《高考數學 一輪復習學案訓練課件北師大版理科： 第4章 平面向量、數系的擴充與復數的引入 第3節(jié) 平面向量的數量積與平面向量應用舉例學案 理 北師大版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高考數學 一輪復習學案訓練課件北師大版理科： 第4章 平面向量、數系的擴充與復數的引入 第3節(jié) 平面向量的數量積與平面向量應用舉例學案 理 北師大版（10頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、 第三節(jié)　平面向量的數量積與平面向量應用舉例 [考綱傳真]　(教師用書獨具)1.理解平面向量數量積的含義及其物理意義.2.了解平面向量的數量積與向量投影的關系.3.掌握數量積的坐標表達式，會進行平面向量數量積的運算.4.能運用數量積表示兩個向量的夾角，會用數量積判斷兩個平面向量的垂直關系.5.會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題.6.會用向量方法解決簡單的力學問題與其他一些實際問題． (對應學生用書第74頁) [基礎知識填充] 1．平面向量的數量積 (1)向量的夾角 ①定義：已知兩個非零向量a和b，如圖4­3­1，作＝a，＝b，則∠AOB＝θ(0&

2、#176;≤θ≤180°)叫作a與b的夾角． 圖4­3­1 ②當θ＝0°時，a與b同向． 當θ＝180°時，a與b反向． 當θ＝90°時，a與b垂直． (2)向量的數量積 定義：已知兩個向量a與b，它們的夾角為θ，則數量|a||b|cos θ叫作a與b的數量積(或內積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，由定義可知零向量與任一向量的數量積為0 ，即0·a＝0. (3)數量積的幾何意義：數量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的射影|b|cos θ的乘積，或b的

3、長度|b|與a在b方向上射影|a|cos θ的乘積． 2．平面向量數量積的運算律 (1)交換律：a·b＝b·a； (2)數乘結合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)； (3)分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 3．平面向量數量積的性質及其坐標表示 設非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉． 結論 幾何表示 坐標表示 模 |a|＝ |a|＝ 數量積 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝x1x2＋y1y2 夾角 cos θ＝

4、 cos θ＝ a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 |a·b|與|a||b|的關系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2| ≤· [知識拓展]　兩個向量a，b的夾角為銳角?a·b＞0且a，b不共線； 兩個向量a，b的夾角為鈍角?a·b＜0且a，b不共線． [基本能力自測] 1．(思考辨析)判斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)兩個向量的數量積是一個實數，向量的數乘運算的運算結果是向量．(　　) (2)由a·b＝0，可得a＝0或b＝0.(　　)

5、(3)向量a⊥b的充要條件：a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.(　　) (4)若a·b＞0，則a和b的夾角為銳角；若a·b＜0，則a和b的夾角為鈍角．(　　) (5)a·b＝a·c(a≠0)，則b＝c.(　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)× 2．(20xx·全國卷Ⅲ)已知向量＝，＝，則∠ABC＝(　　) A．30°　　　　　　 B．45° C．60° D．120° A　[因為＝，＝，所以·＝＋＝.又因

6、為·＝||||cos∠ABC＝1×1×cos∠ABC，所以cos∠ABC＝.又0°≤∠ABC≤180°，所以∠ABC＝30°.故選A．] 3．向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，則(2a＋b)·a＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 C　[法一：∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)， ∴a2＝2，a·b＝－3， 從而(2a＋b)·a＝2a2＋a·b＝4－3＝1. 法二：∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)， ∴2a＋b＝(2，－2)＋(－1,2)＝(1,0)， 從而

7、(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1，故選C．] 4．(教材改編)已知|a|＝5，|b|＝4，a與b的夾角θ＝120°，則向量b在向量a方向上的投影為________． －2　[由數量積的定義知，b在a方向上的投影為|b|cos θ＝4×cos 120°＝－2.] 5．(20xx·全國卷Ⅰ)已知向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)．若向量a＋b與a垂直，則m＝________. 7　[∵a＝(－1,2)，b＝(m,1)， ∴a＋b＝(－1＋m,2＋1)＝(m－1,3)． 又a＋b與a垂直，∴(a＋b)·

8、a＝0， 即(m－1)×(－1)＋3×2＝0， 解得m＝7.] (對應學生用書第75頁) 平面向量數量積的運算 　(1)(20xx·南寧二次適應性測試)線段AD，BE分別是邊長為2的等邊三角形ABC在邊BC，AC邊上的高，則·＝(　　) A．－　　　B．　　　C．－　　　D． (2)(20xx·北京高考)已知點P在圓x2＋y2＝1上，點A的坐標為(－2,0)，O為原點，則·的最大值為________. 【導學號：79140156】 (1)A　(2)6　[(1)由等邊三角形的性質得||＝||＝，〈，〉

9、＝120°，所以·＝||||cos〈，〉＝××＝－，故選A． (2)法一：根據題意作出圖像，如圖所示，A(－2,0)，P(x，y)． 由點P向x軸作垂線交x軸于點Q，則點Q的坐標為(x,0)． ·＝||||cos θ， ||＝2，||＝， cos θ＝＝， 所以·＝2(x＋2)＝2x＋4. 點P在圓x2＋y2＝1上，所以x∈[－1,1]． 所以·的最大值為2＋4＝6. 法二：如圖所示，因為點P在圓x2＋y2＝1上， 所以可設P(cos α，sin α)(0≤α<2π)， 所以＝(2,0)，＝(

10、cos α＋2，sin α)， ·＝2cos α＋4≤2＋4＝6， 當且僅當cos α＝1，即α＝0，P(1,0)時“＝”號成立．] [規(guī)律方法]　向量數量積的兩種計算方法 (1)當已知向量的模和夾角θ時，可利用定義法求解，即a·b＝|a||b|cos θ. (2)當已知向量的坐標時，可利用坐標法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2. 易錯警示：(1)要有“基底”意識，關鍵是用基向量表示題目中所求相關向量. (2)注意向量夾角的大小，以及夾角θ＝0°，90°，180°三種特殊情形

11、. [跟蹤訓練]　(1)(20xx·太原模擬(二))已知a＝(2,1)，b＝(－1,1)，則a在b方向上的投影為(　　) A．－ B． C．－ D． (2)已知正方形ABCD的邊長為1，點E是AB邊上的動點，則·的值為________；·的最大值為________． (1)A　(2)1　1　[由題意，得|b|＝，a·b＝－1，所以a在b方向上的投影為|a|cos θ＝＝－，故選A． 法一：以射線AB，AD為x軸，y軸的正方向建立平面直角坐標系，則A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0，1)，設E(t,0)，t∈[0,1]，則

12、＝(t，－1)，＝(0，－1)，所以·＝(t，－1)·(0，－1)＝1. 因為＝(1,0)，所以·＝(t，－1)·(1,0)＝t≤1， 故·的最大值為1. 法二：由圖知，無論E點在哪個位置，在方向上的投影都是CB＝1，所以·＝||·1＝1， 當E運動到B點時，在方向上的投影最大，即為DC＝1， 所以(·)max＝||·1＝1.] 平面向量數量積的性質 ◎角度1　平面向量的模 　(20xx·合肥二檢)設向量a，b滿足|a＋b|＝4，a·b＝1，則|a－

13、b|＝(　　) A．2 B．2 C．3 D．2 B　[由|a＋b|＝4兩邊平方可得|a|2＋|b|2＝16－2a·b＝14，則|a－b|＝＝＝＝2，故選B．] ◎角度2　平面向量的夾角 　(20xx·濟南一模)設向量a與b的夾角為θ，若a＝(3，－1)，b－a＝(－1,1)，則cos θ＝________. (2)已知平面向量a，b的夾角為120°，且a·b＝－1，則|a－b|的最小值為 (　　) A． B． C． D．1 (1)　(2)A　[(1)由題意得向量b＝(b－a)＋a＝(2,0)，所以cos θ＝＝

14、＝. (2)由題意可知：－1＝a·b＝|a|·|b|cos 120°，所以2＝|a|·|b|≤.即|a|2＋|b|2≥4， |a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝a2＋b2＋2≥4＋2＝6， 所以|a－b|≥.] ◎角度3　平面向量的垂直 　(20xx·深圳二調)已知平面向量a，b，若|a|＝，|b|＝2，a與b的夾角θ＝，且(a－mb)⊥a，則m＝(　　) A． B．1 C． D．2 B　[由(a－mb)⊥a可得(a－mb)·a＝a2－ma·b＝3－m××2&

15、#215;cos＝0，解得m＝1，故選B．] [規(guī)律方法]　平面向量數量積性質的應用類型與求解策略 (1)求兩向量的夾角：cos θ＝，要注意θ∈[0，π]. (2)兩向量垂直的應用：a⊥b?a·b＝0?|a－b|＝|a＋b|. (3)求向量的模：利用數量積求解長度問題的處理方法有 ①a2＝a·a＝|a|2或|a|＝. ②|a±b|＝＝. ③若a＝(x，y)，則|a|＝. (4)射影的數量(投影) a在b上的投影|a|〈a，b〉＝. [跟蹤訓練]　(1)(20xx·山西四校聯考)已知|a|＝1，|b|＝，且a⊥(a－b)，則向量a與

16、向量b的夾角為(　　) A． B． C． D． (2)(20xx·全國卷Ⅰ)已知向量a，b的夾角為60°，|a|＝2，|b|＝1，則|a＋2b|＝________. (3)已知向量與的夾角為120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，則實數λ的值為________. 【導學號：79140157】 (1)B　(2)2　(3)　[∵a⊥(a－b)，∴a·(a－b)＝a2－a·b＝1－cos〈a，b〉＝0，∴cos〈a，b〉＝，∴〈a，b〉＝. (2)法一：|a＋2b|＝ ＝ ＝ ＝＝2. 法二：(數形結合法)由

17、|a|＝|2b|＝2，知以a與2b為鄰邊可作出邊長為2的菱形OACB，如圖，則|a＋2b|＝||.又∠AOB＝60°，所以|a＋2b|＝2. (3)＝－，由于⊥， 所以·＝0， 即(λ＋)·(－) ＝－λ2＋2＋(λ－1)· ＝－9λ＋4＋(λ－1)×3×2× ＝0，解得λ＝.] 平面向量與三角函數的綜合問題 　(20xx·湖北仙桃一中期中)已知向量a＝，b＝，且x∈. (1)求a·b及|a＋b|； (2)若f(x)＝a·b－|a＋b|，求f(x)的最大值和最

18、小值． [解]　(1)a·b＝coscos－sin·sin＝cos 2x. ∵a＋b＝， ∴|a＋b| ＝ ＝＝2|cos x|. ∵x∈，∴cos x＞0，∴|a＋b|＝2cos x. (2)f(x)＝cos 2x－2cos x＝2cos2x－2cos x－1 ＝2－. ∵x∈，∴≤cos x≤1， ∴當cos x＝時，f(x)取得最小值－； 當cos x＝1時，f(x)取得最大值－1. [規(guī)律方法]　平面向量與三角函數的綜合問題的解題思路 (1)題目條件給出向量的坐標中含有三角函數的形式，運用向量共線或垂直或等式成立的方法等，得到三角函數的關

19、系式，然后求解. (2)給出用三角函數表示的向量坐標，要求的是向量的?；蛘咂渌蛄康谋磉_形式，解題思路是經過向量的運算，利用三角函數在定義域內的有界性，求得值域等. [跟蹤訓練]　在平面直角坐標系xOy中，已知向量m＝，n＝(sin x，cos x)，x∈. (1)若m⊥n，求tan x的值； (2)若m與n的夾角為，求x的值． [解]　(1)因為m＝， n＝(sin x，cos x)，m⊥n. 所以m·n＝0，即sin x－cos x＝0， 所以sin x＝cos x，所以tan x＝1. (2)因為|m|＝|n|＝1， 所以m·n＝cos＝， 即s

20、in x－cos x＝， 所以sin＝， 因為0＜x＜， 所以－＜x－＜， 所以x－＝，即x＝. 平面向量與三角形的“四心” 　O是平面上一點，動點P滿足＝＋λ，λ∈[0，＋∞)，則動點P的軌跡一定通過△ABC的(　　) A．內心 B．外心 C．垂心 D．重心 A　[∵＝＝1， ∴λ表示與∠A的平分線共線的向量． 又＝＋λ， ∴－＝λ 即＝λ， ∴P一定在∠A的平分線上，即P點一定通過△ABC的內心．] [規(guī)律方法]　1.要注意弄清向量的線性運算所表達的幾何意義，即利用向量加，減法的平行四邊形法則或三角形法則，明確向量所代表的意義. 2.要注意等式的等價轉化和三角形“四心”的特征. [跟蹤訓練]　已知A，B，C是平面上不共線的三點，在平面上一點O滿足＋＋＝0，則O是△ABC的________． 重心　[設線段AB的中點D ∵＋＋＝0， ∴＋＝2＝－， ∴，共線， ∴經過AB的中點D 同理過BC的中點，過AC的中點， 故O是△ABC的重心．]