《高考數(shù)學(xué) 一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件北師大版文科： 第8章 平面解析幾何 第7節(jié) 雙曲線學(xué)案 文 北師大版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué) 一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件北師大版文科： 第8章 平面解析幾何 第7節(jié) 雙曲線學(xué)案 文 北師大版（9頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第七節(jié)　雙曲線 [考綱傳真]　1.了解雙曲線的實(shí)際背景，了解雙曲線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用.2.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，知道其簡單的幾何性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點(diǎn)、離心率、漸近線).3.理解數(shù)形結(jié)合思想.4.了解雙曲線的簡單應(yīng)用． (對應(yīng)學(xué)生用書第125頁) [基礎(chǔ)知識填充] 1．雙曲線的定義 (1)平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之差的絕對值等于常數(shù)(大于零且小于|F1F2|)的點(diǎn)的集合叫作雙曲線．這兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2叫作雙曲線，兩焦點(diǎn)之間的距離叫作焦距． 其中a，c為常數(shù)且a＞0，c＞0. (2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2

2、||＝2a}，|F1F2|＝2c， 其中a，c為常數(shù)且a>0，c>0. ①當(dāng)2a<|F1F2|時(shí)，M點(diǎn)的軌跡是雙曲線； ②當(dāng)2a＝|F1F2|時(shí)，M點(diǎn)的軌跡是兩條射線； ③當(dāng)2a>|F1F2|時(shí)，M點(diǎn)不存在． 2．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì) 標(biāo)準(zhǔn)方程 －＝1 (a＞0，b＞0) －＝1 (a＞0，b＞0) 圖形 條件 2a＜2c，c2＝a2＋b2，a＞0，b＞0，c＞0 范圍 x≥a或x≤－a 且y∈R y≥a或y≤－a 且x∈R 對稱性 對稱軸坐標(biāo)軸、對稱中心原點(diǎn) 頂點(diǎn) A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2

3、(0，a) 焦點(diǎn) F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0) F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c) 漸近線 y＝x y＝x 實(shí)軸、 虛軸 線段A1A2叫作雙曲線的實(shí)軸，它的長度|A1A2|＝2a；a叫做雙曲線的實(shí)半軸長． 線段B1B2叫作雙曲線的虛軸，它的長度|B1B2|＝2b；b叫做雙曲線的虛半軸長． 焦距 |F1F2|＝2c(c2＝a2＋b2) 離心率 e＝∈(1，＋∞)，e越接近于＋∞時(shí)，雙曲線開口越大；e越接近于1時(shí)，雙曲線開口越小 3. 等軸雙曲線 實(shí)軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線，其漸近線方程為y＝x，離心率為e＝. [知識拓展] 1．巧設(shè)雙曲線方程

4、 (1)與雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)有共同漸近線的方程可設(shè)為－＝λ(λ≠0) (2)等軸雙曲線可設(shè)為x2－y2＝λ(λ≠0) (3)過已知兩個(gè)點(diǎn)的雙曲線方程可設(shè)為＋＝1(mn＜0) 2．焦點(diǎn)三角形的面積 雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)上一點(diǎn)P(x0，y0)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的焦點(diǎn)三角形F1PF2中，若∠F1PF2＝θ，則S△F1PF2＝|PF1||PF2|sin θ＝b2. 3．離心率與漸近線的斜率的關(guān)系 e2＝1＋，其中是漸近線的斜率． 4．過焦點(diǎn)垂直于實(shí)軸的弦長 過焦點(diǎn)垂直于實(shí)軸的半弦長為. [基本能力自測] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”

5、，錯誤的打“”) (1)平面內(nèi)到點(diǎn)F1(0,4)，F(xiàn)2(0，－4)距離之差的絕對值等于8的點(diǎn)的軌跡是雙曲線．(　　) (2)方程－＝1(mn>0)表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線．(　　) (3)雙曲線－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的漸近線方程是－＝0，即＝0.(　　) (4)等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于.(　　) [答案]　(1)　(2)　(3)√　(4)√ 2．(教材改編)已知雙曲線－＝1(a>0)的離心率為2，則a＝(　　) A．2　　　　　 B．　　　　　 C．　　　　　 D．1 D　[依題意，e＝＝＝2，∴＝2a，則a2＝1，a＝1.] 3．(

6、20xx福州質(zhì)檢)若雙曲線E：－＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線E上，且|PF1|＝3，則|PF2|等于(　　) A．11 B．9 C．5 D．3 B　[由題意知a＝3，b＝4，∴c＝5.由雙曲線的定義||PF1|－|PF2||＝|3－|PF2||＝2a＝6，∴|PF2|＝9.] 4．(20xx全國卷Ⅰ)已知F是雙曲線C：x2－＝1的右焦點(diǎn)，P是C上一點(diǎn)，且PF與x軸垂直，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1,3)，則△APF的面積為(　　) A． B． C． D． D　[因?yàn)镕是雙曲線C：x2－＝1的右焦點(diǎn)，所以F(2,0)． 因?yàn)镻F⊥x軸，所以可設(shè)P的坐標(biāo)

7、為(2，yP)． 因?yàn)镻是C上一點(diǎn)，所以4－＝1，解得yP＝3， 所以P(2，3)，|PF|＝3. 又因?yàn)锳(1,3)，所以點(diǎn)A到直線PF的距離為1， 所以S△APF＝|PF|1＝31＝. 故選D．] 5．(20xx北京高考改編)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的一條漸近線為2x＋y＝0，一個(gè)焦點(diǎn)為(，0)，則雙曲線的方程為__________. 【導(dǎo)學(xué)號：00090297】 x2－＝1　[由于2x＋y＝0是－＝1的一條漸近線， ∴＝2，即b＝2a， ① 又∵雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為(，0)，則c＝， 由a2＋b2＝c2，得a2＋b2＝5， ② 聯(lián)立①

8、②得a2＝1，b2＝4. ∴所求雙曲線的方程為x2－＝1.] (對應(yīng)學(xué)生用書第126頁) 雙曲線的定義及應(yīng)用 　(1)(20xx長春模擬)已知雙曲線x2－＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，P為雙曲線右支上一點(diǎn)．若|PF1|＝|PF2|，則△F1PF2的面積為(　　) A．48　　　 B．24 C．12 D．6 (2)已知圓C1：(x＋3)2＋y2＝1和圓C2：(x－3)2＋y2＝9，動圓M同時(shí)與圓C1及圓C2相外切，則動圓圓心M的軌跡方程為________. 【導(dǎo)學(xué)號：00090298】 (1)B　(2)x2－＝1(x≤－1)　[(1)由雙曲線的定義可得 |PF

9、1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2， 解得|PF2|＝6，故|PF1|＝8，又|F1F2|＝10， 由勾股定理可知三角形PF1F2為直角三角形，因此S△PF1F2＝|PF1||PF2|＝24. (2)如圖所示，設(shè)動圓M與圓C1及圓C2分別外切于A和B，動圓M的半徑為r，根據(jù)兩圓外切的條件得 |MC1|＝1＋r |MC2|＝3＋r 所以|MC2|－|MC1|＝2 所以點(diǎn)M到兩定點(diǎn)C1、C2的距離的差是常數(shù)且小于|C1C2|＝6. 又根據(jù)雙曲線的定義，得動點(diǎn)M的軌跡為雙曲線的左支(點(diǎn)M與C2的距離大，與C1的距離小)， 其中a＝1，c＝3，則b2＝8.

10、 故點(diǎn)M的軌跡方程為x2－＝1(x≤－1)．] [規(guī)律方法]　1.應(yīng)用雙曲線的定義需注意的問題： 在雙曲線的定義中，要注意雙曲線上的點(diǎn)(動點(diǎn))具備的幾何條件，即“到兩定點(diǎn)(焦點(diǎn))的距離之差的絕對值為一常數(shù)，且該常數(shù)必須小于兩定點(diǎn)間的距離”．若定義中的“絕對值”去掉，點(diǎn)的軌跡是雙曲線的一支．同時(shí)需注意定義的轉(zhuǎn)化應(yīng)用． 2．在焦點(diǎn)三角形中，注意定義、余弦定理的活用，常將||PF1|－|PF2||＝2a平方，建立與|PF1||PF2|間的聯(lián)系． [變式訓(xùn)練1]　(1)已知雙曲線C的離心率為2，焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)A在C上．若|F1A|＝2|F2A|，則cos∠AF2F1＝(　　)

11、 A．　　　　　 B．　　　　　 C．　　　　　 D． (2)已知F1，F(xiàn)2為雙曲線－＝1的左，右焦點(diǎn)，P(3,1)為雙曲線內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)A在雙曲線上，則|AP|＋|AF2|的最小值為(　　) A．＋4 B．－4 C．－2 D．＋2 (1)A　(2)C　[(1)由e＝＝2得c＝2a，如圖，由雙曲線的定義得|F1A|－|F2A|＝2A． 又|F1A|＝2|F2A|，故|F1A|＝4a， |F2A|＝2a，∴cos∠AF2F1＝＝. (2)由題意知，|AP|＋|AF2|＝|AP|＋|AF1|－2a， 要求|AP|＋|AF2|的最小值，只需求|AP|＋|AF1

12、|的最小值， 當(dāng)A，P，F(xiàn)1三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值， |AP|＋|AF1|＝|PF1|＝， ∴|AP|＋|AF2|的最小值為|AP|＋|AF1|－2a＝－2.故選C．] 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 　(1)(20xx天津高考)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A在雙曲線的漸近線上，△OAF是邊長為2的等邊三角形(O為原點(diǎn))，則雙曲線的方程為(　　) A．－＝1 B．－＝1 C．－y2＝1 D．x2－＝1 (2)(20xx天津高考)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的焦距為2，且雙曲線的一條漸近線與直線2x＋y＝0垂直，則雙曲線的方程為(　　) A．

13、－y2＝1 B．x2－＝1 C．－＝1 D．－＝1 (1)D　(2)A　　[(1)根據(jù)題意畫出草圖如圖所示 . 由△AOF是邊長為2的等邊三角形得到∠AOF＝60，c＝|OF|＝2. 又點(diǎn)A在雙曲線的漸近線y＝x上， ∴＝tan 60＝. 又a2＋b2＝4，∴a＝1，b＝， ∴雙曲線的方程為x2－＝1. 故選D． (2)由焦距為2得c＝.因?yàn)殡p曲線的一條漸近線與直線2x＋y＝0垂直，所以＝. 又c2＝a2＋b2，解得a＝2，b＝1， 所以雙曲線的方程為－y2＝1.] [規(guī)律方法]　1.確定雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程需要一個(gè)“定位”條件，兩個(gè)“定量”

14、條件．“定位”是指確定焦點(diǎn)在哪條坐標(biāo)軸上；“定量”是指確定a，b的值，常用待定系數(shù)法．若雙曲線的焦點(diǎn)位置不能確定時(shí)，可設(shè)其方程為Ax2＋By2＝1(AB<0)． 2．對于共焦點(diǎn)、共漸近線的雙曲線方程，可靈活設(shè)出恰當(dāng)?shù)男问角蠼猓粢阎獫u近線方程為mx＋ny＝0，則雙曲線方程可設(shè)為m2x2－n2y2＝λ(λ≠0)． [變式訓(xùn)練2]　(1)(20xx全國卷Ⅱ)已知雙曲線過點(diǎn)(4，)，且漸近線方程為y＝x，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為__________. 【導(dǎo)學(xué)號：00090299】 (2)設(shè)橢圓C1的離心率為，焦點(diǎn)在x軸上且長軸長為26，若曲線C2上的點(diǎn)到橢圓C1的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的差的絕對值等

15、于8，則曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為__________． (1)－y2＝1　(2)－＝1　[(1)∵雙曲線的漸近線方程為y＝x，∴可設(shè)雙曲線的方程為x2－4y2＝λ(λ≠0)． ∵雙曲線過點(diǎn)(4，)，∴λ＝16－4()2＝4， ∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－y2＝1. (2)由題意知橢圓C1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(－5,0)，F(xiàn)2(5,0)，設(shè)曲線C2上的一點(diǎn)P，則||PF1|－|PF2||＝8. 由雙曲線的定義知：a＝4，b＝3. 故曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1，即－＝1.] 雙曲線的簡單幾何性質(zhì) 　(1)(20xx全國卷Ⅱ)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線E：－＝1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在E上

16、，MF1與x軸垂直，sin∠MF2F1＝，則E的離心率為(　　) A．　　　　 B．　　　　 C．　　　　 D．2 (2)(20xx石家莊調(diào)研)設(shè)雙曲線－＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)是F，左、右頂點(diǎn)分別是A1，A2，過F作A1A2的垂線與雙曲線交于B，C兩點(diǎn)．若A1B⊥A2C，則該雙曲線的漸近線方程為__________． (1)A　(2)xy＝0　[(1)如圖，因?yàn)镸F1⊥x軸，所以|MF1|＝. 在Rt△MF1F2中，由sin∠MF2F1＝得 tan∠MF2F1＝. 所以＝，即＝，即＝， 整理得c2－ac－a2＝0，兩邊同除以a2得e2－e－1＝0.

17、 解得e＝(負(fù)值舍去)． (2)由題設(shè)易知A1(－a,0)，A2(a,0)，B，C. 因?yàn)锳1B⊥A2C，所以＝－1，整理得a＝B． 因此該雙曲線的漸近線方程為y＝x，即xy＝0.] [規(guī)律方法]　1.(1)求雙曲線的漸近線，要注意雙曲線焦點(diǎn)位置的影響；(2)求離心率的關(guān)鍵是確定含a，b，c的齊次方程，但一定注意e>1這一條件． 2．雙曲線中c2＝a2＋b2，可得雙曲線漸近線的斜率與離心率的關(guān)系＝.抓住雙曲線中“六點(diǎn)”“四線”“兩三角形”，研究a，b，c，e間相互關(guān)系及轉(zhuǎn)化，簡化解題過程． [變式訓(xùn)練3]　(1)(20xx全國卷Ⅱ)已知A，B為雙曲線E的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)M

18、在E上，△ABM為等腰三角形，且頂角為120，則E的離心率為(　　) A． B．2 C． D． (2)已知雙曲線x2－＝1的左頂點(diǎn)為A1，右焦點(diǎn)為F2，P為雙曲線右支上一點(diǎn)，則的最小值為(　　) A．－2 B．－ C．1 D．0 (1)D　(2)A　[ (1)不妨取點(diǎn)M在第一象限，如圖所示，設(shè)雙曲線方程為－＝1(a>0，b>0)，則|BM|＝|AB|＝2a，∠MBx＝180－120＝60，∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為. ∵M(jìn)點(diǎn)在雙曲線上，∴－＝1，a＝b，∴c＝a，e＝＝.故選D． (2)由已知可得A1(－1,0)，F(xiàn)2(2,0)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)(x≥1)，則＝(－1－x，－y)(2－x，－y)＝x2－x－2＋y2，因?yàn)閤2－＝1，即y2＝3(x2－1)，所以＝4x2－x－5＝42－，故當(dāng)x＝1時(shí)，有最小值－2.]