便．
2．整體思想是一種重要的解題方法和技巧，這就要求學生要熟練掌握公式，理解其結構特征．
3．本題的易錯點是不能正確運用整體思想的運算方法，不能建立數(shù)量間的關系，導致錯誤．
若兩個等差數(shù)列{an}和{bn}的前n項和分別為Sn和Tn，已知＝，則等于( )
A．7 B. C. D.
解析：選D ∵a5＝，b5＝，∴＝＝＝＝＝.
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高考數(shù)學復習：第五章 ：第二節(jié) 等差數(shù)列及其前n項和回扣主干知識提升學科素養(yǎng)
