《人教版 高中數(shù)學(xué) 選修22習(xí)題 第2章 推理與證明2.1.1》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《人教版 高中數(shù)學(xué) 選修22習(xí)題 第2章 推理與證明2.1.1（8頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、2019年編人教版高中數(shù)學(xué) 選修2-2 第二章 2.1 2.1.1 一、選擇題 1．平面內(nèi)的小圓形按照下圖中的規(guī)律排列，每個圖中的圓的個數(shù)構(gòu)成一個數(shù)列{an}，則下列結(jié)論正確的是(　　) ①a5＝15； ②數(shù)列{an}是一個等差數(shù)列； ③數(shù)列{an}是一個等比數(shù)列； ④數(shù)列{an}的遞推關(guān)系是an＝an－1＋n(n∈N*)． A．①②④ B．①③④ C．①② D．①④ [答案]　D [解析]　由于a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，所以有a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4.因此必有a5－a4＝5，即a5＝15，故①正確．同時④正確

2、，而{an}顯然不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列，故②③錯誤，故選D. 2．用火柴棒擺“金魚”，如圖所示， 按照上面的規(guī)律，第n個“金魚”圖需要火柴棒的根數(shù)為(　　) A．6n－2 B．8n－2 C．6n＋2 D．8n＋2 [答案]　C [解析]　從①②③可以看出，從第②個圖開始每個圖中的火柴棒都比前一個圖中的火柴棒多6根，故火柴棒數(shù)成等差數(shù)列，第一個圖中火柴棒為8根，故可歸納出第n個“金魚”圖需火柴棒的根數(shù)為6n＋2. 3．平面幾何中，有邊長為a的正三角形內(nèi)任一點到三邊距離之和為定值a，類比上述命題，棱長為a的正四面體內(nèi)任一點到四個面的距離之和為(　　) A.a　 　 B.a　

3、 　 C.a　 　 D.a [答案]　B [解析]　將正三角形一邊上的高a類比到正四面體一個面上的高a，由正三角形“分割成以三條邊為底的三個三角形面積的和等于正三角形的面積”，方法類比為“將四面體分割成以各面為底的三棱錐體積之和等于四面體的體積”證明． 4．類比平面內(nèi)“垂直于同一條直線的兩條直線互相平行”的性質(zhì)，可推出下列空間結(jié)論： ①垂直于同一條直線的兩條直線互相平行；②垂直于同一個平面的兩條直線互相平行；③垂直于同一條直線的兩個平面互相平行；④垂直于同一平面的兩個平面互相平行，則其中正確的結(jié)論是(　　) A．①② B．②③ C．③④ D．①④ [答案]　B [解析]　根據(jù)

4、立體幾何中線面之間的位置關(guān)系知，②③是正確的結(jié)論． 5．(2016湖州高二檢測)設(shè)△ABC的三邊長分別為a、b、c，△ABC的面積為S，內(nèi)切圓半徑為r，則r＝；類比這個結(jié)論可知：四面體P－ABC的四個面的面積分別為S1、S2、S3、S4，內(nèi)切球的半徑為r，四面體P－ABC的體積為V，則r＝(　　) A. B． C. D． [答案]　C [解析]　將△ABC的三條邊長a、b、c類比到四面體P－ABC的四個面面積S1、S2、S3、S4，將三角形面積公式中系數(shù)，類比到三棱錐體積公式中系數(shù)，從而可知選C. 證明如下：以四面體各面為底，內(nèi)切球心O為頂點的各三棱錐體積的和為V，∴V＝S1r＋S

5、2r＋S3r＋S4r，∴r＝. 6．把正整數(shù)按圖所示的規(guī)律排序，則從2015到2017的箭頭方向依次為(　　) [答案]　C [解析]　∵1和5的位置相同， ∴圖中排序每四個一組循環(huán)， 而2013除以4的余數(shù)為1， ∴2013的位置和1的位置相同， ∴2014的位置和2的位置相同， 2015的位置和3的位置相同，2016的位置和4的位置相同，故選C. 二、填空題 7．觀察下列等式： 12＝1， 12－22＝－3， 12－22＋32＝6， 12－22＋32－42＝－10， …… 由以上等式推測到一個一般的結(jié)論：對于n∈N*,12－22＋32－42＋…＋(－

6、1)n＋1n2＝________. [答案]　(－1)n＋1 [解析]　注意到第n個等式的左邊有n項，右邊的結(jié)果的絕對值恰好等于左邊的各項的所有底數(shù)的和，即右邊的結(jié)果的絕對值等于1＋2＋3＋…＋n＝＝，注意到右邊的結(jié)果的符號的規(guī)律是：當(dāng)n為奇數(shù)時，符號為正；當(dāng)n為偶數(shù)時，符號為負，因此所填的結(jié)果是(－1)n＋1. 8．觀察下列等式： (1＋1)＝21； (2＋1)(2＋2)＝2213； (3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23135； …… 照此規(guī)律，第n個等式可為______________________． [答案]　(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n13…(2n－1)

7、 [解析]　觀察規(guī)律，等號左側(cè)第n個等式共有n項相乘，從n＋1到n＋n，等式右端是2n與等差數(shù)列{2n－1}前n項的乘積，故第n個等式為(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n13…(2n－1)． 9．(2016德州高二檢測)在平面幾何里有射影定理：設(shè)△ABC的兩邊AB⊥AC，D是A點在BC上的射影，則AB2＝BDBC.拓展到空間，在四面體A－BCD中，DA⊥平面ABC，點O是A在平面BCD內(nèi)的射影，類比平面三角形射影定理，△ABC、△BOC、△BDC三者面積之間關(guān)系為________. [答案]　S＝S△OBCS△DBC [解析]　將直角三角形的一條直角邊長類比到有一側(cè)棱AD與一側(cè)面AB

8、C垂直的四棱錐的側(cè)面ABC的面積，將此直角邊AB在斜邊上的射影及斜邊的長，類比到△ABC在底面的射影△OBC及底面△BCD的面積可得S＝S△OBCS△DBC. 證明如下：如圖，設(shè)直線OD與BC相交于點E， ∵AD⊥平面ABE， ∴AD⊥AE，AD⊥BC， 又∵AO⊥平面BCD， ∴AO⊥DE，AO⊥BC. ∵AD∩AO＝A， ∴BC⊥平面AED， ∴BC⊥AE，BC⊥DE. ∴S△ABC＝BCAE， S△BOC＝BCOE， S△BCD＝BCDE. 在Rt△ADE中，由射影定理知AE2＝OEDE，∴S＝S△BOCS△BCD. 三、解答題 10．已知等式sin210＋c

9、os240＋sin10cos40＝，sin26＋cos236＋sin6cos36＝.請寫出一個具有一般性的等式，使你寫出的等式包含已知的等式，并證明結(jié)論的正確性. [解析]　等式為sin2α＋cos2(30＋α)＋sinαcos(30＋α)＝.證明如下： sin2α＋cos2(30＋α)＋sinαcos(30＋α) ＝sin2α＋＋sinα(cos30cosα－sin30sinα)＝＋sin2α＋＋sin2α－sin2α＝＋sin2α＋(cos2α－sin2α)＋sin2α－sin2α＝＋sin2α＋cos2α－sin2α＋sin2α－sin2α＝＋sin2α＋(1－2sin2α)＝.

10、 一、選擇題 1．觀察下列式子：1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，…，根據(jù)以上式子可以猜想：1＋＋＋…＋<(　　) A. B． C. D． [答案]　C [解析]　本題考查了歸納的思想方法． 觀察可以發(fā)現(xiàn)，第n(n≥2)個不等式左端有n＋1項，分子為1，分母依次為12、22、32、…、(n＋1)2；右端分母為n＋1，分子成等差數(shù)列，首項為3，公差為2，因此第n個不等式為1＋＋＋…＋<， 所以當(dāng)n＝2015時不等式為： 1＋＋＋…＋<. 2．類比三角形中的性質(zhì)： (1)兩邊之和大于第三邊 (2)中位線長等于底邊長的一半 (3)三內(nèi)角平分線交于一點 可得四面體的對應(yīng)性質(zhì)：

11、 (1)任意三個面的面積之和大于第四個面的面積 (2)過四面體的交于同一頂點的三條棱的中點的平面面積等于該頂點所對的面面積的 (3)四面體的六個二面角的平分面交于一點 其中類比推理方法正確的有(　　) A．(1) B．(1)(2) C．(1)(2)(3) D．都不對 [答案]　C [解析]　以上類比推理方法都正確，需注意的是類比推理得到的結(jié)論是否正確與類比推理方法是否正確并不等價，方法正確結(jié)論也不一定正確． 二、填空題 3．在以原點為圓心，半徑為r的圓上有一點P(x0，y0)，則圓的面積S圓＝πr2，過點P的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2.在橢圓＋＝1(a>b>0)中，

12、當(dāng)離心率e趨近于0時，短半軸b就趨近于長半軸a，此時橢圓就趨近于圓．類比圓的面積公式得橢圓面積S橢圓＝________.類比過圓上一點P(x0，y0)的圓的切線方程，則過橢圓＋＝1(a>b>0)上一點P(x1，y1)的橢圓的切線方程為________. [答案]　πab　x＋y＝1 [解析]　當(dāng)橢圓的離心率e趨近于0時，橢圓趨近于圓，此時a，b都趨近于圓的半徑r，故由圓的面積S＝πr2＝πrr，猜想橢圓面積S橢＝πab，其嚴格證明可用定積分處理．而由切線方程x0x＋y0y＝r2變形得x＋y＝1，則過橢圓上一點P(x1，y1)的橢圓的切線方程為x＋y＝1，其嚴格證明可用導(dǎo)數(shù)求切線處理． 4

13、．(2016山東文，12)觀察下列等式： (sin)－2＋(sin)－2＝12； (sin)－2＋(sin)－2＋(sin)－2＋(sin)－2＝23； (sin)－2＋(sin)－2＋(sin)－2＋…＋(sin)－2＝34； (sin)－2＋(sin)－2＋(sin)－2＋…＋(sin)－2＝45； …… 照此規(guī)律， (sin)－2＋(sin)－2＋(sin)－2＋…＋(sin)－2＝________. [答案]　n(n＋1) [解析]　根據(jù)已知，歸納可得結(jié)果為n(n＋1)． 三、解答題 5．我們知道： 12＝1， 22＝(1＋1)2＝12＋21＋1， 32＝(

14、2＋1)2＝22＋22＋1， 42＝(3＋1)2＝32＋23＋1， …… n2＝(n－1)2＋2(n－1)＋1， 左右兩邊分別相加，得 n2＝2[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋n ∴1＋2＋3＋…＋n＝. 類比上述推理方法寫出求12＋22＋32＋…＋n2的表達式的過程． [解析]　我們記S1(n)＝1＋2＋3＋…＋n， S2(n)＝12＋22＋32＋…＋n2，…，Sk(n)＝1k＋2k＋3k＋…＋nk (k∈N*)． 已知 13＝1， 23＝(1＋1)3＝13＋312＋31＋1， 33＝(2＋1)3＝23＋322＋32＋1， 43＝(3＋1)3＝33＋332＋33＋

15、1， …… n3＝(n－1)3＋3(n－1)2＋3(n－1)＋1. 將左右兩邊分別相加，得 S3(n)＝[S3(n)－n3]＋3[S2(n)－n2]＋3[S1(n)－n]＋n. 由此知S2(n)＝＝ ＝. 6．(2016隆化縣高二檢測)在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求證：＝＋，那么在四面體A－BCD中，類比上述結(jié)論，你能得到怎樣的猜想，并說明理由. [解析]　如圖(1)所示，由射影定理AD2＝BDDC，AB2＝BDBC，AC2＝BCDC， ∴＝ ＝＝. 又BC2＝AB2＋AC2， ∴＝＝＋. ∴＝＋. 類比AB⊥AC，AD⊥BC猜想： 四面體ABCD中，AB、AC、AD兩兩垂直， AE⊥平面BCD.則＝＋＋. 如圖(2)，連接BE延長交CD于F，連接AF. ∵AB⊥AC，AB⊥AD， ∴AB⊥平面ACD. 而AF?平面ACD， ∴AB⊥AF. 在Rt△ABF中，AE⊥BF， ∴＝＋. 在Rt△ACD中，AF⊥CD， ∴＝＋ ∴＝＋＋，故猜想正確．