《人教版初一數(shù)學下冊 第五章 相交線與平行線知識點整理及思想方法歸納》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《人教版初一數(shù)學下冊 第五章 相交線與平行線知識點整理及思想方法歸納（9頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 相交線與平行線知識點整理 摘要：注意點：⑴對頂角是成對出現(xiàn)的，對頂角是具有特殊位置關系的兩個角；⑵如果是對頂角，那么一定有；反之如果，那么不一定是對頂角，⑶如果互為鄰補角，則一定有；反之如果，則不一定是鄰補角。⑶兩直線相交形成的四個角中，每一個角的鄰補角有兩個，而對頂角只有一個。 5.1相交線 1、鄰補角與對頂角 兩直線相交所成的四個角中存在幾種不同關系的角，它們的概念及性質(zhì)如下表： 圖形 頂點 邊的關系 大小關系 對頂角 1 2 ∠1與∠2 有公共頂點 ∠1的兩邊與∠2的兩邊互為反向延長線 對頂角相等 即∠1=∠2 鄰補角 4

2、 3 ∠3與∠4 有公共頂點 ∠3與∠4有一條邊公共，另一邊互為反向延長線。 ∠3+∠4=180 注意點：⑴對頂角是成對出現(xiàn)的，對頂角是具有特殊位置關系的兩個角； ⑵如果∠α與∠β是對頂角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α與∠β不一定是對頂角 ⑶如果∠α與∠β互為鄰補角，則一定有∠α+∠β=180；反之如果∠α+∠β=180，則∠α與∠β不一定是鄰補角。 ⑶兩直線相交形成的四個角中，每一個角的鄰補角有兩個，而對頂角只有一個。 2、垂線 ⑴定義，當兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另一條

3、直線的垂線，它們的交點叫做垂足。 A B C D O 符號語言記作： 如圖所示：AB⊥CD，垂足為O ⑵垂線性質(zhì)1：過一點有且只有一條直線與已知直線垂直 (與平行公理相比較記) ⑶垂線性質(zhì)2：連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短。簡稱：垂線段最短。 3、垂線的畫法： ⑴過直線上一點畫已知直線的垂線；⑵過直線外一點畫已知直線的垂線。 注意：①畫一條線段或射線的垂線，就是畫它們所在直線的垂線；②過一點作線段的垂線，垂足可在線段上，也可以在線段的延長線上。 畫法：⑴一靠：用三角尺一條直角邊靠在已知直線上

4、，⑵二移：移動三角尺使一點落在它的另一邊直角邊上，⑶三畫：沿著這條直角邊畫線，不要畫成給人的印象是線段的線。 4、點到直線的距離 直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離 記得時候應該結(jié)合圖形進行記憶。 P A B O 如圖，PO⊥AB，同P到直線AB的距離是PO的長。PO是垂線段。PO是點P到直線AB所有線段中最短的一條。 現(xiàn)實生活中開溝引水，牽牛喝水都是“垂線段最短”性質(zhì)的應用。 5、如何理解“垂線”、“垂線段”、“兩點間距離”、“點到直線的距離”這些相近而又相異的概念 分析它們的聯(lián)系與區(qū)別 ⑴垂線與垂線段

5、 區(qū)別：垂線是一條直線，不可度量長度；垂線段是一條線段，可以度量長度。 聯(lián)系：具有垂直于已知直線的共同特征。(垂直的性質(zhì)) ⑵兩點間距離與點到直線的距離 區(qū)別：兩點間的距離是點與點之間，點到直線的距離是點與直線之間。 聯(lián)系：都是線段的長度；點到直線的距離是特殊的兩點(即已知點與垂足)間距離。 ⑶線段與距離 距離是線段的長度，是一個量；線段是一種圖形，它們之間不能等同。 5.2平行線 1、平行線的概念： 在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線，直線與直線互相平行，記作∥。 2、

6、兩條直線的位置關系 在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關系只有兩種：⑴相交；⑵平行。 因此當我們得知在同一平面內(nèi)兩直線不相交時，就可以肯定它們平行；反過來也一樣（這里，我們把重合的兩直線看成一條直線） 判斷同一平面內(nèi)兩直線的位置關系時，可以根據(jù)它們的公共點的個數(shù)來確定： ①有且只有一個公共點，兩直線相交； ②無公共點，則兩直線平行； ③兩個或兩個以上公共點，則兩直線重合（因為兩點確定一條直線） 3、平行公理――平行線的存在性與惟一性 經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行 4、平行公理的推論： 如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行 　

7、　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　如左圖所示，∵∥，∥ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴∥ 　　　　　　　　　　　　注意符號語言書寫，前提條件是兩直線都平行于第三條直線，才會結(jié)論，這兩條直線都平行。 5、三線八角 1 2 3 4 5 6 7 8 　兩條直線被第三條直線所截形成八個角，它們構(gòu)成了同位角、內(nèi)錯角與同旁內(nèi)角。 　如圖，直線被直線所截 ?、佟?與∠5在截線的同側(cè)，同在被截直線的上方， 叫做同位角（位置相同） 　②∠5與∠3在截線的兩旁（交錯），在被截直線之間（內(nèi)），叫做內(nèi)錯角（位置在內(nèi)且交錯） ?、邸?與∠

8、4在截線的同側(cè)，在被截直線之間（內(nèi)），叫做同旁內(nèi)角。 　④三線八角也可以成模型中看出。同位角是“A”型；內(nèi)錯角是“Z”型；同旁內(nèi)角是“U”型。 6、如何判別三線八角 　判別同位角、內(nèi)錯角或同旁內(nèi)角的關鍵是找到構(gòu)成這兩個角的“三線”，有時需要將有關的部分“抽出”或把無關的線略去不看，有時又需要把圖形補全。 6 B A D 2 3 4 5 7 8 9 F E C 　例如： 1 　如圖，判斷下列各對角的位置關系：⑴∠1與∠2；⑵∠1與∠7；⑶∠1與∠BAD；⑷∠2與∠6；⑸∠5與∠8。 　我們將各對角從圖形中抽出來（或者說略去與有

9、關角無關的線），得到下列各圖。 　如圖所示，不難看出∠1與∠2是同旁內(nèi)角；∠1與∠7是同位角；∠1與∠BAD是同旁內(nèi)角；∠2與∠6是內(nèi)錯角；∠5與∠8對頂角。 A B C 1 7 A B F 2 1 A B C D 2 6 A D B F 1 B A F E 5 8 C 注意：圖中∠2與∠9，它們是同位角嗎？ 不是，因為∠2與∠9的各邊分別在四條不同直線上，不是兩直線被第三條直線所截而成。 7、兩直線平行的判定方法 方法一　　兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這

10、兩條直線平行 　　　　簡稱：同位角相等，兩直線平行 方法二　　兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行 　　　　簡稱：內(nèi)錯角相等，兩直線平行 方法三　　兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補，那么這兩條直線平行 A B C D E F 1 2 3 4 　　　　簡稱：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行 　　　　　　　　　　　　　　幾何符號語言： 　　　　　　　　　　　　　　∵　∠3＝∠2 　　　　　　　　　　　　　　∴　AB∥CD（同位角相等，兩直線平行） 　　　　　　　　　　　　　　∵　∠1＝∠2 　　　　　　　　　　　　　　∴　AB∥

11、CD（內(nèi)錯角相等，兩直線平行） 　　　　　　　　　　　　　　∵　∠4＋∠2＝180 　　　　　　　　　　　　　　∴　AB∥CD（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行） 請同學們注意書寫的順序以及前因后果，平行線的判定是由角相等，然后得出平行。平行線的判定是寫角相等，然后寫平行。 注意：⑴幾何中，圖形之間的“位置關系”一般都與某種“數(shù)量關系”有著內(nèi)在的聯(lián)系，常由“位置關系”決定其“數(shù)量關系”，反之也可從“數(shù)量關系”去確定“位置關系”。上述平行線的判定方法就是根據(jù)同位角或內(nèi)錯角“相等”或同旁內(nèi)角“互補”這種“數(shù)量關系”，判定兩直線“平行”這種“位置關系”。 ⑵根據(jù)平行線的定義和平行公理的推論，平

12、行線的判定方法還有兩種：①如果兩條直線沒有交點（不相交），那么兩直線平行。②如果兩條直線都平行于第三條直線，那么這兩條直線平行。 典型例題：判斷下列說法是否正確，如果不正確，請給予改正： 　⑴不相交的兩條直線必定平行線。 ?、圃谕黄矫鎯?nèi)不相重合的兩條直線，如果它們不平行，那么這兩條直線一定相交。 ?、沁^一點可以且只可以畫一條直線與已知直線平行 解答：⑴錯誤，平行線是“在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線”?！霸谕黄矫鎯?nèi)”是一項重要條件，不能遺漏。 　　?、普_ 　　?、遣徽_，正確的說法是“過直線外一點”而不是“過一點”。因為如果這一點不在已知直線上，是作不出這條直線的平行線的。

13、典型例題：如圖，根據(jù)下列條件，可以判定哪兩條直線平行，并說明判定的根據(jù)是什么？ A B E D F C 1 2 3 　　 　　　　　　　　　　　　　 解答：⑴由∠2＝∠B可判定AB∥DE，根據(jù)是同位角相等，兩直線平行； 　　　⑵由∠1＝∠D可判定AC∥DF，根據(jù)是內(nèi)錯角相等，兩直線平行； 　　?、怯伞?＋∠F＝180可判定AC∥DF，根據(jù)同旁內(nèi)角互補，兩直線平行。 　　　　　　　　　5.3平行線的性質(zhì) 1、平行線的性質(zhì)： 　性質(zhì)1：兩直線平行，同位角相等； 　性質(zhì)2：兩直線平行，內(nèi)錯角相等； A B C D E F

14、1 2 3 4 　性質(zhì)3：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補。 　　　　　　　　　　　　　　　　幾何符號語言： 　　　　　　　　　　　　　　　　　∵AB∥CD 　　　　　　　　　　　　　　　　　∴∠1＝∠2（兩直線平行，內(nèi)錯角相等） 　　　　　　　　　　　　　　　　　∵AB∥CD 　　　　　　　　　　　　　　　　　∴∠3＝∠2（兩直線平行，同位角相等） 　　　　　　　　　　　　　　　　　∵AB∥CD 　　　　　　　　　　　　　　　　　∴∠4＋∠2＝180（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補） 2、兩條平行線的距離 　如圖，直線AB∥CD，EF⊥AB于E，EF⊥CD于F，則稱線段EF的

15、長度為兩平行線AB與CD間的距離。 A E G B C F H D 　注意：直線AB∥CD，在直線AB上任取一點G，過點G作CD的垂線段GH，則垂線段GH的長度也就是直線AB與CD間的距離。 3、命題： ⑴命題的概念： 判斷一件事情的語句，叫做命題。 ⑵命題的組成 每個命題都是題設、結(jié)論兩部分組成。題設是已知事項；結(jié)論是由已知事項推出的事項。命題常寫成“如果……，那么……”的形式。具有這種形式的命題中，用“如果”開始的部分是題設，用“那么”開始的部分是結(jié)論。 　有些命題，沒有寫成“如果……，那么……”的形式，題設和結(jié)論不明顯。對于這

16、樣的命題，要經(jīng)過分析才能找出題設和結(jié)論，也可以將它們改寫成“如果……，那么……”的形式。 注意：命題的題設（條件）部分，有時也可用“已知……”或者“若……”等形式表述；命題的結(jié)論部分，有時也可用“求證……”或“則……”等形式表述。 4、平行線的性質(zhì)與判定 ①平行線的性質(zhì)與判定是互逆的關系 　兩直線平行　　　　　同位角相等； 　兩直線平行　　　　　內(nèi)錯角相等； 　兩直線平行　　　　　同旁內(nèi)角互補。 其中，由角的相等或互補（數(shù)量關系）的條件，得到兩條直線平行（位置關系）這是平行線的判定；由平行線（位置關系）得到有關角相等或互補（數(shù)量關系）的結(jié)論是平行線的性質(zhì)。 A D

17、E B C 1 2 典型例題：已知∠1＝∠B，求證：∠2＝∠C 　　證明：∵∠1＝∠B（已知） 　　　　　∴DE∥BC（同位角相等， 　　　　　　　　　　兩直線平行） 　　　　　∴∠2＝∠C（兩直線平行 　　　　　　　　　　同位角相等） 注意，在了DE∥BC，不需要再寫一次了，得到了DE∥BC，這可以把它當作條件來用了。 典型例題：如圖，AB∥DF，DE∥BC，∠1＝65 A D F B E C 1 2 3 　　　　　求∠2、∠3的度數(shù) 解答：∵DE∥BC（已知） 　　　∴∠2＝∠1＝65（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）

18、 　　　∵AB∥DF（已知） 　　　∴AB∥DF（已知） 　　　∴∠3＋∠2＝180（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補） 　　　∴∠3＝180－∠2＝180－65＝115 5.4平移 1、平移變換 ?、侔岩粋€圖形整體沿某一方向移動，會得到一個新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同。 ?、谛聢D形的每一點，都是由原圖形中的某一點移動后得到的，這兩個點是對應點 ?、圻B接各組對應點的線段平行且相等 2、平移的特征： ?、俳?jīng)過平移之后的圖形與原來的圖形的對應線段平行（或在同一直線上）且相等，對應角相等，圖形的形狀與大小都沒有發(fā)生變化。

19、 ?、诮?jīng)過平移后，對應點所連的線段平行（或在同一直線上）且相等。 A D B E C F 典型例題：如圖，△ABC經(jīng)過平移之后成為△DEF，那么： ⑴點A的對應點是點＿＿＿＿＿＿＿＿＿；⑵點B的對應點是點＿＿＿＿＿＿。 ⑶點＿＿＿＿＿的對應點是點F；⑷線段AB的對應線段是線段＿＿＿＿＿＿＿； ⑸線段BC的對應線段是線段＿＿＿＿＿＿＿；⑹∠A的對應角是＿＿＿＿＿＿。 　?、耍撸撸撸叩膶鞘恰螰。 解答： ?、臘；⑵E；⑶C；⑷DE；⑸EF；⑹∠D；⑺∠ACB。 思維方式：利用平移特征：平移前后對應線段相等，對應點的連線段平行或在同

20、一直線上解答。 相交線與平行線思想方法歸納 摘要：本章思想方法分為數(shù)形結(jié)合思想、比較的思想方法、建模思想 一、數(shù)形結(jié)合思想 “數(shù)學結(jié)合”的思想方法在本章有重要應用，如何理解同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的概念及平行的性質(zhì)，判定平移的特征都要放到圖形里，結(jié)合圖形理解 【例1】 如圖，，則有什么關系？請說明理由 解：與平行且相等， 因為在三角形和三角形中，，又四點共線，且,所以將三角形沿方向平移的長度便可得到三角形，因為是對應線段 所以 二、比較的思想方法 利用這一思想方法，可分清易混淆的概念和性質(zhì)，加深對概念和性質(zhì)的理解和認識，例如，平行線的判定定理和平行線的性質(zhì)定理最易混淆，學習時，可通過比較其異同，弄清楚它們的區(qū)別與聯(lián)系 【例2】 如圖，已知,垂足為，點是上任意一點，,垂足為，且，，求的度數(shù) 解： 三、建模思想 數(shù)學中，經(jīng)常利用建立模型的方法將抽象的數(shù)學問題轉(zhuǎn)化為易于接受的實際問題或易于觀察的圖形，從而解決數(shù)學問題 【例3】 如圖，將三角板的直角頂點放置在直線上的點處，使斜邊，則的余角為多少？ 解析： 第9頁共9頁