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1、高初中數(shù)學(xué)的銜接講座-育才編（全套，新課標(biāo)人教A版） 如何做好高、初中數(shù)學(xué)的銜接 ● 第一講 如何學(xué)好高中數(shù)學(xué) ● 初中生經(jīng)過(guò)中考的奮力拼搏，剛跨入高中，都有十足的信心、旺盛的求知欲，都有把高中課程學(xué)好的愿望。但經(jīng)過(guò)一段時(shí)間，他們普遍感覺(jué)高中數(shù)學(xué)并非想象中那么簡(jiǎn)單易學(xué)，而是太枯燥、乏味、抽象、晦澀，有些章節(jié)如聽(tīng)天書(shū)。在做習(xí)題、課外練習(xí)時(shí)，又是磕磕碰碰、跌跌撞撞，常常感到茫然一片，不知從何下手。相當(dāng)部分學(xué)生進(jìn)入數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“困難期”，數(shù)學(xué)成績(jī)出現(xiàn)嚴(yán)重的滑坡現(xiàn)象。漸漸地他們認(rèn)為數(shù)學(xué)神秘莫測(cè)，從而產(chǎn)生畏懼感，動(dòng)搖了學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，甚至失去了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。造成這種現(xiàn)象的原因是多方面的，但最主要

2、的根源還在于初、高中數(shù)學(xué)教學(xué)上的銜接問(wèn)題。下面就對(duì)造成這種現(xiàn)象的一些原因加以分析、總結(jié)。希望同學(xué)們認(rèn)真吸取前人的經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，搞好自己的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。 一 高中數(shù)學(xué)與初中數(shù)學(xué)特點(diǎn)的變化 1 數(shù)學(xué)語(yǔ)言在抽象程度上突變。不少學(xué)生反映，集合、映射等概念難以理解，覺(jué)得離生活很遠(yuǎn)，似乎很“玄”。確實(shí)，初、高中的數(shù)學(xué)語(yǔ)言有著顯著的區(qū)別。初中的數(shù)學(xué)主要是以形象、通俗的語(yǔ)言方式進(jìn)行表達(dá)。而高一數(shù)學(xué)一下子就觸及抽象的集合語(yǔ)言、邏輯運(yùn)算語(yǔ)言以及以后要學(xué)習(xí)到的函數(shù)語(yǔ)言、空間立體幾何等。 2 思維方法向理性層次躍遷。高中數(shù)學(xué)思維方法與初中階段大不相同。初中階段，很多老師為學(xué)生將各種題建立了統(tǒng)一的思維模式，如解分式方程

3、分幾步；因式分解先看什么，再看什么。即使是思維非常靈活的平面幾何問(wèn)題，也對(duì)線段相等、角相等,分別確定了各自的思維套路。因此，初中學(xué)習(xí)中習(xí)慣于這種機(jī)械的、便于操作的定勢(shì)方式。高中數(shù)學(xué)在思維形式上產(chǎn)生了很大的變化，數(shù)學(xué)語(yǔ)言的抽象化對(duì)思維能力提出了高要求。當(dāng)然，能力的發(fā)展是漸進(jìn)的，不是一朝一夕的。這種能力要求的突變使很多高一新生感到不適應(yīng)，故而導(dǎo)致成績(jī)下降。高一新生一定要能從經(jīng)驗(yàn)型抽象思維向理論型抽象思維過(guò)渡，最后還需初步形成辯證型思維。 3 知識(shí)內(nèi)容的整體數(shù)量劇增。高中數(shù)學(xué)在知識(shí)內(nèi)容的“量”上急劇增加了。例如：高一《代數(shù)》第一章就有基本概念52個(gè)，數(shù)學(xué)符號(hào)28個(gè)；《立體幾何》第一章有基本概念37

4、個(gè)，基本公理、定理和推論21個(gè)；兩者合在一起僅基本概念就達(dá)89個(gè)之多，并集中在高一第一學(xué)期學(xué)習(xí)，形成了概念密集的學(xué)習(xí)階段。加之高中一年級(jí)第一學(xué)期只有七十多課時(shí)，輔助練習(xí)、消化的課時(shí)相應(yīng)地減少了。使得數(shù)學(xué)課時(shí)吃緊，因而教學(xué)進(jìn)度一般較快，從而增加了教與學(xué)的難度。這樣，不可避免地造成學(xué)生不適應(yīng)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，而影響成績(jī)的提高。這就要求：第一，要做好課后的復(fù)習(xí)工作，記牢大量的知識(shí)。第二，要理解掌握好新舊知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，使新知識(shí)順利地同化于原有知識(shí)結(jié)構(gòu)之中。第三，因知識(shí)教學(xué)多以零星積累的方式進(jìn)行的，當(dāng)知識(shí)信息量過(guò)大時(shí)，其記憶效果不會(huì)很好，因此要學(xué)會(huì)對(duì)知識(shí)結(jié)構(gòu)進(jìn)行梳理，形成板塊結(jié)構(gòu)，實(shí)行“整體集裝”。如表格

5、化，使知識(shí)結(jié)構(gòu)一目了然；類(lèi)化，由一例到一類(lèi)，由一類(lèi)到多類(lèi)，由多類(lèi)到統(tǒng)一；使幾類(lèi)問(wèn)題同構(gòu)于同一知識(shí)方法。第四，要多做總結(jié)、歸類(lèi)，建立主體的知識(shí)結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)。 二 不良的學(xué)習(xí)狀態(tài) 1 學(xué)習(xí)習(xí)慣因依賴(lài)心理而滯后。初中生在學(xué)習(xí)上的依賴(lài)心理是很明顯的。第一，為提高分?jǐn)?shù)，初中數(shù)學(xué)教師將各種題型都一一羅列，學(xué)生依賴(lài)于教師為其提供套用的“模子”；第二，家長(zhǎng)望子成龍心切，回家后輔導(dǎo)也是常事。升入高中后，教師的教學(xué)方法變了，套用的“模子”沒(méi)有了，家長(zhǎng)輔導(dǎo)的能力也跟不上了。許多同學(xué)進(jìn)入高中后，還象初中那樣，有很強(qiáng)的依賴(lài)心理，跟隨老師慣性運(yùn)轉(zhuǎn)，沒(méi)有掌握學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)。表現(xiàn)在不定計(jì)劃，坐等上課，課前沒(méi)有預(yù)習(xí)，對(duì)老師要上

6、課的內(nèi)容不了解，上課忙于記筆記，沒(méi)聽(tīng)到“門(mén)道”。 2 思想松懈。有些同學(xué)把初中的那一套思想移植到高中來(lái)。他們認(rèn)為自已在初一、二時(shí)并沒(méi)有用功學(xué)習(xí)，只是在初三臨考時(shí)才發(fā)奮了一、二個(gè)月就輕而易舉地考上了高中，有的還是重點(diǎn)中學(xué)里的重點(diǎn)班，因而認(rèn)為讀高中也不過(guò)如此。高一、高二根本就用不著那么用功，只要等到高三臨考時(shí)再發(fā)奮一、二個(gè)月，也一樣會(huì)考上一所理想的大學(xué)的。存有這種思想的同學(xué)是大錯(cuò)特錯(cuò)的。有多少同學(xué)就是因?yàn)楦咭?、二不努力學(xué)習(xí)，臨近高考了，發(fā)現(xiàn)自己缺漏了很多知識(shí)再?gòu)浹a(bǔ)后悔晚矣。 3 學(xué)不得法。老師上課一般都要講清知識(shí)的來(lái)龍去脈，剖析概念的內(nèi)涵，分析重點(diǎn)難點(diǎn)，突出思想方法。而一部分同學(xué)上課沒(méi)能專(zhuān)心聽(tīng)

7、課，對(duì)要點(diǎn)沒(méi)聽(tīng)到或聽(tīng)不全，筆記記了一大本，問(wèn)題也有一大堆；課后又不能及時(shí)鞏固、總結(jié)、尋找知識(shí)間的聯(lián)系，只是趕做作業(yè)，亂套題型，對(duì)概念、法則、公式、定理一知半解，機(jī)械模仿，死記硬背。還有些同學(xué)晚上加班加點(diǎn)，白天無(wú)精打采，或是上課根本不聽(tīng)，自己另搞一套，結(jié)果是事倍功半，收效甚微。 4 不重視基礎(chǔ)。一些“自我感覺(jué)良好”的同學(xué)，常輕視基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本方法的學(xué)習(xí)與訓(xùn)練，經(jīng)常是知道怎么做就算了，而不去認(rèn)真演算書(shū)寫(xiě)，但對(duì)難題很感興趣，以顯示自己的“水平”，好高騖遠(yuǎn)，重“量”輕“質(zhì)”，陷入題海。到正規(guī)作業(yè)或考試中不是演算出錯(cuò)就是中途“卡殼”。 5 進(jìn)一步學(xué)習(xí)條件不具備。高中數(shù)學(xué)與初中數(shù)學(xué)相比，知識(shí)

8、的深度、廣度，能力要求都是一次飛躍。這就要求必須掌握基礎(chǔ)知識(shí)與技能為進(jìn)一步學(xué)習(xí)作好準(zhǔn)備。高中數(shù)學(xué)很多地方難度大、方法新、分析能力要求高。如二次函數(shù)值的求法、實(shí)根分布與參變量的討論、，三角公式的變形與靈活運(yùn)用、空間概念的形成、排列組合應(yīng)用題及實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題等。有的內(nèi)容還是初中教材都不講的脫節(jié)內(nèi)容，如不采取補(bǔ)救措施，查缺補(bǔ)漏，就必然會(huì)跟不上高中學(xué)習(xí)的要求。 三 科學(xué)地進(jìn)行學(xué)習(xí) 高中學(xué)生僅僅想學(xué)是不夠的，還必須“會(huì)學(xué)”，要講究科學(xué)的學(xué)習(xí)方法，提高學(xué)習(xí)效率，才能變被動(dòng)學(xué)習(xí)為主動(dòng)學(xué)習(xí)，才能提高學(xué)習(xí)成績(jī)。 1 培養(yǎng)良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。反復(fù)使用的方法將變成人們的習(xí)慣。什么是良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣？良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣包

9、括制定計(jì)劃、課前自學(xué)、專(zhuān)心上課、及時(shí)復(fù)習(xí)、獨(dú)立作業(yè)、解決疑難、系統(tǒng)小結(jié)和課外學(xué)習(xí)幾個(gè)方面。 (1)制定計(jì)劃使學(xué)習(xí)目的明確，時(shí)間安排合理，不慌不忙，穩(wěn)扎穩(wěn)打，它是推動(dòng)主動(dòng)學(xué)習(xí)和克服困難的內(nèi)在動(dòng)力。但計(jì)劃一定要切實(shí)可行，既有長(zhǎng)遠(yuǎn)打算，又有短期安排，執(zhí)行過(guò)程中嚴(yán)格要求自己，磨煉學(xué)習(xí)意志。 (2)課前自學(xué)是上好新課、取得較好學(xué)習(xí)效果的基礎(chǔ)。課前自學(xué)不僅能培養(yǎng)自學(xué)能力，而且能提高學(xué)習(xí)新課的興趣，掌握學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)。自學(xué)不能走過(guò)場(chǎng)，要講究質(zhì)量，力爭(zhēng)在課前把教材弄懂，上課著重聽(tīng)老師講思路，把握重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，盡可能把問(wèn)題解決在課堂上。 (3)上課是理解和掌握基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本方法的關(guān)鍵環(huán)節(jié)?！皩W(xué)然

10、后知不足”，課前自學(xué)過(guò)的同學(xué)上課更能專(zhuān)心聽(tīng)課，他們知道什么地方該詳，什么地方可以一帶而過(guò)，該記的地方才記下來(lái)，而不是全抄全錄，顧此失彼。 (4)及時(shí)復(fù)習(xí)是高效率學(xué)習(xí)的重要一環(huán)。通過(guò)反復(fù)閱讀教材，多方面查閱有關(guān)資料，強(qiáng)化對(duì)基本概念知識(shí)體系的理解與記憶，將所學(xué)的新知識(shí)與有關(guān)舊知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，進(jìn)行分析比效，一邊復(fù)習(xí)一邊將復(fù)習(xí)成果整理在筆記本上，使對(duì)所學(xué)的新知識(shí)由“懂”到“會(huì)”。 (5)獨(dú)立作業(yè)是通過(guò)自己的獨(dú)立思考，靈活地分析問(wèn)題、解決問(wèn)題，進(jìn)一步加深對(duì)所學(xué)新知識(shí)的理解和對(duì)新技能的掌握過(guò)程。這一過(guò)程也是對(duì)意志毅力的考驗(yàn)，通過(guò)運(yùn)用使對(duì)所學(xué)知識(shí)由“會(huì)”到“熟”。 (6)解決疑難是指對(duì)獨(dú)立完成作業(yè)過(guò)程中

11、暴露出來(lái)對(duì)知識(shí)理解的錯(cuò)誤，或由于思維受阻遺漏解答，通過(guò)點(diǎn)撥使思路暢通，補(bǔ)遺解答的過(guò)程。解決疑難一定要有鍥而不舍的精神。做錯(cuò)的作業(yè)再做一遍。對(duì)錯(cuò)誤的地方要反復(fù)思考。實(shí)在解決不了的要請(qǐng)教老師和同學(xué)，并要經(jīng)常把易錯(cuò)的知識(shí)拿來(lái)復(fù)習(xí)強(qiáng)化，作適當(dāng)?shù)闹貜?fù)性練習(xí)，把求老師問(wèn)同學(xué)獲得的東西消化變成自己的知識(shí)，使所學(xué)到的知識(shí)由“熟”到“活”。 (7)系統(tǒng)小結(jié)是通過(guò)積極思考，達(dá)到全面系統(tǒng)深刻地掌握知識(shí)和發(fā)展認(rèn)識(shí)能力的重要環(huán)節(jié)。小結(jié)要在系統(tǒng)復(fù)習(xí)的基礎(chǔ)上以教材為依據(jù)，參照筆記與資料，通過(guò)分析、綜合、類(lèi)比、概括，揭示知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，以達(dá)到對(duì)所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通的目的。經(jīng)常進(jìn)行多層次小結(jié)，能對(duì)所學(xué)知識(shí)由“活”到“悟”。

12、(8)課外學(xué)習(xí)包括閱讀課外書(shū)籍與報(bào)刊，參加學(xué)科競(jìng)賽與講座，走訪高年級(jí)同學(xué)或老師交流學(xué)習(xí)心得等。課外學(xué)習(xí)是課內(nèi)學(xué)習(xí)的補(bǔ)充和繼續(xù)，它不僅能豐富同學(xué)們的文化科學(xué)知識(shí)，加深和鞏固課內(nèi)所學(xué)的知識(shí)，而且能夠滿(mǎn)足和發(fā)展興趣愛(ài)好，培養(yǎng)獨(dú)立學(xué)習(xí)和工作的能力，激發(fā)求知欲與學(xué)習(xí)熱情。 2 循序漸進(jìn)，防止急躁。由于同學(xué)們年齡較小，閱歷有限，為數(shù)不少的同學(xué)容易急躁。有的同學(xué)貪多求快，囫圇吞棗；有的同學(xué)想靠幾天“沖刺”一蹴而就；有的取得一點(diǎn)成績(jī)便洋洋自得，遇到挫折又一蹶不振。同學(xué)們要知道，學(xué)習(xí)是一個(gè)長(zhǎng)期地鞏固舊知、發(fā)現(xiàn)新知的積累過(guò)程，決非一朝一夕可以完成的。為什么高中要學(xué)三年而不是三天！許多優(yōu)秀的同學(xué)能取得好成績(jī)，其中

13、一個(gè)重要原因是他們的基本功扎實(shí)，他們的閱讀、書(shū)寫(xiě)、運(yùn)算技能達(dá)到了自動(dòng)化或半自動(dòng)化的熟練程度。 3 注意研究學(xué)科特點(diǎn)，尋找最佳學(xué)習(xí)方法。數(shù)學(xué)學(xué)科擔(dān)負(fù)著培養(yǎng)運(yùn)算能力、邏輯思維能力、空間想象能力以及運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力的重任。它的特點(diǎn)是具有高度的抽象性、邏輯性和廣泛的適用性，對(duì)能力要求較高。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)一定要講究“活”，只看書(shū)不做題不行，只埋頭做題不總結(jié)積累也不行。對(duì)課本知識(shí)既要能鉆進(jìn)去，又要能跳出來(lái)，結(jié)合自身特點(diǎn)，尋找最佳學(xué)習(xí)方法。華羅庚先生倡導(dǎo)的“由薄到厚”和“由厚到薄”的學(xué)習(xí)過(guò)程就是這個(gè)道理。方法因人而異，但學(xué)習(xí)的四個(gè)環(huán)節(jié)（預(yù)習(xí)、上課、作業(yè)、復(fù)習(xí)）和一個(gè)步驟（歸納總結(jié)）是少不了的

14、。 ● 第二講 初中數(shù)學(xué)與高中數(shù)學(xué)銜接緊密的知識(shí)點(diǎn) ● 1 絕對(duì)值： ⑴在數(shù)軸上，一個(gè)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做該數(shù)的絕對(duì)值。 ⑵正數(shù)的絕對(duì)值是他本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是他的相反數(shù)，0的絕對(duì)值是0，即 ⑶兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對(duì)值大的反而小 ⑷兩個(gè)絕對(duì)值不等式:；或 2 乘法公式： ⑴平方差公式： ⑵立方差公式： ⑶立方和公式： ⑷完全平方公式：， ⑸完全立方公式： 3 分解因式： ⑴把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，這種變化叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式。 ⑵方法：①提公因式法，②運(yùn)用公式法，③分組分解法，④十字相乘法。 4 一元一次方程： ⑴在一個(gè)方

15、程中，只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的指數(shù)是1，這樣的方程叫一元一次方程。 ⑵解一元一次方程的步驟：去分母，移項(xiàng)，合并同類(lèi)項(xiàng)，未知數(shù)系數(shù)化為1。 ⑶關(guān)于方程解的討論 ①當(dāng)時(shí)，方程有唯一解； ②當(dāng)，時(shí)，方程無(wú)解 ③當(dāng)，時(shí)，方程有無(wú)數(shù)解；此時(shí)任一實(shí)數(shù)都是方程的解。 5 二元一次方程組： （1）兩個(gè)二元一次方程組成的方程組叫做二元一次方程組。 （2）適合一個(gè)二元一次方程的一組未知數(shù)的值，叫做這個(gè)二元一次方程的一個(gè)解。 （3）二元一次方程組中各個(gè)方程的公共解，叫做這個(gè)二元一次方程組的解。 （4）解二元一次方程組的方法：①代入消元法，②加減消元法。 6 不等式與不等式組 （1）

16、不等式： ①用符不等號(hào)（>、≠、<）連接的式子叫不等式。 ②不等式的兩邊都加上或減去同一個(gè)整式，不等號(hào)的方向不變。 ③不等式的兩邊都乘以或者除以一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)方向不變。 ④不等式的兩邊都乘以或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)方向相反。 （2）不等式的解集： ①能使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解。 ②一個(gè)含有未知數(shù)的不等式的所有解，組成這個(gè)不等式的解集。 ③求不等式解集的過(guò)程叫做解不等式。 （3）一元一次不等式： 左右兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是1的不等式叫一元一次不等式。 （4）一元一次不等式組： ①關(guān)于同一個(gè)未知數(shù)的幾個(gè)一元一次不等式合在一起，

17、就組成了一元一次不等式組。 ②一元一次不等式組中各個(gè)不等式的解集的公共部分，叫做這個(gè)一元一次不等式組的解集。 ③求不等式組解集的過(guò)程，叫做解不等式組。 7 一元二次方程： ①方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根 ②方程有兩根同號(hào) ③方程有兩根異號(hào) ④韋達(dá)定理及應(yīng)用： , 8 函數(shù) （1）變量：因變量，自變量。 在用圖象表示變量之間的關(guān)系時(shí)，通常用水平方向的數(shù)軸上的點(diǎn)自變量，用豎直方向的數(shù)軸上的點(diǎn)表示因變量。 （2）一次函數(shù)：①若兩個(gè)變量,間的關(guān)系式可以表示成（為常數(shù)，不等于0）的形式，則稱(chēng)是的一次函數(shù)。②當(dāng)=0時(shí)，稱(chēng)是的正比例函數(shù)。 （

18、3）一次函數(shù)的圖象及性質(zhì) ①把一個(gè)函數(shù)的自變量與對(duì)應(yīng)的因變量的值分別作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系內(nèi)描出它的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，所有這些點(diǎn)組成的圖形叫做該函數(shù)的圖象。 ②正比例函數(shù)=的圖象是經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的一條直線。 ③在一次函數(shù)中，當(dāng)0， O，則經(jīng)2、3、4象限；當(dāng)0，0時(shí)，則經(jīng)1、2、4象限；當(dāng)0， 0時(shí)，則經(jīng)1、3、4象限；當(dāng)0， 0時(shí)，則經(jīng)1、2、3象限。 ④當(dāng)0時(shí)，的值隨值的增大而增大，當(dāng)0時(shí)，的值隨值的增大而減少。 （4）二次函數(shù)： ①一般式：()，對(duì)稱(chēng)軸是 頂點(diǎn)是； ②頂點(diǎn)式：()，對(duì)稱(chēng)軸是頂點(diǎn)是； ③交點(diǎn)式：()，其中（），（）是拋物線與x軸的交點(diǎn) （5）二次函數(shù)的性質(zhì)

19、 ①函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)。 ②時(shí)，在對(duì)稱(chēng)軸 （）左側(cè)，值隨值的增大而減少；在對(duì)稱(chēng)軸（）右側(cè)；的值隨值的增大而增大。當(dāng)時(shí)，取得最小值 ③時(shí)，在對(duì)稱(chēng)軸 （）左側(cè)，值隨值的增大而增大；在對(duì)稱(chēng)軸（）右側(cè)；的值隨值的增大而減少。當(dāng)時(shí)，取得最大值 9 圖形的對(duì)稱(chēng) （1）軸對(duì)稱(chēng)圖形：①如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱(chēng)圖形，這條直線叫做對(duì)稱(chēng)軸。②軸對(duì)稱(chēng)圖形上關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)確定的線段被對(duì)稱(chēng)軸垂直平分。 （2）中心對(duì)稱(chēng)圖形：①在平面內(nèi)，一個(gè)圖形繞某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度，如果旋轉(zhuǎn)前后的圖形互相重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱(chēng)圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做他的對(duì)稱(chēng)中心

20、。②中心對(duì)稱(chēng)圖形上的每一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連成的線段都被對(duì)稱(chēng)中心平分。 10 平面直角坐標(biāo)系 （1）在平面內(nèi)，兩條互相垂直且有公共原點(diǎn)的數(shù)軸組成平面直角坐標(biāo)系。水平的數(shù)軸叫做軸或橫軸，鉛直的數(shù)軸叫做軸或縱軸，軸與軸統(tǒng)稱(chēng)坐標(biāo)軸，他們的公共原點(diǎn)稱(chēng)為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)。 （2）平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)：設(shè)，是直角坐標(biāo)系內(nèi)的兩點(diǎn)， ①若和關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則有。 ②若和關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則有。 ③若和關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則有。 ④若和關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則有。 ⑤若和關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則有或。 11 統(tǒng)計(jì)與概率： （1）科學(xué)記數(shù)法：一個(gè)大于10的數(shù)可以表示成的形式，其中大于等于1小于10，是正整數(shù)。 （2）扇形統(tǒng)計(jì)圖

21、：①用圓表示總體，圓中的各個(gè)扇形分別代表總體中的不同部分，扇形的大小反映部分占總體的百分比的大小，這樣的統(tǒng)計(jì)圖叫做扇形統(tǒng)計(jì)圖。②扇形統(tǒng)計(jì)圖中，每部分占總體的百分比等于該部分所對(duì)應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)與360度的比。 （3）各類(lèi)統(tǒng)計(jì)圖的優(yōu)劣：①條形統(tǒng)計(jì)圖：能清楚表示出每個(gè)項(xiàng)目的具體數(shù)目；②折線統(tǒng)計(jì)圖：能清楚反映事物的變化情況；③扇形統(tǒng)計(jì)圖：能清楚地表示出各部分在總體中所占的百分比。 （5）平均數(shù)：對(duì)于個(gè)數(shù)，我們把()叫做這個(gè)個(gè)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，記為。 （6）加權(quán)平均數(shù)：一組數(shù)據(jù)里各個(gè)數(shù)據(jù)的重要程度未必相同，因而，在計(jì)算這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)時(shí)往往給每個(gè)數(shù)據(jù)加一個(gè)權(quán)，這就是加權(quán)平均數(shù)。 （7）中位數(shù)

22、與眾數(shù)：①N個(gè)數(shù)據(jù)按大小順序排列，處于最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)（或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。②一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最大的那個(gè)數(shù)據(jù)叫做這個(gè)組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。③優(yōu)劣比較：平均數(shù)：所有數(shù)據(jù)參加運(yùn)算，能充分利用數(shù)據(jù)所提供的信息，因此在現(xiàn)實(shí)生活中常用，但容易受極端值影響；中位數(shù)：計(jì)算簡(jiǎn)單，受極端值影響少，但不能充分利用所有數(shù)據(jù)的信息；眾數(shù)：各個(gè)數(shù)據(jù)如果重復(fù)次數(shù)大致相等時(shí)，眾數(shù)往往沒(méi)有特別的意義。 （8）調(diào)查：①為了一定的目的而對(duì)考察對(duì)象進(jìn)行的全面調(diào)查，稱(chēng)為普查，其中所要考察對(duì)象的全體稱(chēng)為總體，而組成總體的每一個(gè)考察對(duì)象稱(chēng)為個(gè)體。②從總體中抽取部分個(gè)體進(jìn)行調(diào)查，這種調(diào)查稱(chēng)為抽樣調(diào)查，其中從總體

23、中抽取的一部分個(gè)體叫做總體的一個(gè)樣本。③抽樣調(diào)查只考察總體中的一小部分個(gè)體，因此他的優(yōu)點(diǎn)是調(diào)查范圍小，節(jié)省時(shí)間，人力，物力和財(cái)力，但其調(diào)查結(jié)果往往不如普查得到的結(jié)果準(zhǔn)確。為了獲得較為準(zhǔn)確的調(diào)查結(jié)果，抽樣時(shí)要主要樣本的代表性和廣泛性。 （9）頻數(shù)與頻率：①每個(gè)對(duì)象出現(xiàn)的次數(shù)為頻數(shù)，而每個(gè)對(duì)象出現(xiàn)的次數(shù)與總次數(shù)的比值為頻率。②當(dāng)收集的數(shù)據(jù)連續(xù)取值時(shí)，我們通常先將數(shù)據(jù)適當(dāng)分組，然后再繪制頻數(shù)分布直方圖。 （10）數(shù)據(jù)的波動(dòng)：①極差是指一組數(shù)據(jù)中最大數(shù)據(jù)與最小數(shù)據(jù)的差。②方差是各個(gè)數(shù)據(jù)與平均數(shù)之差的平方和的平均數(shù)。③標(biāo)準(zhǔn)差就是方差的算術(shù)平方根。④一般來(lái)說(shuō)，一組數(shù)據(jù)的極差，方差，或標(biāo)準(zhǔn)差越小，這組數(shù)

24、據(jù)就越穩(wěn)定。 （11）事件的可能性：①有些事情我們能確定他一定會(huì)發(fā)生，這些事情稱(chēng)為必然事件；有些事情我們能肯定他一定不會(huì)發(fā)生，這些事情稱(chēng)為不可能事件；必然事件和不可能事件都是確定的。②有很多事情我們無(wú)法肯定他會(huì)不會(huì)發(fā)生，這些事情稱(chēng)為不確定事件。③一般來(lái)說(shuō)，不確定事件發(fā)生的可能性是有大小的。 （12）概率：①人們通常用1（或100%）來(lái)表示必然事件發(fā)生的可能性，用0來(lái)表示不可能事件發(fā)生的可能性。②游戲?qū)﹄p方公平是指雙方獲勝的可能性相同。③必然事件發(fā)生的概率為1，記作（必然事件）；不可能事件發(fā)生的概率為，記作（不可能事件）；如果A為不確定事件，那么 ● 第三講 銜接知識(shí)點(diǎn)的專(zhuān)題強(qiáng)化訓(xùn)練

25、● ★ 專(zhuān)題一 數(shù)與式的運(yùn)算 【要點(diǎn)回顧】 1．絕對(duì)值 [1]絕對(duì)值的代數(shù)意義： ．即 ． [2]絕對(duì)值的幾何意義： 的距離． [3]兩個(gè)數(shù)的差的絕對(duì)值的幾何意義：表示 的距離． [4]兩個(gè)絕對(duì)值不等式:；． 2．乘法公式 我們?cè)诔踔幸呀?jīng)學(xué)習(xí)過(guò)了下列一些乘法公式： [1]平方差公式：

26、 ； [2]完全平方和公式： ； [3]完全平方差公式： ． 我們還可以通過(guò)證明得到下列一些乘法公式： [公式1] [公式2](立方和公式) [公式3] (立方差公式) 說(shuō)明:上述公式均稱(chēng)為“乘法公式”． 3．根式 [1]式子叫做二次根式，其性質(zhì)如下： (1) ；(2) ；(3) ； (4) ．

27、[2]平方根與算術(shù)平方根的概念： 叫做的平方根，記作，其中叫做的算術(shù)平方根． [3]立方根的概念： 叫做的立方根，記為 4．分式 [1]分式的意義 形如的式子，若B中含有字母，且，則稱(chēng)為分式．當(dāng)M≠0時(shí)，分式具有下列性質(zhì)： （1） ； （2） ． [2]繁分式 當(dāng)分式的分子、分母中至少有一個(gè)是分式時(shí)，就叫做繁分式，如， 說(shuō)明：繁分式的化簡(jiǎn)常用以下兩種方法：(1) 利用除法法則；(2) 利用分式的基本性質(zhì)． [

28、3]分母（子）有理化 把分母（子）中的根號(hào)化去，叫做分母（子）有理化．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根號(hào)的過(guò)程；而分子有理化則是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根號(hào)的過(guò)程 【例題選講】 例1 解下列不等式：（1） （2）＞4． 例2 計(jì)算： （1） （2） （3） （4） 例3 已知，求的值． 例4 已知，求的值． 例5 計(jì)算(沒(méi)有特殊說(shuō)明，本節(jié)中出現(xiàn)的字母均為正數(shù))： （1）

29、 （2） （3） （4） 例6 設(shè)，求的值． 例7 化簡(jiǎn)：（1） （2） （1）解法一：原式= 解法二：原式= （2）解：原式= 說(shuō)明：(1) 分式的乘除運(yùn)算一般化為乘法進(jìn)行，當(dāng)分子、分母為多項(xiàng)式時(shí)，應(yīng)先因式分解再進(jìn)行約分化簡(jiǎn)；(2) 分式的計(jì)算結(jié)果應(yīng)是最簡(jiǎn)分式或整式． 【鞏固練習(xí)】 1． 解不等式 2． 設(shè)，求代數(shù)式的值． 3． 當(dāng)，求的值． 4． 設(shè)，求的值． 5． 計(jì)算 6．化簡(jiǎn)或計(jì)算： (1)

30、 (2) (3) (4) ★ 專(zhuān)題二 因式分解 【要點(diǎn)回顧】 因式分解是代數(shù)式的一種重要的恒等變形，它與整式乘法是相反方向的變形．在分式運(yùn)算、解方程及各種恒等變形中起著重要的作用．是一種重要的基本技能． 因式分解的方法較多，除了初中課本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，還有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分組分解法等等． 1．公式法 常用的乘法公式： [1]平方差公式： ； [

31、2]完全平方和公式： ； [3]完全平方差公式： ． [4] [5](立方和公式) [6] (立方差公式) 由于因式分解與整式乘法正好是互為逆變形，所以把整式乘法公式反過(guò)來(lái)寫(xiě)，運(yùn)用上述公式可以進(jìn)行因式分解． 2．分組分解法 從前面可以看出，能夠直接運(yùn)用公式法分解的多項(xiàng)式，主要是二項(xiàng)式和三項(xiàng)式．而對(duì)于四項(xiàng)以上的多項(xiàng)式，如既沒(méi)有公式可用，也沒(méi)有公因式可以提?。虼?，可以先將多項(xiàng)式分組處理．這種利用分組來(lái)因式分解的方法叫做分組分解法．分組分解法的關(guān)鍵在于如何分組． 常見(jiàn)題型：（

32、1）分組后能提取公因式 （2）分組后能直接運(yùn)用公式 3．十字相乘法 （1）型的因式分解 這類(lèi)式子在許多問(wèn)題中經(jīng)常出現(xiàn)，其特點(diǎn)是：①二次項(xiàng)系數(shù)是1；②常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)之積；③ 一次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的兩個(gè)因數(shù)之和． ∵， ∴ 運(yùn)用這個(gè)公式，可以把某些二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式分解因式． （2）一般二次三項(xiàng)式型的因式分解 由我們發(fā)現(xiàn)，二次項(xiàng)系數(shù)分解成，常數(shù)項(xiàng)分解成，把寫(xiě)成，這里按斜線交叉相乘，再相加，就得到，如果它正好等于的一次項(xiàng)系數(shù)，那么就可以分解成，其中位于上一行，位于下一行．這種借助畫(huà)十字交叉線分解系數(shù)，從而將二次三項(xiàng)式分解因式的方法，叫做十字相乘法． 必須注意，分解

33、因數(shù)及十字相乘都有多種可能情況，所以往往要經(jīng)過(guò)多次嘗試，才能確定一個(gè)二次三項(xiàng)式能否用十字相乘法分解． 4．其它因式分解的方法 其他常用的因式分解的方法：（1）配方法 （2）拆、添項(xiàng)法 【例題選講】 例1 （公式法）分解因式：(1) ；(2) 例2 （分組分解法）分解因式：（1） （2） 例3 （十字相乘法）把下列各式因式分解：(1) (2) (3) (4) 解：（1） （2） （3）分析：把看成的二

34、次三項(xiàng)式，這時(shí)常數(shù)項(xiàng)是，一次項(xiàng)系數(shù)是，把分解成與的積，而，正好是一次項(xiàng)系數(shù)． 解： (4) 由換元思想，只要把整體看作一個(gè)字母，可不必寫(xiě)出，只當(dāng)作分解二次三項(xiàng)式．解： 例4 （十字相乘法）把下列各式因式分解：(1) ；(2) 解：(1) (2) 說(shuō)明：用十字相乘法分解二次三項(xiàng)式很重要．當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不是1時(shí)較困難，具體分解時(shí)，為提高速度，可先對(duì)有關(guān)常數(shù)分解，交叉相乘后，若原常數(shù)為負(fù)數(shù)，用減法”湊”，看是否符合一次項(xiàng)系數(shù)，否則用加法”湊”，先”湊”絕對(duì)值，然后調(diào)整，添加正、負(fù)號(hào)． 例5 （拆項(xiàng)法）分解因式 【鞏固練習(xí)】 1．把下

35、列各式分解因式： (1) (2) (3) (4) (5) 2．已知，求代數(shù)式的值． 3．現(xiàn)給出三個(gè)多項(xiàng)式，，，，請(qǐng)你選擇其中兩個(gè)進(jìn)行加法運(yùn)算，并把結(jié)果因式分解. 4．已知，求證：． ★ 專(zhuān)題三 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系 【要點(diǎn)回顧】 1．一元二次方程的根的判斷式 一元二次方程，用配方法將其變形為： ． 由于可以用的取值情況來(lái)判定一元二次方程的根的

36、情況．因此，把叫做一元二次方程的根的判別式，表示為： 對(duì)于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），有 [1]當(dāng)Δ 0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根： ； [2]當(dāng)Δ 0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根： ； [3]當(dāng)Δ 0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根． 2．一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系 定理：如果一元二次方程的兩個(gè)根為，那么： 說(shuō)明：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系由十六世紀(jì)的法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)發(fā)現(xiàn)，所以通常把此定理稱(chēng)為”韋達(dá)定理”．上述定理成立的前提是． 特別地，對(duì)于二次項(xiàng)系

37、數(shù)為1的一元二次方程x2＋px＋q＝0，若x1，x2是其兩根，由韋達(dá)定理可知 x1＋x2＝－p，x1x2＝q，即 p＝－(x1＋x2)，q＝x1x2， 所以，方程x2＋px＋q＝0可化為 x2－(x1＋x2)x＋x1x2＝0，由于x1，x2是一元二次方程x2＋px＋q＝0的兩根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2－(x1＋x2)x＋x1x2＝0．因此有 以?xún)蓚€(gè)數(shù)x1，x2為根的一元二次方程（二次項(xiàng)系數(shù)為1）是 x2－(x1＋x2)x＋x1x2＝0． 【例題選講】 例1 已知關(guān)于的一元二次方程，根據(jù)下列條件，分別求出的范圍： （1）方

38、程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根； （2）方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 （3）方程有實(shí)數(shù)根； （4）方程無(wú)實(shí)數(shù)根． 例2 已知實(shí)數(shù)、滿(mǎn)足，試求、的值． 例3 若是方程的兩個(gè)根，試求下列各式的值： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 例4 已知是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根． (1) 是否存在實(shí)數(shù)，使成立？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． (2) 求使的值為整數(shù)的實(shí)數(shù)的整數(shù)值． 解：(1) 假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使成立．∵ 一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴ ，又是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴ ∴ ，但．

39、 ∴不存在實(shí)數(shù)，使成立． (2) ∵ ∴ 要使其值是整數(shù)，只需能被4整除，故，注意到，要使的值為整數(shù)的實(shí)數(shù)的整數(shù)值為． 【鞏固練習(xí)】 1．若是方程的兩個(gè)根，則的值為( ) A． B． C． D． 2．若是一元二次方程的根，則判別式和完全平方式的關(guān)系是( ) A． B． C． D．大小關(guān)系不能確定 3．設(shè)是方程的兩實(shí)根，是關(guān)于的方程的兩實(shí)根，則= ___ __ ，= _ ____ ． 4．已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則= ___ __ ，= _____ ，= _____ ． 5．已知關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和等于11，求證：關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根．

40、 6．若是關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且都大于1． (1) 求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2) 若，求的值． ★ 專(zhuān)題四 平面直角坐標(biāo)系、一次函數(shù)、反比例函數(shù) 【要點(diǎn)回顧】 1．平面直角坐標(biāo)系 [1] 組成平面直角坐標(biāo)系。 叫做軸或橫軸， 叫做軸或縱軸，軸與軸統(tǒng)稱(chēng)坐標(biāo)軸，他們的公共原點(diǎn)稱(chēng)為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)。 [2] 平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)： 對(duì)稱(chēng)點(diǎn)或?qū)ΨQ(chēng)直線方程 對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo) 軸

41、 軸 原點(diǎn) 點(diǎn) 直線 直線 直線 直線 2．函數(shù)圖象 [1]一次函數(shù)： 稱(chēng)是的一次函數(shù)，記為：(k、b是常數(shù)，k≠0) 特別的，當(dāng)=0時(shí)，稱(chēng)是的正比例函數(shù)。 [2] 正比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)：函數(shù)y=kx(k是常數(shù)，k≠0)的圖象是 的一條直線，當(dāng) 時(shí)，圖象過(guò)原

42、點(diǎn)及第一、第三象限，y隨x的增大而 ；當(dāng) 時(shí)，圖象過(guò)原點(diǎn)及第二、第四象限，y隨x的增大而 ． [3] 一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)：函數(shù)(k、b是常數(shù)，k≠0)的圖象是過(guò)點(diǎn)(0，b)且與直線y=kx平行的一條直線.設(shè)(k≠0)，則當(dāng) 時(shí)，y隨x的增大而 ；當(dāng) 時(shí)， y隨x的增大而 ． [4]反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)：函數(shù)(k≠0)是雙曲線，當(dāng) 時(shí)，圖象在第一、第三象限，在每個(gè)象限中，y隨x的增大而 ；當(dāng) 時(shí)，圖象在第二、第四象限.，在每個(gè)象限中，y隨x的增大而 ．雙曲線是

43、軸對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)軸是直線與；又是中心對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)中心是原點(diǎn)． 【例題選講】 例1 已知、，根據(jù)下列條件，求出、點(diǎn)坐標(biāo)． (1) 、關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)；(2) 、關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；(3) 、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)． 例2已知一次函數(shù)y＝kx＋2的圖象過(guò)第一、二、三象限且與x、y軸分別交于、兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，若ΔAOB的面積為2，求此一次函數(shù)的表達(dá)式。 例3如圖，反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象交于，兩點(diǎn)． （1）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式； （2）根據(jù)圖象回答：當(dāng)取何值時(shí)，反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值． 解：（1）在的圖象上，

44、， 又在的圖象上，，即 ，解得：，， 反比例函數(shù)的解析式為，一次函數(shù)的解析式為， （2）從圖象上可知，當(dāng)或時(shí)，反比例函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象的上方，所以反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值。 【鞏固練習(xí)】 1．函數(shù)與在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象可以是（ ） 2．如圖，平行四邊形ABCD中，A在坐標(biāo)原點(diǎn)，D在第一象限角平分線上，又知，，求點(diǎn)的坐標(biāo)．　 3．如圖，已知直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為． （1）求的值； （2）過(guò)原點(diǎn)的另一條直線交雙曲線于兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），若由點(diǎn)為頂點(diǎn)組成的四邊形面積為，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

45、 ★ 專(zhuān)題五 二次函數(shù) 【要點(diǎn)回顧】 1． 二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖像和性質(zhì) 問(wèn)題[1] 函數(shù)y＝ax2與y＝x2的圖象之間存在怎樣的關(guān)系？ 問(wèn)題[2] 函數(shù)y＝a(x＋h)2＋k與y＝ax2的圖象之間存在怎樣的關(guān)系？ 由上面的結(jié)論，我們可以得到研究二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象的方法： 由于y＝ax2＋bx＋c＝a(x2＋)＋c＝a(x2＋＋)＋c－， 所以，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象可以看作是將函數(shù)y＝ax2的圖象作左右平移、上下平移得到的， 二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)

46、具有下列性質(zhì)： [1]當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖象開(kāi)口方向 ；頂點(diǎn)坐標(biāo)為 ，對(duì)稱(chēng)軸為直線 ；當(dāng) 時(shí)，y隨著x的增大而 ；當(dāng) 時(shí)，y隨著x的增大而 ；當(dāng) 時(shí)，函數(shù)取最小值 ． [2]當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖象開(kāi)口方向 ；頂點(diǎn)坐標(biāo)為 ，對(duì)稱(chēng)軸為直線 ；當(dāng) 時(shí)，y隨著x的增大而 ；當(dāng) 時(shí)，y隨著x的增大而 ；當(dāng) 時(shí)，函數(shù)取最大值 ．

47、 上述二次函數(shù)的性質(zhì)可以分別通過(guò)上圖直觀地表示出來(lái)．因此，在今后解決二次函數(shù)問(wèn)題時(shí)，可以借助于函數(shù)圖像、利用數(shù)形結(jié)合的思想方法來(lái)解決問(wèn)題． 2．二次函數(shù)的三種表示方式 [1]二次函數(shù)的三種表示方式： （1）．一般式： ； （2）．頂點(diǎn)式： ； （3）．交點(diǎn)式： ． 說(shuō)明：確定二此函數(shù)的關(guān)系式的一般方法是待定系數(shù)法，在選擇把二次函數(shù)的關(guān)系式設(shè)成什么形式時(shí)，可根據(jù)題目中的條件靈活選擇，以簡(jiǎn)單為原則．二次函數(shù)的關(guān)系式可設(shè)如下三種形

48、式： ①給出三點(diǎn)坐標(biāo)可利用一般式來(lái)求； ②給出兩點(diǎn)，且其中一點(diǎn)為頂點(diǎn)時(shí)可利用頂點(diǎn)式來(lái)求． ③給出三點(diǎn)，其中兩點(diǎn)為與x軸的兩個(gè)交點(diǎn).時(shí)可利用交點(diǎn)式來(lái)求． 3．分段函數(shù) 一般地，如果自變量在不同取值范圍內(nèi)時(shí)，函數(shù)由不同的解析式給出，這種函數(shù)，叫作分段函數(shù)． 【例題選講】 例1 求二次函數(shù)y＝－3x2－6x＋1圖象的開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、最大值（或最小值），并指出當(dāng)x取何值時(shí)，y隨x的增大而增大（或減小）？并畫(huà)出該函數(shù)的圖象． 例2 某種產(chǎn)品的成本是120元/件，試銷(xiāo)階段每件產(chǎn)品的售價(jià)x（元）與產(chǎn)品的日銷(xiāo)售量y（件）之間關(guān)系如下表所示： x /

49、元 130 150 165 y/件 70 50 35 若日銷(xiāo)售量y是銷(xiāo)售價(jià)x的一次函數(shù)，那么，要使每天所獲得最大的利潤(rùn)，每件產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)應(yīng)定為多少元？此時(shí)每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)是多少？ 例3 已知函數(shù)，其中，求該函數(shù)的最大值與最小值，并求出函數(shù)取最大值和最小值時(shí)所對(duì)應(yīng)的自變量x的值． 例4 根據(jù)下列條件，分別求出對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的關(guān)系式． （1）已知某二次函數(shù)的最大值為2，圖像的頂點(diǎn)在直線y＝x＋1上，并且圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，－1）； （2）已知二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(－3，0)，(1，0)，且頂點(diǎn)到x軸的距離等于2； （3）已知二次函數(shù)的

50、圖象過(guò)點(diǎn)(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)． 例5 在國(guó)內(nèi)投遞外埠平信，每封信不超過(guò)20g付郵資80分，超過(guò)20g不超過(guò)40g付郵資160分，超過(guò)40g不超過(guò)60g付郵資240分，依此類(lèi)推，每封xg(0＜x≤100)的信應(yīng)付多少郵資（單位：分）？寫(xiě)出函數(shù)表達(dá)式，作出函數(shù)圖象． 分析：由于當(dāng)自變量x在各個(gè)不同的范圍內(nèi)時(shí)，應(yīng)付郵資的數(shù)量是不同的．所以，可以用分段函數(shù)給出其對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式．在解題時(shí)，需要注意的是，當(dāng)x在各個(gè)小范圍內(nèi)（如20＜x≤40）變化時(shí)，它所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值（郵資）并不變化（都是160分）． 解：設(shè)每封信的郵資為y（單位：分），則y

51、是x的函數(shù)．這個(gè)函數(shù)的解析式為 由上述的函數(shù)解析式，可以得到其圖象如圖所示． 【鞏固練習(xí)】 1．選擇題： （1）把函數(shù)y＝－(x－1)2＋4的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是 （ ） （A）（－1，4） （B）（－1，－4） （C）（1，－4） （D）（1，4） （2）函數(shù)y＝－x2＋4x＋6的最值情況是 （ ） （A）有最大值6 （B）有最小值6 （C）有最大值10

52、 （D）有最大值2 （3）函數(shù)y＝2x2＋4x－5中，當(dāng)－3≤x＜2時(shí)，則y值的取值范圍是 （ ） （A）－3≤y≤1 （B）－7≤y≤1 （C）－7≤y≤11 （D）－7≤y＜11 2．填空： （1）已知某二次函數(shù)的圖象與x軸交于A(－2，0)，B(1，0)，且過(guò)點(diǎn)C（2，4），則該二次函數(shù)的表達(dá)式為 ． （2）已知某二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)（－1，0），（0，3），（1，4），則該函數(shù)的表達(dá)式為

53、 ． 3．根據(jù)下列條件，分別求出對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的關(guān)系式． （1）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，），B（1，0），C（，2）； （2）已知拋物線的頂點(diǎn)為（1，），且與y軸交于點(diǎn)（0，1）； （3）已知拋物線與x軸交于點(diǎn)M（，0），（5，0），且與y軸交于點(diǎn)（0，）； （4）已知拋物線的頂點(diǎn)為（3，），且與x軸兩交點(diǎn)間的距離為4． 4．如圖，某農(nóng)民要用12m的竹籬笆在墻邊圍出一塊一面為墻、另三面為籬笆的矩形地供他圈養(yǎng)小雞．已知墻的長(zhǎng)度為6m，問(wèn)怎樣圍才能使得該矩形面積最大？ 5．如圖所示，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD的邊上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，

54、從點(diǎn)A出發(fā)沿折線ABCD移動(dòng)一周后，回到A點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)A移動(dòng)的路程為x，ΔPAC的面積為y． （1）求函數(shù)y的解析式； （2）畫(huà)出函數(shù)y的圖像； （3）求函數(shù)y的取值范圍． ★ 專(zhuān)題六 二次函數(shù)的最值問(wèn)題 【要點(diǎn)回顧】 1．二次函數(shù)的最值． 二次函數(shù)在自變量取任意實(shí)數(shù)時(shí)的最值情況(當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處取得最小值，無(wú)最大值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處取得最大值，無(wú)最小值． 2．二次函數(shù)最大值或最小值的求法． 第一步確定a的符號(hào)，a＞0有最小值，a＜0有最大值； 第二步配方求頂點(diǎn)，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)即為對(duì)應(yīng)的最大值或最小值． 3．

55、求二次函數(shù)在某一范圍內(nèi)的最值． 如：在（其中）的最值． 第一步：先通過(guò)配方，求出函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸：； 第二步：討論： [1]若時(shí)求最小值或時(shí)求最大值，需分三種情況討論： ①對(duì)稱(chēng)軸小于即，即對(duì)稱(chēng)軸在的左側(cè)； ②對(duì)稱(chēng)軸，即對(duì)稱(chēng)軸在的內(nèi)部； ③對(duì)稱(chēng)軸大于即，即對(duì)稱(chēng)軸在的右側(cè)。 [2] 若時(shí)求最大值或時(shí)求最小值，需分兩種情況討論： ①對(duì)稱(chēng)軸，即對(duì)稱(chēng)軸在的中點(diǎn)的左側(cè)； ②對(duì)稱(chēng)軸，即對(duì)稱(chēng)軸在的中點(diǎn)的右側(cè)； 說(shuō)明：求二次函數(shù)在某一范圍內(nèi)的最值，要注意對(duì)稱(chēng)軸與自變量的取值范圍相應(yīng)位置，具體情況，參考例4。 【例題選講】 例1求下列函數(shù)的最大值或最小值． （1）

56、； （2）． 例2當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值和最小值． 例3當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的取值范圍． 例4當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值(其中為常數(shù))． 分析：由于所給的范圍隨著的變化而變化，所以需要比較對(duì)稱(chēng)軸與其范圍的相對(duì)位置． 解：函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為．畫(huà)出其草圖． (1) 當(dāng)對(duì)稱(chēng)軸在所給范圍左側(cè)．即時(shí)：當(dāng)時(shí)，； (2) 當(dāng)對(duì)稱(chēng)軸在所給范圍之間．即時(shí)： 當(dāng)時(shí)，； (3) 當(dāng)對(duì)稱(chēng)軸在所給范圍右側(cè)．即時(shí)：當(dāng)時(shí)，． 綜上所述： 例5某商場(chǎng)以每件30元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一種商品，試銷(xiāo)中發(fā)現(xiàn)這種商品每天的銷(xiāo)售量(件)與每件的銷(xiāo)售價(jià)(

57、元)滿(mǎn)足一次函數(shù)． (1) 寫(xiě)出商場(chǎng)賣(mài)這種商品每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)與每件銷(xiāo)售價(jià)之間的函數(shù)關(guān)系式； (2) 若商場(chǎng)要想每天獲得最大銷(xiāo)售利潤(rùn)，每件商品的售價(jià)定為多少最合適？最大銷(xiāo)售利潤(rùn)為多少？ 【鞏固練習(xí)】 1．拋物線，當(dāng)= _____ 時(shí)，圖象的頂點(diǎn)在軸上；當(dāng)= _____ 時(shí)，圖象的頂點(diǎn)在軸上；當(dāng)= _____ 時(shí)，圖象過(guò)原點(diǎn)． 2．用一長(zhǎng)度為米的鐵絲圍成一個(gè)長(zhǎng)方形或正方形，則其所圍成的最大面積為 ________ ． 3．設(shè)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值是，最大值是0，求的值． 4．已知函數(shù)在上的最大值為4，求的值．

58、 5．求關(guān)于的二次函數(shù)在上的最大值(為常數(shù))． ★ 專(zhuān)題七 不 等 式 【要點(diǎn)回顧】 1．一元二次不等式及其解法 [1]定義：形如 為關(guān)于的一元二次不等式． [2]一元二次不等式與二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系(簡(jiǎn)稱(chēng)：三個(gè)二次)． （?。┮话愕?，一元二次不等式可以結(jié)合相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程求解，步驟如下： (1) 將二次項(xiàng)系數(shù)先化為正數(shù)； (2) 觀測(cè)相應(yīng)的二次函數(shù)圖象． ①如果圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的一元二次方程

59、有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根(也可由根的判別式來(lái)判斷) ．則 ②如果圖象與軸只有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根(也可由根的判別式來(lái)判斷) ．則： ③如果圖象與軸沒(méi)有交點(diǎn)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根 (也可由根的判別式來(lái)判斷) ．則： （ⅱ）解一元二次不等式的步驟是： (1) 化二次項(xiàng)系數(shù)為正； (2) 若二次三項(xiàng)式能分解成兩個(gè)一次因式的積，則求出兩根．那么“”型的解為(俗稱(chēng)兩根之外)；“”型的解為(俗稱(chēng)兩根之間)； (3) 否則，對(duì)二次三項(xiàng)式進(jìn)行配方，變成，結(jié)合完全平方式為非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求解． 2．簡(jiǎn)

60、單分式不等式的解法 解簡(jiǎn)單的分式不等式的方法：對(duì)簡(jiǎn)單分式不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為整式不等式，應(yīng)當(dāng)注意分母不為零. 3．含有字母系數(shù)的一元一次不等式 一元一次不等式最終可以化為的形式． [1]當(dāng)時(shí)，不等式的解為：； [2]當(dāng)時(shí)，不等式的解為：； [3]當(dāng)時(shí)，不等式化為：； ① 若，則不等式的解是全體實(shí)數(shù)；② 若，則不等式無(wú)解． 【例題選講】 例1 解下列不等式：(1) (2) ⑴解法一：原不等式可以化為：，于是：或所以，原不等式的解是． 解法二：解相應(yīng)的方程得：，所以原不等式的解是． (2) 解法一：原不等式可化為：，即于是： ，所以原不等

61、式的解是． 解法二：原不等式可化為：，即，解相應(yīng)方程，得，所以原不等式的解是． 說(shuō)明：解一元二次不等式，實(shí)際就是先解相應(yīng)的一元二次方程，然后再根據(jù)二次函數(shù)的圖象判斷出不等式的解． 例2 解下列不等式：(1) (2) (3) 例3 已知對(duì)于任意實(shí)數(shù)，恒為正數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 例4 解下列不等式： (1) (2) 例5 求關(guān)于的不等式的解． 解：原不等式可化為： (1) 當(dāng)時(shí)，，不等式的解為； (2) 當(dāng)時(shí)，． ① 時(shí)，不等式的解為； ② 時(shí)，不等式的解為；

62、 ③ 時(shí)，不等式的解為全體實(shí)數(shù)． (3) 當(dāng)時(shí)，不等式無(wú)解． 綜上所述：當(dāng)或時(shí)，不等式的解為；當(dāng)時(shí)，不等式的解為；當(dāng)時(shí)，不等式的解為全體實(shí)數(shù)；當(dāng)時(shí)，不等式無(wú)解． 【鞏固練習(xí)】 1．解下列不等式： (1) (2) (3) (4) 2．解下列不等式： (1) (2) (3) (4) 3．解下列不等式： (1) (2) 4．解關(guān)于的不等式． 5．已知關(guān)于的不等式的解是一切

63、實(shí)數(shù)，求的取值范圍． 6．若不等式的解是，求的值． 7．取何值時(shí)，代數(shù)式的值不小于0？ ● 各專(zhuān)題參考答案 ● 專(zhuān)題一數(shù)與式的運(yùn)算參考答案 例1 （1）解法1：由，得； ①若，不等式可變?yōu)?，即?②若，不等式可變?yōu)椋?，解得：．綜上所述，原不等式的解為． 解法2： 表示x軸上坐標(biāo)為x的點(diǎn)到坐標(biāo)為2的點(diǎn)之間的距離，所以不等式的幾何意義即為x軸上坐標(biāo)為x的點(diǎn)到坐標(biāo)為2的點(diǎn)之間的距離小于1，觀察數(shù)軸可知坐標(biāo)為x的點(diǎn)在坐標(biāo)為3的點(diǎn)的左側(cè)，在坐標(biāo)為1的點(diǎn)的右側(cè)．所以原不等式的解為． 解法3：，所以原不

64、等式的解為． （2）解法一：由，得；由，得； ①若，不等式可變?yōu)?，即?，解得x＜0，又x＜1，∴x＜0；②若，不等式可變?yōu)?，?＞4，∴不存在滿(mǎn)足條件的x； ③若，不等式可變?yōu)?，即?， 解得x＞4．又x≥3，∴x＞4． 綜上所述，原不等式的解為x＜0，或x＞4． 解法二：如圖，表示x軸上坐標(biāo)為x的點(diǎn)P到坐標(biāo)為1的點(diǎn)A之間的距離|PA|，即|PA|＝|x－1|；|x－3|表示x軸上點(diǎn)P到坐標(biāo)為2的點(diǎn)B之間的距離|PB|，即|PB|＝|x－3|． 所以，不等式＞4的幾何意義即為|PA|＋|PB|＞4．由|AB|＝2， 可知點(diǎn)P 在點(diǎn)C(坐標(biāo)為0)的左側(cè)、或點(diǎn)P在點(diǎn)D(坐標(biāo)為4)的

65、右側(cè)． 所以原不等式的解為x＜0，或x＞4． 例2（1）解：原式= 說(shuō)明：多項(xiàng)式乘法的結(jié)果一般是按某個(gè)字母的降冪或升冪排列． （2）原式= （3）原式= （4）原式= 例3解： 原式= 例4解： 原式= ① ②，把②代入①得原式= 例5解：（1）原式= （2）原式= 說(shuō)明：注意性質(zhì)的使用：當(dāng)化去絕對(duì)值符號(hào)但字母的范圍未知時(shí)，要對(duì)字母的取值分類(lèi)討論． （3）原式= （4） 原式= 例6解： 原式= 說(shuō)明：有關(guān)代數(shù)式的求值問(wèn)題：(1)先化簡(jiǎn)后求值；(2)當(dāng)直接代入運(yùn)算較復(fù)雜時(shí)，可根據(jù)結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，倒推幾步，再代入條件，有時(shí)整體代入

66、可簡(jiǎn)化計(jì)算量． 【鞏固練習(xí)】 1． 2． 3．或 4． 5． 6． 專(zhuān)題二因式分解答案 例1分析：(1) 中應(yīng)先提取公因式再進(jìn)一步分解；(2) 中提取公因式后，括號(hào)內(nèi)出現(xiàn)，可看著是或． 解：(1) ． (2) 例2（1）分析：按照原先分組方式，無(wú)公因式可提，需要把括號(hào)打開(kāi)后重新分組，然后再分解因式． 解： （2）分析：先將系數(shù)2提出后，得到，其中前三項(xiàng)作為一組，它是一個(gè)完全平方式，再和第四項(xiàng)形成平方差形式，可繼續(xù)分解因式． 解： 例5 解： 【鞏固練習(xí)】 1． ． 2．； 3． 其他情況如下：； . 4． 專(zhuān)題三一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系習(xí)題答案 例1解：∵，∴(1) ； (2) ； (3) ；(4)． 例2解：可以把所給方程看作為關(guān)于的方程，整理得： 由于是實(shí)數(shù)，所以上述方程有實(shí)數(shù)根，因此：， 代入原方程得：．綜上知： 例3解：由題意，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得： (1) (2) (3) (4) 說(shuō)明：利用根與系數(shù)的關(guān)系求值，要熟練掌握