《高考數(shù)學(xué) 一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件北師大版理科： 第5章 數(shù)列 第3節(jié) 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和學(xué)案 理 北師大版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué) 一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件北師大版理科： 第5章 數(shù)列 第3節(jié) 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和學(xué)案 理 北師大版（6頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第三節(jié)　等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和 [考綱傳真]　(教師用書(shū)獨(dú)具)1.理解等比數(shù)列的概念.2.掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.3.能在具體的問(wèn)題情境中識(shí)別數(shù)列的等比關(guān)系，并能用等比數(shù)列的有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題.4.了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系． (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第84頁(yè)) [基礎(chǔ)知識(shí)填充] 1．等比數(shù)列的有關(guān)概念 (1)定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)(不為零)，那么這個(gè)數(shù)列就叫作等比數(shù)列．這個(gè)常數(shù)叫作等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示，定義的表達(dá)式為＝q(n∈N＋，q為非零常數(shù))． (2)等比中項(xiàng)：如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使得a，

2、G，b成等比數(shù)列，那么根據(jù)等比數(shù)列的定義，＝，G2＝ab，G＝，那么G叫作a與b的等比中項(xiàng)．即：G是a與b的等比中項(xiàng)?a，G，b成等比數(shù)列?G2＝ab. 2．等比數(shù)列的有關(guān)公式 (1)通項(xiàng)公式：an＝a1qn－1. (2)前n項(xiàng)和公式： Sn＝ 3．等比數(shù)列的常用性質(zhì) (1)通項(xiàng)公式的推廣：an＝amqn－m(n，m∈N＋)． (2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N＋)，則aman＝apaq＝a； (3)若數(shù)列{an}，{bn}(項(xiàng)數(shù)相同)是等比數(shù)列，則{λan}，，{a}，{anbn}，(λ≠0)仍然是等比數(shù)列； (4)在等比數(shù)列{an}中，等距離取出若干項(xiàng)也

3、構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…為等比數(shù)列，公比為qk. [基本能力自測(cè)] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“”) (1)滿足an＋1＝qan(n∈N＋，q為常數(shù))的數(shù)列{an}為等比數(shù)列．(　　) (2)G為a，b的等比中項(xiàng)?G2＝ab.(　　) (3)若{an}為等比數(shù)列，bn＝a2n－1＋a2n，則數(shù)列{bn}也是等比數(shù)列．(　　) (4)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝an，則其前n項(xiàng)和為Sn＝.(　　) [答案]　(1)　(2)　(3)　(4) 2．已知{an}是等比數(shù)列，a2＝2，a5＝，則公比q＝(　　)

4、 A．－　　 B．－2　　　　C．2　　　　D. D　[由通項(xiàng)公式及已知得a1q＝2①，a1q4＝，② 由②①得q3＝，解得q＝.故選D.] 3．(20xx北京高考)若等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，則＝________. 1　[設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q， 則由a4＝a1＋3d，得d＝＝＝3， 由b4＝b1q3得q3＝＝＝－8，∴q＝－2. ∴＝＝＝1.] 4．(教材改編)在9與243中間插入兩個(gè)數(shù)，使它們同這兩個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則這兩個(gè)數(shù)為_(kāi)_________． 27,81　[設(shè)該數(shù)列的公比為q，由

5、題意知， 243＝9q3，q3＝27，∴q＝3. ∴插入的兩個(gè)數(shù)分別為93＝27,273＝81.] 5．(20xx全國(guó)卷Ⅰ)在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn為{an}的前n項(xiàng)和．若Sn＝126，則n＝__________. 6　[∵a1＝2，an＋1＝2an， ∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列． 又∵Sn＝126，∴＝126，解得n＝6.] (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第85頁(yè)) 等比數(shù)列的基本運(yùn)算 　(1)在等比數(shù)列{an}中，a3＝7，前3項(xiàng)和S3＝21，則公比q的值為(　　) A．1　　　　　 B．－ C．1或－ D．－1或 (2)

6、已知數(shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和等于__________． (1)C　(2)2n－1　[(1)根據(jù)已知條件得 ②①得＝3. 整理得2q2－q－1＝0， 解得q＝1或q＝－. (2)設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則有 解得或 又{an}為遞增數(shù)列，∴∴Sn＝＝2n－1.] [規(guī)律方法]　解決等比數(shù)列有關(guān)問(wèn)題的兩種常用思想 (1)方程的思想：等比數(shù)列中有五個(gè)量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過(guò)列方程(組)求關(guān)鍵量a1和q，問(wèn)題可迎刃而解. (2)分類討論的思想：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式涉及對(duì)公比q的分類討論，當(dāng)

7、q＝1時(shí)，{an}的前n項(xiàng)和Sn＝na1；當(dāng)q≠1時(shí)，{an}的前n項(xiàng)和Sn＝＝. [跟蹤訓(xùn)練]　(1)我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈(　　) A．1盞 B．3盞 C．5盞 D．9盞 (2)(20xx廣州綜合測(cè)試(二))在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，已知a1＝2，a＋4a＝4a，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79140176】 (3)(20xx洛陽(yáng)統(tǒng)考)設(shè)等比數(shù)列{an}

8、的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＋8a4＝0，則＝(　　) A．－ B． C. D． (1)B　(2)2　(3)C　[(1)設(shè)塔的頂層的燈數(shù)為a1，七層塔的總燈數(shù)為S7，公比為q，則由題意知S7＝381，q＝2， 所以S7＝＝＝381，解得a1＝3. 故選B. (2)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q(q＞0)，由a＋4a＝4a，an＞0，得(anq2)2＋4a＝4(anq)2，整理得q4－4q2＋4＝0，解得q＝或q＝－(舍去)，所以an＝22＝2. (3)在等比數(shù)列{an}中，因?yàn)閍1＋8a4＝0，所以q＝－，所以＝＝＝＝.] 等比數(shù)列的判定與證明 　(20xx全國(guó)卷Ⅲ)已知數(shù)

9、列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝1＋λan，其中λ≠0. (1)證明{an}是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式； (2)若S5＝，求λ. [解]　(1)證明：由題意得a1＝S1＝1＋λa1， 故λ≠1，a1＝，故a1≠0. 由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1得an＋1＝λan＋1－λan， 即an＋1(λ－1)＝λan. 由a1≠0，λ≠0得an≠0，所以＝. 因此{(lán)an}是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列， 于是an＝. (2)由(1)得Sn＝1－. 由S5＝得1－＝，即＝. 解得λ＝－1. [規(guī)律方法]　等比數(shù)列的三種常用判定方法 (1)定義法：若＝q(q為非零常數(shù)，n∈N

10、＋)，則{an}是等比數(shù)列. (2)等比中項(xiàng)法：若數(shù)列{an}中，an≠0，且a＝anan＋2(n∈N＋)，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列. (3)通項(xiàng)公式法：若數(shù)列通項(xiàng)公式可寫(xiě)成an＝cqn(c，q均是不為0的常數(shù)，n∈N＋)，則{an}是等比數(shù)列. 易錯(cuò)警示：(1)前兩種方法是證明等比數(shù)列的常用方法，后者常用于選擇題、填空題中的判定. (2)若要判定一個(gè)數(shù)列不是等比數(shù)列，則只需判定存在連續(xù)三項(xiàng)不成等比數(shù)列即可. [跟蹤訓(xùn)練]　設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2. (1)設(shè)bn＝an＋1－2an，證明：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列； (2)求數(shù)列{an}的通

11、項(xiàng)公式． [解]　(1)證明：由a1＝1及Sn＋1＝4an＋2， 有a1＋a2＝S2＝4a1＋2. ∴a2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3. 又 ①－②，得an＋1＝4an－4an－1(n≥2)， ∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)(n≥2)． ∵bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bn－1(n≥2)， 故{bn}是首項(xiàng)b1＝3，公比為2的等比數(shù)列． (2)由(1)知bn＝an＋1－2an＝32n－1， ∴－＝， 故是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列． ∴＝＋(n－1)＝， 故an＝(3n－1)2n－2. 等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用 　(1)已知各項(xiàng)不為0的等差

12、數(shù)列{an}滿足a6－a＋a8＝0，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，且b7＝a7，則b2b8b11＝(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 (2)已知{an}為各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，且S10＝10，S30＝70，那么S40＝(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79140177】 A．150 B．－200 C．150或－200 D．400或－50 (1)D　(2)A　[(1)由等差數(shù)列的性質(zhì)，得a6＋a8＝2a7.由a6－a＋a8＝0，可得a7＝2，所以b7＝a7＝2.由等比數(shù)列的性質(zhì)得b2b8b11＝b2b7b12＝b＝23＝8. (2)依題意，S10，S20－S10，S30－S

13、20，S40－S30成等比數(shù)列，因此(S20－S10)2＝S10(S30－S20)，即(S20－10)2＝10(70－S20)，故S20＝－20或S20＝30.又S20＞0，因此S20＝30，S20－S10＝20，所以S40－S30＝S10＝80，S40＝S30＋(S40－S30)＝70＋80＝150.] [規(guī)律方法]　1.在解決等比數(shù)列的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，要注意挖掘隱含條件，利用性質(zhì)，特別是性質(zhì)“若m＋n＝p＋q，則aman＝apaq”，可以減少運(yùn)算量，提高解題速度. 2.等比數(shù)列的性質(zhì)可以分為三類：一是通項(xiàng)公式的變形；二是等比中項(xiàng)的變形，三是前n項(xiàng)和公式的變形.根據(jù)題目條件，認(rèn)真分析，發(fā)現(xiàn)

14、具體的變化特征即可找出解決問(wèn)題的突破口. [跟蹤訓(xùn)練]　(1)(20xx?？谡{(diào)研)在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，若amam＋2＝2am＋1(m∈N＋)，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)積為T(mén)n，且T2m＋1＝128，則m的值為(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 (2)(20xx合肥二檢)等比數(shù)列{an}滿足an＞0，且a2a8＝4，則log2a1＋log2a2＋log2a3＋…＋log2a9＝________. (1)A　(2)9　[(1)因?yàn)閍mam＋2＝2am＋1，所以a＝2am＋1，即am＋1＝2，即{an}為常數(shù)列．又T2m＋1＝(am＋1)2m＋1，由22m＋1＝128，得m＝3，故選A. (2)由題意可得a2a8＝a＝4，a5＞0，所以a5＝2，則原式＝log2(a1a2……a9)＝9log2a5＝9.]