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1、專題10 立體幾何 一．選擇題 1. 【2005年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷5】木星的體積約是地球體積的倍，則它的表面積約是地球表面積的（ ） A．60倍 B．60倍 C．120倍 D．120倍 2.【2005年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷8】已知a、b、c是直線，是平面，給出下列命題 ①若； ②若； ③若； ④若a與b異面，且相交； ⑤若a與b異面，則至多有一條直線與a，b都垂直. 其中真命題的個數(shù)是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】 試題分析：①③④⑤是假命題，②是真命題，

2、選A. 3.【2006年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷6】關(guān)于直線m、n與平面與，有下列四個命題：（D） ①若且，則； ②若且，則； ③若且，則； ④若且，則； 其中真命題的序號是( ) A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 【答案】D 【解析】 試題分析：用排除法可得選D. 4.【2007年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷5】在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別為棱AA1、BB1的中點，G為棱A1B1上的一點，且A1G=（0≤≤1），則點G到平面D1EF的距

3、離為（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 試題分析：因為A1B1∥EF，G在 A1B1上，在所以G到平面D1EF的距離即是A1到面D1EF的距離，即是A1到D1E的距離，D1E=，由三角形面積可得所求距離為，故選D. 5.【2008年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷4】用與球心距離為1的平面去截球，所得的截面面積為π，則球的體積為（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 試題分析：易知球的半徑是，所以根據(jù)球的體積公式知，故D為正確答案．

4、6.【2009年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷6】如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=900,∠ACC1=600,∠BCC1=450,側(cè)棱CC1的長為1，則該三棱柱的高等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 試題分析：過頂點A作底面ABC的垂線，由已知條件和立體幾何線面關(guān)系易求得高的長. 7.【2010年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷4】用、、表示三條不同的直線，表示平面，給出下列命題： ①若∥，∥，則∥；②若⊥，⊥，則⊥； ③若

5、∥，∥，則∥；④若⊥，⊥，則∥. 正確的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①④ D.③④ 8.【2011年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷7】設(shè)球的體積為，它的內(nèi)接正方體的體積為．下列說法中最合適的是（ ） A．比大約多一半 B．比大約多兩倍半 C．比大約多一倍 D．比大約多一倍半 9. 【2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷16】我國古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測雨”題：在下雨時，用一個圓臺形的天池盆接雨水. 天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八

6、寸. 若盆中積水深九寸，則平地降雨量是 寸. （注：①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；②一尺等于十寸） 10.【2014年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷7】在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，一個四面體的頂點坐標(biāo)分別是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），給出編號①、②、③、④的四個圖，則該四面體的正視圖和俯視圖分別為（ ） A.①和② B.③和① C. ④和③ D.④和② 【答案】D 【解析】 試題分析：在坐標(biāo)系中標(biāo)出已知的四個點，根據(jù)三視圖的

7、畫圖規(guī)則判斷三棱錐的正視圖為④與俯視圖為②，故選D. 考點：空間由已知條件，在空間坐標(biāo)系中作出幾何體的形狀，正視圖與俯視圖的面積，容易題. 11. 【2015高考湖北，文5】表示空間中的兩條直線，若p：是異面直線；q：不相交，則（ ） A．p是q的充分條件，但不是q的必要條件 B．p是q的必要條件，但不是q的充分條件 C．p是q的充分必要條件 D．p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件 二．填空題 1.【2010年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷14】圓柱形容器內(nèi)盛有高度為3cm的水

8、，若放入三個相同的珠（球的半么與圓柱的底面半徑相同）后，水恰好淹沒最上面的球（如圖所示），則球的半徑是____cm. 【答案】4 【解析】 試題分析：本題考查了求解圓柱和球的體積問題.設(shè)球的半徑為R，則由題意可知，解得R=4cm. 2.【2012年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷15】已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為 . 三．解答題 1. 【2005年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷20】如圖所示的多面體是由底面為ABCD的長方體被截面AEC1F所截面而得到的，其中AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1. （Ⅰ）求BF的長；

9、 （Ⅱ）求點C到平面AEC1F的距離. 【解析】法1：（Ⅰ）過E作EH//BC交CC1于H，則CH=BE=1，EH//AD，且EH=AD. 又∵AF∥EC1，∴∠FAD=∠C1EH. ∴Rt△ADF≌Rt△EHC1. ∴DF=C1H=2. 2. 【2006年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷18】如圖，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱長和底面邊長均為1，M是底面BC邊上的中點，N是側(cè)棱CC1上的點，且CN＝2C1N. （Ⅰ）求二面角B1－AM－N的平面角的余弦值； （Ⅱ）求點B1到平面AMN的距離。 【解析】解法1：（Ⅰ）因為M是底面BC邊

10、上的中點，所以AMBC，又AMC,所以AM面BC， （Ⅱ）設(shè)n=(x,y,z)為平面AMN的一個法向量，則由得 故可取 設(shè)與n的夾角為a，則。 所以到平面AMN的距離為。 3. 【2007年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷17】如圖，在三棱錐V-ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC；D是AB的中點，且AC＝BC＝a，∠VDC＝θ. （Ⅰ）求證：平面VAB⊥平面VCD； （Ⅱ）試確定角θ的值，使得直線BC與平面VAB所成的角為. 從而，即． 解法3：（Ⅰ）以點為原點，以所在的直線分別為軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，于是，，． 從而，即． 同理

11、，即． 又，平面． 又平面， 平面平面． A D B C V x y z 、 A D B C V x y 4. 【2008年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷18】如圖，在直三棱柱中，平面?zhèn)让? （Ⅰ）求證： （Ⅱ）若，直線AC與平面所成的角為，二面角 證法2：由(Ⅰ)知，以點B為坐標(biāo)原點，以BC、BA、BB1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系. 5. 【2009年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷18】如圖，四棱錐S＝ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD,SD＝AD＝a,點E是SD上

12、的點，且DE＝a(0<≦1). (Ⅰ)求證：對任意的（0、1），都有AC⊥BE: (Ⅱ)若二面角C-AE-D的大小為600C，求的值。 6. 【2010年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷18】如圖，在四面體ABOC中，OC⊥OA。OC⊥OB，∠AOB=120，且OA=OB=OC=1 （Ⅰ）設(shè)P為AC的中點，Q在AB上且AB=3AQ，證明：PQ⊥OA； （Ⅱ）求二面角O-AC-B的平面角的余弦值. （Ⅱ）連結(jié)PN,PO. 由OCOA，OCOB知：OC平面OAB。 又ON平面OAB， OCON. 又由ONOA知：ON平面AOC. OP是NP在平

13、面AOC內(nèi)的射影。 在等腰Rt△COA中，P為AC的中點，ACOP。 根據(jù)三垂線定理，知：ACNP. 為二面角O-AC-B的平面角。 在等腰Rt△COA中，OC=OA=1, OP=。 在Rt△AON中，ON=OA=， 在Rt△PON中，PN==, cos。 7. 【2011年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷18】如圖，已知正三棱柱的底面邊長為2，側(cè)棱長為，點在側(cè)棱上，點在側(cè)棱上，且，． （Ⅰ）求證； （Ⅱ）求二面角的大小． （Ⅰ），，， ． 8. 【2012年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷19】某個實心零部件的形狀是如圖所示的幾何體，其下

14、部是底面均是正方形，側(cè)面是全等的等腰梯形的四棱臺，上部是一個底面與四棱臺的上底面重合，側(cè)面是全等的矩形的四棱柱. （Ⅰ）證明：直線平面； （Ⅱ）現(xiàn)需要對該零部件表面進行防腐處理. 已知，，，（單位：厘米），每平方厘米的加工處理費為0.20元，需加工處理費多少元？ 9. 【2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷20】如圖，某地質(zhì)隊自水平地面A，B，C三處垂直向地下鉆探，自A點向下鉆到A1處發(fā)現(xiàn)礦藏，再繼續(xù)下鉆到A2處后下面已無礦，從而得到在A處正下方的礦層厚度為．同樣可得在B，C處正下方的礦層厚度分別為，，且. 過，的中點，且與直線平行的平面截多面體所得的截面為該多面體的一

15、個中截面，其面積記為． （Ⅰ）證明：中截面是梯形； （Ⅱ）在△ABC中，記，BC邊上的高為，面積為. 在估測三角形區(qū)域內(nèi)正下方的礦藏儲量（即多面體的體積）時，可用近似公式來估算. 已知，試判斷與V的大小關(guān)系，并加以證明. 第20題圖 10.【2014年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷19】如圖，在正方體中，，，，，，分別是棱，，， ，，的中點. 求證： （1）直線∥平面； （2）直線⊥平面. 【解析】（1）連接，由是正方體，知， 因為，分別是，的中點，所以. 從而. 而

16、平面，且平面， 故直線∥平面． （2）如圖，連接，，則. 由平面，平面，可得. 又，所以平面. 而平面，所以. 因為，分別是，的中點，所以，從而. 同理可證. 又，所以直線⊥平面. 考點：正方體的性質(zhì)，空間中的線線、線面、面面平行于垂直. 11. 【2015高考湖北，文20】《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑. 在如圖所示的陽馬中，側(cè)棱底面，且，點是的中點，連接. （Ⅰ）證明：平面. 試判斷四面體是 否為鱉臑，若是，寫出其每個面的直角（只需寫出結(jié)論）；若不是，請說明理由； （Ⅱ）記陽馬的體積為，四面體的體積為，求的值．