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1、△+△2019年數(shù)學(xué)高考教學(xué)資料△+△ 高考真題備選題庫 第8章 平面解析幾何 第7節(jié) 拋物線 考點 拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì) 1．（2013新課標(biāo)全國Ⅰ，5分）O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)為拋物線C：y2＝4x的焦點，P為C上一點，若|PF|＝4，則△POF的面積為(　　) A．2　　　　　　　　 B．2 C．2 D．4 解析：本題主要考查拋物線的定義、數(shù)形結(jié)合思想以及運算能力．由題意知拋物線的焦點F(，0)，如圖，由拋物線定義知|PF|＝|PM|，又|PF|＝4，所以xP＝3，代入拋物線方程求得yP＝2，所以S△POF＝·|OF|·yP＝2.

2、 答案：C　 2．（2013山東，5分）拋物線C1：y＝x2(p＞0)的焦點與雙曲線C2：－y2＝1的右焦點的連線交C1于第一象限的點M.若C1在點M處的切線平等于C2的一條漸近線，則p＝(　　) A. B. C. D. 解析：本題主要考查了拋物線和雙曲線的概念、性質(zhì)和導(dǎo)數(shù)的意義，進(jìn)一步考查了運算求解能力．由圖(圖略)可知，與C1在點M處的切線平行的漸近線方程為y＝x.設(shè)M，則利用求導(dǎo)得切線的斜率為＝，p＝t.易知拋物線的焦點坐標(biāo)為，雙曲線的右焦點坐標(biāo)為(2,0)，則點，(2,0)，共線，所以＝，解得t＝，所以p＝. 答案：D　 3．（2013江西，5分）已知點A(2,0)

3、，拋物線C：x2＝4y的焦點為F，射線FA與拋物線C相交于點M，與其準(zhǔn)線相交于點N，則|FM|∶|MN|＝(　　) A．2∶ B．1∶2 C．1∶ D．1∶3 解析：本題主要考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)形結(jié)合思想與分析、解決問題的能力．過點M作MM′垂直于準(zhǔn)線y＝－1于點M′，則由拋物線的定義知|MM′|＝|FM|，所以＝＝sin ∠MNM′，而∠MNM′為直線FA的傾斜角α的補角． 因為直線FA過點A(2,0)，F(xiàn)(0,1)，所以kFA＝－＝tan α，所以sin α＝，所以sin ∠MNM′＝ .故|FM|∶|MN|＝1∶. 答案：C 4．（2013北京

4、，5分）若拋物線y2＝2px的焦點坐標(biāo)為(1,0)，則p＝________，準(zhǔn)線方程為________． 解析：本題主要考查拋物線的方程及其簡單的幾何性質(zhì)，意在考查考生的運算求解能力． 因為拋物線的焦點坐標(biāo)為(1,0)，所以＝1，p＝2，準(zhǔn)線方程為x＝－＝－1. 答案：2　x＝－1 5．（2013浙江，14分）已知拋物線C的頂點為O(0,0)，焦點為F(0,1)． (1)求拋物線C的方程； (2) 過點F作直線交拋物線C于A，B兩點．若直線AO，BO分別交直線l：y＝x－2于M，N兩點，求|MN|的最小值． 解：本題主要考查拋物線幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，同時考查解析幾何

5、的基本思想方法和運算求解能力． (1)由題意可設(shè)拋物線C的方程為x2＝2py(p>0)，則＝1， 所以拋物線C的方程為x2＝4y. (2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的方程為y＝kx＋1. 由消去y，整理得x2－4kx－4＝0， 所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4. 從而|x1－x2|＝4. 由 解得點M的橫坐標(biāo)xM＝＝＝. 同理點N的橫坐標(biāo)xN＝. 所以|MN|＝|xM－xN| ＝ ＝8 ＝. 令4k－3＝t，t≠0，則k＝. 當(dāng)t>0時，|MN|＝2 >2. 當(dāng)t<0時， |MN|＝2 ≥. 綜上所述，當(dāng)t＝－

6、，即k＝－時，|MN|的最小值是. 6．（2012山東，5分）已知雙曲線C1：－＝1(a>0，b>0)的離心率為2.若拋物線C2：x2＝2py(p>0)的焦點到雙曲線C1的漸近線的距離為2，則拋物線C2的方程為(　　) A．x2＝y(tǒng)　　　　　　　　　　　　 B．x2＝y(tǒng) C．x2＝8y D．x2＝16y 解析：雙曲線的漸近線方程為y＝±x，由于＝＝ ＝2，所以＝，所以雙曲線的漸近線方程為y＝±x.拋物線的焦點坐標(biāo)為(0，)，所以＝2，所以p＝8，所以拋物線方程為x2＝16y. 答案：D 7．（2011新課標(biāo)全國，5分）已知直線l過拋物線C的

7、焦點，且與C的對稱軸垂直，l與C交于A，B兩點，|AB|＝12，P為C的準(zhǔn)線上一點，則△ABP的面積為(　　) A．18 B．24 C．36 D．48 解析：設(shè)拋物線方程為y2＝2px，則焦點坐標(biāo)為(，0)，將x＝代入y2＝2px可得y2＝p2，|AB|＝12，即2p＝12，∴p＝6.點P在準(zhǔn)線上，到AB的距離為p＝6，所以△PAB的面積為×6×12＝36. 答案：C 8．（2011山東，5分）設(shè)M(x0，y0)為拋物線C：x2＝8y上一點，F(xiàn)為拋物線C的焦點，以F為圓心、|FM|為半徑的圓和拋物線C的準(zhǔn)線相交，則y0的取值范圍是(　　) A．(0,2)

8、　　　　 B．[0,2] C．(2，＋∞)　　　 D．[2，＋∞) 解析：圓心到拋物線準(zhǔn)線的距離為p，即4，根據(jù)已知只要 |FM|>4即可．根據(jù)拋物線定義，|FM|＝y(tǒng)0＋2，由y0＋2>4，解得y0>2，故y0的取值范圍是(2，＋∞)． 答案：C 9．（2011遼寧，5分）已知F是拋物線y2＝x的焦點，A，B是該拋物線上的兩點，|AF|＋|BF|＝3，則線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離為(　　) A. B．1 C. D. 解析：根據(jù)拋物線定義與梯形中位線定理，得線段AB中點到y(tǒng)軸的距離為：(|AF|＋|BF|)－＝－＝. 答案：C 10．（201

9、0湖南，5分）設(shè)拋物線y2＝8x上一點P到y(tǒng)軸的距離是4，則點P到該拋物線焦點的距離是(　　) A．4 B．6 C．8 D．12 解析：由拋物線的方程得＝＝2，再根據(jù)拋物線的定義，可知所求距離為4＋2＝6. 答案：B 11．（2012安徽，5分）過拋物線y2＝4x的焦點F的直線交該拋物線于A，B兩點．若|AF|＝3，則|BF|＝________. 解析：拋物線y2＝4x準(zhǔn)線為x＝－1，焦點為F(1,0)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．由拋物線的定義可知|AF|＝x1＋1＝3，所以x1＝2，所以y1＝±2，由拋物線關(guān)于x軸對稱，假設(shè)A(2,2)，由A，F(xiàn)，B

10、三點共線可知直線AB的方程為y－0＝2(x－1)，代入拋物線方程消去y得2x2－5x＋2＝0，求得x＝2或，所以x2＝，故|BF|＝. 答案： 12.（2012陜西，5分）右圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在l時，拱頂離水面2米，水面寬4米．水位下降1米后，水面寬______米． 解析：以拋物線的頂點為原點，對稱軸為y軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的方程為x2＝－2py，則點(2，－2)在拋物線上，代入可得p＝1，所以x2＝－2y.當(dāng)y＝－3時，x2＝6，所以水面寬為2. 答案：2 13．（2012江西，13分）已知三點O(0,0)，A(－2,1)，B(2,1)，曲線C上任意一點M(x，y)滿足

11、|＋|＝·(＋)＋2. (1)求曲線C的方程； (2)點Q(x0，y0)(－2<x0<2)是曲線C上的動點，曲線C在點Q處的切線為l，點P的坐標(biāo)是(0，－1)，l與PA，PB分別交于點D，E，求△QAB與△PDE的面積之比． 解：(1)由＝(－2－x,1－y)，＝(2－x,1－y)，得 |＋|＝， ·(＋)＝(x，y)·(0,2)＝2y， 由已知得＝2y＋2， 化簡得曲線C的方程是x2＝4y. (2)直線PA，PB的方程分別是y＝－x－1，y＝x－1，曲線C在Q處的切線l的方程是y＝x－， 且與y軸的交點為F(0，－)， 分別聯(lián)立方程，得解得D，E的橫坐標(biāo)分別是xD＝，xE＝，則xE－xD＝2，|FP|＝1－， 故S△PDE＝|FP|·|xE－xD|＝·(1－)·2＝， 而S△QAB＝·4·(1－)＝，則＝2. 即△QAB與△PDE的面積之比為2. 高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品 高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品