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1、2019人教版精品教學(xué)資料·高中選修數(shù)學(xué) 第二章 2.1 2.1.1 A級　基礎(chǔ)鞏固 一、選擇題 1．平面內(nèi)的小圓形按照下圖中的規(guī)律排列，每個圖中的圓的個數(shù)構(gòu)成一個數(shù)列{an}，則下列結(jié)論正確的是(　D　) ①a5＝15； ②數(shù)列{an}是一個等差數(shù)列； ③數(shù)列{an}是一個等比數(shù)列； ④數(shù)列{an}的遞推關(guān)系是an＝an－1＋n(n∈N*)． A．①②④ B．①③④ C．①② D．①④ [解析]　由于a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，所以有a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4.因此必有a5－a4＝5，即a5＝15，故①正確．同時④

2、正確，而{an}顯然不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列，故②③錯誤，故選D． 2．(2016·濰坊高二檢測)已知a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝，則數(shù)列{an}的一個通項公式為an＝(　B　) A． B． C． D． 3．平面內(nèi)平行于同一直線的兩條直線平行，由此類比到空間中可以得到(　D　) A．空間中平行于同一直線的兩條直線平行 B．空間中平行于同一平面的兩條直線平行 C．空間中平行于同一直線的兩個平面平行 D．空間中平行于同一平面的兩個平面平行 4．(2016·石家莊高二檢測)如圖所示的是一串黑白相間排列的珠子，若按這種規(guī)律排下去，那么第36顆珠子的顏色是(　

3、A　) A．白色 B．黑色 C．白色的可能性較大 D．黑色的可能性較大 5．(2016·鄭州高二檢測)下面使用類比推理，得出的結(jié)論正確的是(　C　) A．“若a·3＝b·3，則a＝b”類比推出“若a·0＝b·0，則a＝b” B．“若(a＋b)c＝ac＋bc”類比推出“(a·b)c＝ac·bc” C．“若(a＋b)c＝ac＋bc”類比推出“＝＋(c≠0)” D．“(ab)n＝anbn”類比推出“(a＋b)n＝an＋bn” 6．(2017·長春三模)設(shè)n∈N＋，則＝(　A　) A． B． C．

4、 D． [解析]　 ＝ ＝＝＝個． 故選A． 二、填空題 7．觀察下列等式： 12＝1， 12－22＝－3， 12－22＋32＝6， 12－22＋32－42＝－10， …… 由以上等式推測到一個一般的結(jié)論：對于n∈N*,12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝　(－1)n＋1　. [解析]　注意到第n個等式的左邊有n項，右邊的結(jié)果的絕對值恰好等于左邊的各項的所有底數(shù)的和，即右邊的結(jié)果的絕對值等于1＋2＋3＋…＋n＝＝，注意到右邊的結(jié)果的符號的規(guī)律是：當(dāng)n為奇數(shù)時，符號為正；當(dāng)n為偶數(shù)時，符號為負(fù)，因此所填的結(jié)果是(－1)n＋1. 8．觀察下列等式： (1＋

5、1)＝2×1； (2＋1)(2＋2)＝22×1×3； (3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5； …… 照此規(guī)律，第n個等式可為__(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)__． [解析]　觀察規(guī)律，等號左側(cè)第n個等式共有n項相乘，從n＋1到n＋n，等式右端是2n與等差數(shù)列{2n－1}前n項的乘積，故第n個等式為(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)． 三、解答題 9．(2016

6、83;德州高二檢測)在平面幾何里有射影定理：設(shè)△ABC的兩邊AB⊥AC，D是A點在BC上的射影，則AB2＝BD·BC．拓展到空間，在四面體A－BCD中，DA⊥平面ABC，點O是A在平面BCD內(nèi)的射影，類比平面三角形射影定理，寫出△ABC、△BOC、△BDC三者面積之間關(guān)系. [解析]　將直角三角形的一條直角邊長類比到有一側(cè)棱AD與一側(cè)面ABC垂直的四棱錐的側(cè)面ABC的面積，將此直角邊AB在斜邊上的射影及斜邊的長，類比到△ABC在底面的射影△OBC及底面△BCD的面積可得S＝S△OBC·S△DBC． 證明如下：如圖，設(shè)直線OD與BC相交于點E， ∵AD⊥平面ABE，

7、 ∴AD⊥AE，AD⊥BC， 又∵AO⊥平面BCD， ∴AO⊥DE，AO⊥BC． ∵AD∩AO＝A， ∴BC⊥平面AED， ∴BC⊥AE，BC⊥DE. ∴S△ABC＝BC·AE，S△BOC＝BC·OE， S△BCD＝BC·DE. 在Rt△ADE中，由射影定理知AE2＝OE·DE，∴S＝S△BOC·S△BCD． 10．已知等式sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°＝，sin26°＋cos236°＋sin6°cos36°＝.請寫出一

8、個具有一般性的等式，使你寫出的等式包含已知的等式，并證明結(jié)論的正確性. [解析]　等式為sin2α＋cos2(30°＋α)＋sinαcos(30°＋α)＝.證明如下： sin2α＋cos2(30°＋α)＋sinαcos(30°＋α)＝sin2α＋＋sinα(cos30°·cosα－sin30°·sinα)＝＋sin2α＋＋sin2α－sin2α＝＋sin2α＋(cos2α－sin2α)＋sin2α－sin2α＝＋sin2α＋cos2α－sin2α＋sin2α－sin2α＝＋sin2α＋(1－2sin2α)＝.

9、 B級　素養(yǎng)提升 一、選擇題 1．觀察下列式子：1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，…，根據(jù)以上式子可以猜想：1＋＋＋…＋<(　C　) A． B． C． D． [解析]　本題考查了歸納的思想方法． 觀察可以發(fā)現(xiàn)，第n(n≥2)個不等式左端有n＋1項，分子為1，分母依次為12、22、32、…、(n＋1)2；右端分母為n＋1，分子成等差數(shù)列，首項為3，公差為2，因此第n個不等式為1＋＋＋…＋<， 所以當(dāng)n＝2015時不等式為： 1＋＋＋…＋<. 2．類比三角形中的性質(zhì)： (1)兩邊之和大于第三邊 (2)中位線長等于底邊長的一半 (3)三內(nèi)角平分

10、線交于一點 可得四面體的對應(yīng)性質(zhì)： (1)任意三個面的面積之和大于第四個面的面積 (2)過四面體的交于同一頂點的三條棱的中點的平面面積等于該頂點所對的面面積的 (3)四面體的六個二面角的平分面交于一點 其中類比推理方法正確的有(　C　) A．(1) B．(1)(2) C．(1)(2)(3) D．都不對 [解析]　以上類比推理方法都正確，需注意的是類比推理得到的結(jié)論是否正確與類比推理方法是否正確并不等價，方法正確結(jié)論也不一定正確． 二、填空題 3．在以原點為圓心，半徑為r的圓上有一點P(x0，y0)，則圓的面積S圓＝πr2，過點P的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2.在橢圓＋

11、＝1(a>b>0)中，當(dāng)離心率e趨近于0時，短半軸b就趨近于長半軸a，此時橢圓就趨近于圓．類比圓的面積公式得橢圓面積S橢圓＝__πab__.類比過圓上一點P(x0，y0)的圓的切線方程，則過橢圓＋＝1(a>b>0)上一點P(x1，y1)的橢圓的切線方程為　·x＋·y＝1　. [解析]　當(dāng)橢圓的離心率e趨近于0時，橢圓趨近于圓，此時a，b都趨近于圓的半徑r，故由圓的面積S＝πr2＝π·r·r，猜想橢圓面積S橢＝π·a·b，其嚴(yán)格證明可用定積分處理．而由切線方程x0·x＋y0·y＝r2變形得&

12、#183;x＋·y＝1，則過橢圓上一點P(x1，y1)的橢圓的切線方程為·x＋·y＝1，其嚴(yán)格證明可用導(dǎo)數(shù)求切線處理． 4．(2016·山東文，12)觀察下列等式： (sin)－2＋(sin)－2＝×1×2； (sin)－2＋(sin)－2＋(sin)－2＋(sin)－2＝×2×3； (sin)－2＋(sin)－2＋(sin)－2＋…＋(sin)－2＝×3×4； (sin)－2＋(sin)－2＋(sin)－2＋…＋(sin)－2＝×4×5； …… 照此規(guī)律，

13、(sin)－2＋(sin)－2＋(sin)－2＋…＋(sin)－2＝　n(n＋1)　. [解析]　根據(jù)已知，歸納可得結(jié)果為n(n＋1)． 三、解答題 5．我們知道： 12＝1， 22＝(1＋1)2＝12＋2×1＋1， 32＝(2＋1)2＝22＋2×2＋1， 42＝(3＋1)2＝32＋2×3＋1， …… n2＝(n－1)2＋2(n－1)＋1， 左右兩邊分別相加，得 n2＝2×[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋n ∴1＋2＋3＋…＋n＝. 類比上述推理方法寫出求12＋22＋32＋…＋n2的表達(dá)式的過程． [解析]　我們記S1(n)＝

14、1＋2＋3＋…＋n， S2(n)＝12＋22＋32＋…＋n2，…，Sk(n)＝1k＋2k＋3k＋…＋nk (k∈N*)． 已知 13＝1， 23＝(1＋1)3＝13＋3×12＋3×1＋1， 33＝(2＋1)3＝23＋3×22＋3×2＋1， 43＝(3＋1)3＝33＋3×32＋3×3＋1， …… n3＝(n－1)3＋3(n－1)2＋3(n－1)＋1. 將左右兩邊分別相加，得 S3(n)＝[S3(n)－n3]＋3[S2(n)－n2]＋3[S1(n)－n]＋n. 由此知S2(n)＝＝ ＝. 6．(2016·

15、;隆化縣高二檢測)在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求證：＝＋，那么在四面體A－BCD中，類比上述結(jié)論，你能得到怎樣的猜想，并說明理由. [解析]　如圖(1)所示，由射影定理AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，AC2＝BC·DC， ∴＝ ＝＝. 又BC2＝AB2＋AC2， ∴＝＝＋. ∴＝＋. 類比AB⊥AC，AD⊥BC猜想： 四面體ABCD中，AB、AC、AD兩兩垂直， AE⊥平面BCD．則＝＋＋. 如圖(2)，連接BE延長交CD于F，連接AF. ∵AB⊥AC，AB⊥AD， ∴AB⊥平面ACD． 而AF?平面AC

16、D， ∴AB⊥AF. 在Rt△ABF中，AE⊥BF， ∴＝＋. 在Rt△ACD中，AF⊥CD， ∴＝＋ ∴＝＋＋，故猜想正確． C級　能力拔高 (2016·煙臺高二檢測)已知橢圓具有如下性質(zhì)：若M，N是橢圓C上關(guān)于原點對稱的兩點，點P是橢圓上任意一點，若直線PM，PN的斜率都存在，并記為kPM，kPN，那么kPM與kPN之積是與點P位置無關(guān)的定值．試對雙曲線－＝1，寫出具有類似的性質(zhì)，并加以證明. [解析]　類似的性質(zhì)為：若M，N是雙曲線－＝1上關(guān)于原點對稱的兩點，點P是雙曲線上任意一點，若直線PM，PN的斜率都存在，并記為kPM，kPN，那么kPM與kPN之積是與點P位置無關(guān)的定值． 證明如下：設(shè)M(m，n)，P(x，y)， 則N(－m，－n)， 因為點M(m，n)在雙曲線上，所以n2＝m2－b2. 同理，y2＝x2－b2. 則kPM·kPN＝·＝＝·＝(定值)．