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1、 跟蹤強化訓練(十八)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、選擇題 1．在數列{an}中，a1＝1，對于所有的n≥2，n∈N都有a1·a2·a3·…·an＝n2，則a3＋a5＝(　　) A. B. C. D. [解析]　解法一：令n＝2,3,4,5，分別求出a3＝，a5＝，∴a3＋a5＝，故選A. 解法二：當n≥2時，a1·a2·a3·…·an＝n2.當n≥3時，a1·a2·a3·…·an－1＝(n－1)2. 兩式相除得an＝2，∴a3＝，a5

2、＝，∴a3＋a5＝，故選A. [答案]　A 2．已知a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，則數列{an}的通項公式是an＝(　　) A．n B.n－1 C．n2 D．2n－1 [解析]　由an＝n(an＋1－an)，得＝，所以數列為常數列，所以＝＝…＝＝1，所以an＝n，故選A. [答案]　A 3．已知數列{an}滿足a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，則a1·a2·a3·…·a20xx＝(　　) A．－6 B．6 C．－2 D．2 [解析]　∵a1＝2，an＋1＝，∴a2＝＝－3，同理，a3＝－，a4＝，a5＝

3、2，…，∴an＋4＝an，a1a2a3a4＝1，∴a1·a2·a3·…·a20xx＝(a1a2a3a4)504×a1＝1×2＝2.故選D. [答案]　D 4．(20xx·衡水中學二調)已知Sn是數列{an}的前n項和，a1＝1，a2＝2，a3＝3，數列{an＋an＋1＋an＋2}是公差為2的等差數列，則S25＝(　　) A．232 B．233 C．234 D．235 [解析]　∵數列{an＋an＋1＋an＋2}是公差為2的等差數列，∴an＋3－an＝(an＋1＋an＋2＋an＋3)－(an＋an＋1＋an＋2)

4、＝2，∴a1，a4，a7，…是首項為1，公差為2的等差數列，a2，a5，a8，…是首項為2，公差為2的等差數列，a3，a6，a9，…是首項為3，公差為2的等差數列，∴S25＝(a1＋a4＋a7＋…＋a25)＋(a2＋a5＋a8＋…＋a23)＋(a3＋a6＋a9＋…＋a24)＝9×1＋＋8×2＋＋8×3＋＝233，故選B. [答案]　B 5．(20xx·鄭州模擬)已知等比數列{an}的前n項和為Sn，則下列一定成立的是(　　) A．若a3>0，則a20xx<0 B．若a4>0，則a20xx<0 C．若a3>0，則S2

5、0xx>0 D．若a4>0，則S20xx>0 [解析]　根據等比數列的通項公式得a20xx＝a1·q20xx＝a3q20xx，a20xx＝a1q20xx＝a4q20xx，易知A，B錯誤．對于選項C，因為a3＝a1q2>0，所以a1>0，當q>0時，任意an>0，故有S20xx>0；當q<0時，仍然有S20xx＝>0，C正確．對于選項D，可列舉公比q＝－1的等比數列－1，1，－1,1，…，顯然滿足a4>0，但S20xx＝0，故D錯誤．故選C. [答案]　C 6．(20xx·山西大同模擬)已知數列{an}

6、的通項公式為an＝(－1)n(2n－1)·cos＋1(n∈N*)，其前n項和為Sn，則S60＝(　　) A．－30 B．－60 C．90 D．120 [解析]　由題意可得，當n＝4k－3(k∈N*)時，an＝a4k－3＝1；當n＝4k－2(k∈N*)時，an＝a4k－2＝6－8k；當n＝4k－1(k∈N*)時，an＝a4k－1＝1；當n＝4k(k∈N*)時，an＝a4k＝8k.∴a4k－3＋a4k－2＋a4k－1＋a4k＝8， ∴S60＝8×15＝120. [答案]　D 二、填空題 7．已知數列{an}的前n項和為Sn，且滿足log2(Sn＋1)＝n＋1(

7、n∈N*)，則an＝________. [解析]　由已知可得Sn＋1＝2n＋1，則Sn＝2n＋1－1.當n＝1時，a1＝S1＝3，當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－1－2n＋1＝2n，因為n＝1時不滿足an＝2n，故an＝ [答案]　 8．(20xx·河南新鄉(xiāng)三模)若數列{an＋1－an}是等比數列，且a1＝1，a2＝2，a3＝5，則an＝________. [解析]　∵a2－a1＝1，a3－a2＝3，∴q＝3， ∴an＋1－an＝3n－1，∴an－a1＝a2－a1＋a3－a2＋…＋an－1－an－2＋an－an－1＝1＋3＋…＋3n－2＝， ∵a1＝1，∴an

8、＝. [答案]　 9．(20xx·安徽省淮北一中高三最后一卷改編)若數列{an}滿足－＝d(n∈N*，d為常數)，則稱數列{an}為“調和數列”，已知正項數列為“調和數列”，且b1＋b2＋…＋b20xx＝20xx0，則b2b20xx的最大值是________． [解析]　因為數列是“調和數列”，所以bn＋1－bn＝d， 即數列{bn}是等差數列， 所以b1＋b2＋…＋b20xx＝＝＝20xx0， 所以b2＋b20xx＝20. 又>0，所以b2>0，b20xx>0， 所以b2＋b20xx＝20≥2， 即b2b20xx≤100(當且僅當b2＝b20xx

9、時等號成立)，因此b2b20xx的最大值為100. [答案]　100 三、解答題 10．(20xx·鄭州質檢)已知數列{an}的首項a1＝1，前n項和Sn，且數列是公差為2的等差數列． (1)求數列{an}的通項公式； (2)若bn＝(－1)nan，求數列{bn}的前n項和Tn. [解]　(1)由已知條件得＝1＋(n－1)×2＝2n－1， ∴Sn＝2n2－n. 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n2－n－[2(n－1)2－(n－1)]＝4n－3. 當n＝1時，a1＝S1＝1，而4×1－3＝1，∴an＝4n－3. (2)由(1)可得bn＝(－1

10、)nan＝(－1)n(4n－3)， 當n為偶數時， Tn＝－1＋5－9＋13－17＋…＋(4n－3)＝4×＝2n， 當n為奇數時，n＋1為偶數， Tn＝Tn＋1－bn＋1＝2(n＋1)－(4n＋1)＝－2n＋1. 綜上，Tn＝ 11．(20xx·北京海淀模擬)數列{an}的前n項和Sn滿足Sn＝2an－a1，且a1，a2＋1，a3成等差數列． (1)求數列{an}的通項公式； (2)設bn＝，求數列{bn}的前n項和Tn. [解]　(1)∵Sn＝2an－a1， ∴當n≥2時，Sn－1＝2an－1－a1， ∴an＝2an－2an－1，化為an＝2an－1

11、. 由a1，a2＋1，a3成等差數列得，2(a2＋1)＝a1＋a3， ∴2(2a1＋1)＝a1＋4a1，解得a1＝2. ∴數列{an}是等比數列，首項為2，公比為2. ∴an＝2n. (2)∵an＋1＝2n＋1，∴Sn＝＝2n＋1－2，Sn＋1＝2n＋2－2. ∴bn＝＝＝. ∴數列{bn}的前n項和 Tn＝ ＝. 12.(20xx·山東卷)已知{xn}是各項均為正數的等比數列，且x1＋x2＝3，x3－x2＝2. (1)求數列{xn}的通項公式； (2)如圖，在平面直角坐標系xOy中，依次連接點P1(x1,1)，P2(x2,2)，…，Pn＋1(xn＋1，n

12、＋1)得到折線P1P2…Pn＋1，求由該折線與直線y＝0，x＝x1，x＝xn＋1所圍成的區(qū)域的面積Tn. [解]　(1)設數列{xn}的公比為q，由已知知q>0. 由題意得 所以3q2－5q－2＝0. 因為q>0，所以q＝2，x1＝1. 因此數列{xn}的通項公式為xn＝2n－1. (2)過P1，P2，…，Pn＋1向x軸作垂線，垂足分別為Q1，Q2，…，Qn＋1. 由(1)得xn＋1－xn＝2n－2n－1＝2n－1， 記梯形PnPn＋1Qn＋1Qn的面積為bn， 由題意bn＝×2n－1＝(2n＋1)×2n－2， 所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝3×2－1＋5×20＋7×21＋…＋(2n－1)×2n－3＋(2n＋1)×2n－2，① 2Tn＝3×20＋5×21＋7×22＋…＋(2n－1)×2n－2＋(2n＋1)×2n－1.② ①－②得 －Tn＝3×2－1＋(2＋22＋…＋2n－1)－(2n＋1)×2n－1＝＋－(2n＋1)×2n－1. 所以Tn＝.